Fitting-Untergruppe

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Die Fitting-Untergruppe, benannt nach Hans Fitting, ist eine im mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie betrachtete Konstruktion einer gewissen Untergruppe, in vielen Fällen handelt es sich um die größte nilpotente Untergruppe.

Es sei eine Gruppe. Die von allen nilpotenten Normalteilern erzeugte Untergruppe heißt die Fitting-Untergruppe und wird mit oder bezeichnet.

Vorsicht: Die Bezeichnung könnte mit der Frattinigruppe verwechselt werden, letztere wird von vielen Autoren aber mit bezeichnet.

Die Fitting-Untergruppe ist stets ein Normalteiler, sogar eine charakteristische Untergruppe. Im Allgemeinen ist sie aber selbst nicht nilpotent (siehe Beispiele unten), doch es gilt der folgende

  • Satz von Fitting: Sind und nilpotente Normalteiler einer Gruppe, so ist auch ihr Komplexprodukt ein nilpotenter Normalteiler.[1]

Ist also endlich erzeugt, so ergibt sich aus dem Satz von Fitting sofort, dass nilpotent ist, denn dann ist diese Untergruppe ja ein endliches Komplexprodukt nilpotenter Normalteiler. Das gilt also insbesondere für Gruppen mit Maximalbedingung, das heißt für Gruppen, in denen jede nicht-leere Familie von Untergruppen ein maximales Element besitzt, denn in solchen ist jede Untergruppe endlich erzeugt. Insbesondere ist die Fitting-Untergruppe einer endlichen Gruppe stets der größte darin enthaltene nilpotente Normalteiler.

Die Fitting-Untergruppe kann trivial sein. Für endliche Gruppen ist das genau für die halbeinfachen Gruppen der Fall.[2]

  • Für nilpotente Gruppen ist definitionsgemäß
  • Ist einfach und nichtabelsch, so ist , denn die Gruppe ist nicht nilpotent und es gibt keine echten Normalteiler.
  • Für die symmetrische Gruppe S3 ist .
  • Für auflösbare Gruppen ist , denn die kleinste nicht-triviale abgeleitete Gruppe ist ein abelscher und damit nilpotenter Normalteiler und als solcher in der Fitting-Untergruppe enthalten.
  • Sei eine Folge von nilpotenten Gruppen der Nilpotenzklasse n. Dann ist die direkte Summe nicht nilpotent, aber es gilt , insbesondere haben wir hiermit ein Beispiel einer nicht-nilpotenten Fitting-Untergruppe.[3]

Endliche Gruppen

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  • In endlichen Gruppen ist die Fitting-Untergruppe der Durchschnitt der Zentralisatoren der Hauptfaktoren.[4][5]

Zu den hier verwendeten Begriffen sei

eine Hauptreihe, das heißt eine Normalreihe, die sich nicht weiter verfeinern lässt. Die Faktorgruppen heißen Hauptfaktoren und deren Zentralisatoren sind

.

Obige Aussage bedeutet

.

Für eine Primzahl sei der Durchschnitt aller p-Sylowgruppen. Bezeichnet weiter die Menge aller Primzahlen, so gilt

  • Für eine endliche Gruppe ist ,

wobei bedeutet, dass p die Gruppenordnung teilt.[6]

Für endliche Gruppen besteht folgende Beziehung zur Frattinigruppe :[7]

  • .

Die Nilpotenzlänge

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Mittels der Fitting-Untergruppe kann man wie folgt rekursiv die sogenannte obere nilpotente Reihe

einer Gruppe bilden. Man setzt

.

Erreicht diese Reihe schließlich , so nennt man das kleinste mit die Nilpotenzlänge von . Für auflösbare Gruppen ist das stets der Fall und die Nilpotenzlänge ist die kleinste Zahl , für die es eine Reihe

aus Normalteilern gibt, so dass die Faktoren nilpotent sind.[8]

Einzelnachweise

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  1. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.8
  2. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Seite 133: The Fitting Subgroup
  3. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Kapitel 7.4: Fitting Subgroup + Exercise 9.2.32
  4. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.2.9
  5. J. C. Lennox, D. J. S. Robinson: The Theory of Infinite Soulble Groups, Clarendon Press - Oxford 2004, ISBN 0-19-850728-3, Seite 9
  6. W. R. Scott: Group Theory, Dover Publications (2010), ISBN 978-0-486-65377-8, Satz 7.4.3
  7. W. Keith Nicholson: Introduction to Abstract Algebra, John Wiley & Sons Inc (2000), ISBN 978-1-118-13535-8, Kapitel 9.3, Theorem 10
  8. D.J.S. Robinson: A Course in the Theory of Groups, Springer-Verlag 1996, ISBN 0-387-94461-3, Satz 5.4.5