Dies ist ein als exzellent ausgezeichneter Artikel.

Malfatti-Kreis

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Zur Navigation springen Zur Suche springen
01-Malfatti-Kreise.svg

Die drei Malfatti-Kreise, später bekannt als Malfattisches Problem,[1] sind benannt nach Gianfrancesco Malfatti, der 1803 ihre Konstruktion angab.[2] Bestimmt sind die Malfatti-Kreise – unabhängig von der Form des Ausgangsdreiecks – durch drei Kreise in einem Dreieck mit der Eigenschaft, dass jeder die beiden anderen Kreise von außen und zwei Dreiecksseiten von innen berührt.[3][4]

Malfatti nahm fälschlich an, dass diese Eigenschaft der Kreise das Problem lösen, drei Kreise überschneidungsfrei so in ein Dreieck zu packen, dass sie maximalen Flächeninhalt haben. Warum die Malfatti-Kreise dieses sogenannte Malfatti’sche Maximierungsproblem, sprich die maximale Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise, nicht lösen, lässt sich z. B. leicht an einem langen schmalen rechtwinkligen Dreieck erkennen.[5]

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:[6]

Dabei steht für den Inkreisradius und für den halben Dreiecksumfang. ist der Inkreismittelpunkt und sind die drei Winkelhalbierenden.

Geschichtliches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Marmor-Problem
Dreieckiges Prisma mit drei einbeschriebenen zylinderförmigen Säulen sowie mit den neun möglichen Berührungspunkten der Malfatti-Kreise

Das ursprüngliche Malfatti-Problem bezog sich auf eine Aufgabe aus der Stereotomie,[6] deren vermeintliche Lösung Malfatti 1802 fand und 1803 in der Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze in seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico veröffentlichte. Zu Beginn seines Artikels formuliert Malfatti dazu die Aufgabenstellung.[6]

Frei übersetzt lautet sie:

Bei einem geraden dreieckigen Prisma aus irgendeinem Material, zum Beispiel Marmor, werden daraus drei [kreisförmige] Zylinder zugeschnitten mit der gleichen Höhe wie das Prisma, aber mit dem höchstmöglichen Gesamtvolumen, das heißt mit dem geringstmöglichen Materialabfall des Prisma-Volumens.

In seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico weist Malfatti auch darauf hin, dass diese stereotomische Aufgabe auf ein Problem der Flächengeometrie reduzierbar ist. Er definiert die Lage der Kreise, die dem Dreieck einbeschriebenen sind, heute als Malfatti-Kreise bezeichnet, folgendermaßen:[6]

Freie Übersetzung

Gegeben sei ein Dreieck, konstruiere drei Kreise darin so, dass jeder der Kreise tangential ist (das heißt, sie berühren einen Punkt) mit den anderen zwei und mit zwei Seiten des Dreiecks.

Das wurde allerdings 1992 von W. A. Salgaller und G. A. Los[7] widerlegt,[8] die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben – im Folgenden beschrieben im Abschnitt Konstruktion nach Salgaller und Los.

Bereits 1687 wurde das Malfatti-Konstruktionsproblem von Jakob I Bernoulli in einem Spezialfall gelöst (gleichschenkliges Dreieck)[9][10] und später gaben Jakob Steiner[11][12] auf rein geometrischem Weg[9] und Alfred Clebsch Lösungen, Letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle’s Journal).[13] Auch der Japaner Ajima Naonobu gab 30 Jahre vor Malfatti im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung.[14] Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930 mithilfe gleichseitiger Dreiecke,[15] sowie Howard W. Eves 1965 durch Untersuchungen anhand schmaler und langer Dreiecke.[5] Im Jahr 1967 wurde sogar von Michael Goldberg in einem Aufsatz gezeigt,[16] dass Malfattis Konstruktion dies in keinem Fall tut. Hierfür erbrachten, wie bereits oben erwähnt, Salgaller und Los 1992 den Beweis.

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ingmar Lehmann erläutert 2003 diverse Lösungen des Malfatti-Problems in seiner Analyse Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. Im Folgenden werden daraus vier Methoden im Einzelnen beschrieben.

Konstruktion nach Malfatti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Malfatti-Kreise nach Malfatti, Berechnungsskizze

Variante mit vorherigen Berechnungen

“Eine elementargeometrische Konstruktion, die auf vorherige algebraische Berechnungen verzichtet, ist relativ anspruchsvoll.”

Ingmar Lehmann: 2.1 Konstruktion nach Malfatti[8]

Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte und liefern.

Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:

darin bedeuten die Bezeichnungen

und

Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich, eine sogenannte Hilfsstrecke mit der Länge zu bestimmen

dann gilt für die oben beschriebenen Tangentenabschnitte

Wird in der Formel für der Faktor den Summanden einzeln zugeordnet

ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar.

Malfatti-Kreise nach Malfatti mit Konstruktion der Hilfsstrecke

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks mit den Seitenlängen und wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der drei Winkelhalbierenden und bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken und Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt schließt sich an.

Nun wird die Länge der Hilfsstrecke folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften und addiert, aus deren Summe die Streckenhälften und subtrahiert und schließlich zum erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius addiert.

Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke sprich mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden und ab dem Inkreismittelpunkt übertragen; dies ergibt die Punkte und Ab den Punkten und einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite und ab einen Kreisbogen bis auf geschlagen, ergibt die Punkte und Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten und auf die betreffenden Winkelhalbierenden und somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte und

Um die Berührungspunkte und zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten und auf die Dreieckseiten und nochmals zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise und mit den Radien und einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte und

Somit sind die drei Malfatti-Kreise und mit ihren neun möglichen Berührungspunkten und konstruiert.

Konstruktion nach Steiner-Petersen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jakob Steiner brachte 1826 die Malfatti-Kreise in Verbindung mit den Inkreisen aus drei Teildreiecken, die deswegen als Konstruktionselement für die Malfatti-Kreise verwendet werden können. Steiner formulierte dazu den Satz:

“Jede der gemeinsamen Tangenten der Malfatti-Kreise berührt zugleich zwei der drei Inkreise der Teildreiecke wobei der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ist.”

Ingmar Lehmann: 2.2 Konstruktion nach Steiner-Petersen[17]

Hierbei ist zu betonen, dass die von Steiner erwähnten Tangenten an die Malfatti-Kreise im Allgemeinen nicht die Winkelhalbierenden von sind, sondern deren Spiegelbilder an den Verbindungsgeraden zweier Inkreismittelpunkte der Teildreiecke.

Julius Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung (Variante ohne vorherige Berechnungen)[18] des Konstruktionsproblems von Malfatti, die im Folgenden dargestellt ist.[19]

Konstruktionsbeschreibung

Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1)–(3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(1) Hauptschritt: Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke und

(1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke und [19]

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks mit den Seitenlängen und wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der drei Winkelhalbierenden und bestimmt. Die Inkreismittelpunkte und der Teildreiecke und erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z. B. durch Vierteln der Winkel und Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise und um ihre Mittelpunkte bzw. schließen sich an.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(2) Hauptschritt: Konstruktion der drei Tangenten und

(2) Konstruktion der drei Tangenten und

Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte mit der Halbierung der Strecke in und dem Einzeichnen des Thaleskreises Er schneidet den Inkreis in den Punkten und Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt durch den Berührungspunkt des Inkreises bis sie die Dreieckseite in schneidet.

Im Anschluss daran wird mit verbunden, die Strecke in halbiert und der Thaleskreis eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis in den Punkten und Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt durch bis sie die Dreieckseite in schneidet, liefert den Schnittpunkt Da auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von durch bis auf die Dreieckseite und den Schnittpunkt Somit ist auch die dritte Tangente ermittelt.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(3) Hauptschritt: Konstruktion der Malfatti-Kreise und

(3) Konstruktion der Malfatti-Kreise und

Zunächst wird im Dreieck die Winkelhalbierende vom Punkt bis auf die Winkelhalbierende eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises um mit dem Radius Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf die Tangente mit dem Fußpunkt schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab durch bis auf die Winkelhalbierende erzeugt den Mittelpunkt Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises um mit dem Radius werden die Lote von auf mit dem Fußpunkt von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf die Tangente mit dem Fußpunkt gefällt. Die darauf folgende Linie ab durch bis auf die Winkelhalbierende erzeugt den Mittelpunkt Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises um mit dem Radius

Um die Berührungspunkte und zu erhalten, bedarf es noch zweier gefällter Lote vom Mittelpunkt auf von auf und der Verbindung des Punktes mit

Somit sind die drei Malfatti-Kreise und mit ihren neun möglichen Berührungspunkten und konstruiert.

Konstruktion nach Lob und Richmond[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion nach H. Lob und H. W. Richmond,
gleichseitiges Dreieck mit Inkreis als Teil der Lösung des Maximierungs-Problems

H. Lob und H. W. Richmond veröffentlichten 1930[15] eine Lösung für das Maximierungs-Problem von Malfatti. Darin wird der Inkreis des gleichseitigen Dreiecks als ein Kreis von dreien genutzt. Die Bedeckung der Dreiecksfläche durch diese Anordnung der Kreise ist nur marginal größer, nämlich um , aber dafür ist die Aufgabe leicht und mit wenig Aufwand darstellbar.

Sie haben damit bewiesen,

“[…] dass die sogenannten Malfatti-Kreise, also jene drei Kreise, die jeweils genau zwei der Dreiecksseiten als Tangenten haben, nicht die maximale Bedeckung eines Dreiecks liefern.”

Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story[5]

Konstruktionsbeschreibung

Nach dem Zeichnen eines gleichseitigen Dreiecks mit den gleich langen Seitenlängen und wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der drei Winkelhalbierenden und bestimmt. Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius die Schnittpunkte sind mit der Winkelhalbierenden und mit der Winkelhalbierenden Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt schließt sich an.

Für die kleineren Kreise zieht man (im gleichseitigen Dreieck) zwei Parallelen zur Strecke  – eine ab dem Punkt bis auf die Strecke mit dem Schnittpunkt , die zweite ab dem Punkt bis auf die Strecke mit dem Schnittpunkt Das Errichten des Lots mit dem Fußpunkt auf die Winkelhalbierende und das Errichten des Lots auf die Winkelhalbierende mit dem Fußpunkt ergibt die Mittelpunkte und Nun wird ein Kreis um mit dem Radius und ein Kreis um mit dem Radius gezogen. Um die beiden letzten Berührungspunkte zu erhalten, werden abschließend zwei Lote auf gefällt, von und von , dabei ergeben sich die Fußpunkte und

Somit sind in das gleichseitige Dreieck die drei Kreise und mit ihren neun möglichen Berührungspunkten und konstruiert.

Konstruktion nach Goldberg[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Michael Goldberg veröffentlichte 1967 einen Aufsatz in dem er zeigte, dass Malfattis Konstruktion, unabhängig von der Form des Dreiecks, in keinem Fall das Maximierungs-Problem erfüllen kann. Zu diesem Ergebnis kam er − ohne es zu beweisen −[8] durch Untersuchungen anhand unterschiedlicher Formen der Dreiecke, die alle eines gemeinsam hatten: Einer der drei Kreise war stets der Inkreis.[16]

“Die richtige Lösung nutzt stets den Inkreis des Ausgangsdreiecks als einen der drei Kreise, m.a.W., einer der Kreise berührt stets alle drei Seiten des Dreiecks.”

Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story, Seite 3[8]

Konstruktionsbeschreibung

Konstruktion nach Goldberg, allgemeines Dreieck mit Inkreis als einem von den drei das Maximierungs-Problem lösenden Kreisen.
Radius daraus folgt: Der dritte Kreis liegt auf der Winkelhalbierenden

Nach dem Zeichnen des unregelmäßigen Dreiecks wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der zwei Winkelhalbierenden und bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken und Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius der Schnittpunkt auf ist Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt schließt sich an.

Der Mittelpunkt des zweiten Kreises wird nun sehr einfach mit zwei Schritten bestimmt. Es bedarf dafür nur einer Senkrechten zur Strecke ab dem Punkt die in schneidet, und einer Winkelhalbierenden des Winkels Der damit erzeugte Punkt ist der Mittelpunkt des zweiten Kreises mit dem Radius und den Berührungspunkten und mit zwei Seiten des Dreiecks.

Um für den dritten und letzten gesuchten Kreis den größtmöglichen Radius zu finden, werden zuerst auf zwei Winkelhalbierenden – auf dreien, falls es die Form des Dreiecks verlangt – mögliche Radien bestimmt. Man erhält sie durch analoge Wiederholung der Konstruktionsschritte des zweiten Kreises mit Mittelpunkt Die gepunkteten Linien im nebenstehenden Bild zeigen den auf der Winkelhalbierenden konstruierten Radius als Vergleichsmöglichkeit zum Radius auf Die Bewertung der beiden Radien ergibt . Daraus folgt: Der Kreis um den Mittelpunkt ist der gesuchte größtmögliche dritte Kreis.

Konstruktion nach Salgaller und Los[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

W. A. Salgaller[20] und G. A. Los[7] veröffentlichten – nach ihrem Beweis 1992 (siehe Geschichtliches) – 1994 im Journal of Mathematical Sciences ihre Lösung des Malfatti’schen Maximierungs-Problems.[21][22] Darin sind u. a. fünf allgemeine Dreiecke zu sehen in denen jeweils der Inkreis einer der drei sich nicht überlappenden Kreise ist. Nur in einem Dreieck davon, in Konstruktion nach Goldberg beschrieben, liegen diese drei Kreise auf derselben Winkelhalbierenden.[23]

Freie Übersetzung

“Zum ersten Mal ist Malfattis altes Problem, drei nicht überlappende Kreise mit der größten Gesamtfläche in einem Dreieck anzuordnen, gelöst.”

W. A. Salgaller, G. A. Los: The solution of Malfatti’s problem[21]

Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Methode nach Malfatti (Bild 1) sowie die Methode nach Steiner-Petersen erreicht
oder ca. [4]
  • Die Methode nach Lob und Richmond (Bild 2) erreicht
oder ca. [5]
  • Methode mit Inkreis nach Salgaller und Los[7] sowie die Methode nach Goldberg (Bild 3 und Bild 4):
Die Bedeckung der Dreiecksfläche, z. B. als prozentualer Wert, ist von der gewählten Form des Ausgangsdreiecks sowie von der Position der Kreise und abhängig. Für die dargestellte Formen, mit für die entsprechenden Flächeninhalte, gilt die Prozentformel:
dies ergibt eine Bedeckung der Dreiecksfläche für das Dreieck in Bild 3 von bzw. für das Dreieck in Bild 4 von

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Kurt Loeber: Geschichtlicher Überblick (Einleitung). In: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, S. 1, abgerufen am 15. November 2020.
  2. Gianfrancesco Malfatti: Memoria sopra un problema stereotomica, Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, No. 10, 1, 1803, S. 235–244, abgerufen am 15. November 2020.
  3. Gianfrancesco Malfatti: Memoria sopra un problema stereotomica, Memorie di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze, No. 10, 1, 1803, S. 243 ff, abgerufen am 15. November 2020.
  4. a b Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story Seite 1. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 19. November 2020.
  5. a b c d Ingmar Lehmann: 1. Die Malfatti-Story Seite 2. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 7. November 2020.
  6. a b c d Raúl Ibáñez: El problema de Malfatti. culturacientifica, Matemoción, 5. April 2017, abgerufen am 5. Oktober 2018 (spanisch).
  7. a b c Sic! – Diese Schreibweise Los weicht gemäß den Transkriptionsregeln der deutschsprachigen Wikipedia (Fußnote 6) von der anderswo großteils zu findenden Schreibweise Los’ (mit Apostroph) ab, siehe dazu z. B. auch hier.
  8. a b c d Ingmar Lehmann: Konstruktion der Malfatti-Kreise, S. 3–5. (PDF; 143 KB) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung, 15 Seiten. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 4. Oktober 2020.
  9. a b Kurt Loeber: Geschichtlicher Überblick (Einleitung). In: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, S. 2 ff., abgerufen am 4. Oktober 2020.
  10. Jacques Bernoulli: Oeuvres complètes, Genf 1744, Band 1, S. 303.
  11. Jakob Steiner: Einige geometrische Sätze; Jacob Steiner's Gesammelte Werke, Band 1, G. Reimer, 1881, S. 3, in der Google-Buchsuche, abgerufen am 15. November 2020
  12. Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen; Jacob Steiner's Gesammelte Werke, Band 1, G. Reimer, 1881, S. 19, in der Google-Buchsuche, abgerufen am 15. November 2020
  13. Alfred Clebsch: Anwendung der elliptischen Funktionen auf ein Problem der Geometrie des Raumes. In: Journal für Reine und Angewandte Mathematik (Crelle`s Journal), Band 53. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1857, S. 292–308, abgerufen am 15. November 2020.
  14. Ajima Naonobu in seinem Hauptwerk Fukyo sampo von 1799. John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonMalfatti-Kreis. In: MacTutor History of Mathematics archive.
  15. a b H. Lob, H. W. Richmond: On the Solutions of Malfatti's Problem for a Triangle. (PDF) London Mathematical Society, 1930, abgerufen am 20. November 2020.
  16. a b Michael Goldberg: On the Original Malfatti Problem. In: Florida Atlantic University (Hrsg.): Mathematics Magazine. Band 40, Nr. 5, November 1967, S. 241–247, JSTOR:2688277 (On the Original Malfatti Problem [PDF; abgerufen am 20. November 2020]).
  17. Ingmar Lehmann: Konstruktion nach Steiner-Petersen, Seite 5. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018.
  18. Julius Petersen, R. von Fischer-Benzon (Überstzer): Methoden und Theorien zur Auflösung geometrischer Konstruktionsaufgaben. In: Konstruktionsaufgabe 404. University of Michigan, Library, 1879, S. 102–104, abgerufen am 15. November 2020.
  19. a b Ingmar Lehmann: Konstruktion nach Steiner-Petersen, S. 8 ff. (PDF) In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018.
  20. Sic! – Diese Schreibweise Salgaller entspricht den Wikipedia:Namenskonventionen, siehe hierzu auch Wiktor Abramowitsch Salgaller
  21. a b W. A. Salgaller, G. A. Los: The solution of Malfatti’s problem. In: Journal of Mathematical Sciences. 72, Nr. 4, 1994, S. 3163 ff., Fig. 1, Springer Link, PDF. Abgerufen am 5. Oktober 2020.
  22. Jaime Rangel-Mondragon: The Malfatti Problem. (PDF) In: Wolfram Demonstrations Project. Wolfram, 2011, abgerufen am 24. November 2020.
  23. Arnold Math Jn: 2.2 Solution to Malfatti’s Marble Problem. (PDF) In: On Malfatti’s Marble Problem. Institute for Mathematical Sciences, Stony Brook University, New York, Juni 2016, abgerufen am 24. November 2020.
Dieser Artikel wurde am 25. November 2020 in dieser Version in die Liste der exzellenten Artikel aufgenommen.