Malfatti-Kreis

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Die drei Malfatti-Kreise eines Dreiecks sind Kreise, von denen jeder zwei Dreiecksseiten und die beiden anderen Kreise berührt.

Malfatti-Kreise sind nach Gianfrancesco Malfatti benannt, der 1803 ihre Konstruktion angab und annahm, dass sie das Malfatti-Problem lösen, drei Kreise in ein Dreieck zu packen, die sich nicht überschneiden und maximalen Flächeninhalt haben.

Die von Malfatti angegebene Lösung der Aufgabe drei Kreise zu konstruieren, die sich und je zwei Dreiecksseiten berühren, als Konstruktionsproblem von Malfatti.[1]

01-Malfatti-Kreise.svg

Für die Radien der Malfatti-Kreise eines Dreiecks ABC gilt:

Dabei steht für den Inkreisradius und für den halben Dreiecksumfang. ist der Inkreismittelpunkt und und sind die drei Winkelhalbierenden.

Geschichtliches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Marmor-Problem
Dreieckiges Prisma mit drei einbeschriebenen zylinderförmigen Säulen, sowie mit den neun möglichen Berührungspunkten der Malfatti-Kreise.

Das ursprüngliche Malfatti-Problem bezog sich auf eine Aufgabe aus der Stereotomie,[2] deren vermeintliche Lösung Malfatti 1802 fand und 1803 in der Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze in seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico veröffentlichte. Zu Beginn seines Artikels formuliert Malfatti dazu die Aufgabenstellung.[2]

Frei übersetzt lautet sie:

Bei einem geraden dreieckigen Prisma aus irgendeinem Material, zum Beispiel Marmor, werden daraus drei [kreisförmige] Zylinder zugeschnitten mit der gleichen Höhe wie das Prisma, aber mit dem höchstmöglichen Gesamtvolumen, das heißt, mit dem geringstmöglichen Materialabfall des Prisma-Volumens.

In seinem Artikel Memoria sopra un problema stereotomico weist Malfatti auch darauf hin, dass diese stereotomische Aufgabe auf ein Problem der Flächengeometrie reduzierbar ist. Er definiert die Lage der Kreise die dem Dreieck einbeschriebenen sind, heute als Malfatti-Kreise bezeichnet, folgendermaßen:[2]

Freie Übersetzung

Gegeben sei ein Dreieck, konstruiere drei Kreise darin so, dass jeder der Kreise tangential ist (das heißt, sie berühren einen Punkt) mit den anderen zwei und mit zwei Seiten des Dreiecks.

Das wurde allerdings 1994 von Zalgaller und Los widerlegt, die zeigten, dass die Lösung stattdessen dadurch erreicht wird, jeweils in aufeinanderfolgenden Schritten einen Kreis mit dem größten Flächeninhalt einzubeschreiben; im Folgenden dargestellt in Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise.

Bereits 1687 wurde das Malfatti Konstruktionsproblem von Jakob I Bernoulli in einem Spezialfall gelöst (gleichschenkliges Dreieck)[3] und später gaben Jakob Steiner (1826, Crelle’s Journal) auf rein geometrischem Weg[3] und Alfred Clebsch Lösungen, letzterer mit elliptischen Funktionen (1857, Crelle’s Journal). Auch der Japaner Ajima Naonobu gab 30 Jahre vor Malfatti im Rahmen japanischer Architektur eine Lösung. Dass die Konstruktion von Malfatti das Malfatti-Problem nicht in allen Fällen löste, zeigten schon Lob und Richmond 1930[4], und später wurde sogar gezeigt[5], dass sie dies nur in den seltensten Fällen tut.

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ingmar Lehmann erläutert 2003 div. Lösungen des Malfatti-Problems in seiner Analyse Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. Im Folgenden werden daraus drei Methoden im Einzelnen beschrieben.

Konstruktion nach Malfatti[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Malfatti-Kreise nach Malfatti

Variante mit vorherigen Berechnungen

„Eine elementargeometrische Konstruktion, die auf vorherige algebraische Berechnungen verzichtet, ist relativ anspruchsvoll.“ [6]

Dazu leitet Lehmann mithilfe des Satzes des Pythagoras und der Ähnlichkeit von Dreiecken drei Gleichungen her, deren Lösungen die Tangentenabschnitte und liefern.

Es werden noch folgende Beziehungen berücksichtigt:

darin bedeuten die Bezeichnungen

und

Mit den entsprechend eingesetzten Werten ist es jetzt möglich eine sogenannte Hilfsstrecke mit der Länge zu bestimmen

dann gilt für die Länge

Wird der Faktor in den Klammerausdruck verschoben,

ist damit eine sehr einfache und platzsparende geometrische Konstruktion (siehe nebenstehendes Bild) darstellbar.

Konstruktionsbeschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks mit den Seitenlängen und wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der drei Winkelhalbierenden und bestimmt. Damit ergeben sich die Strecken und Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt schließt sich an.

Nun wird die Länge der Hilfsstrecke folgendermaßen auf einer Zahlengeraden ermittelt. Zuerst werden die Streckenhälften und addiert, aus deren Summe die Streckenhälften und subtrahiert und schließlich vom erhaltenen Rest der halbe Inkreisradius addiert.

Weiter geht es mit dem Bestimmen der Mittelpunkte der Malfatti-Kreise. Die Hilfsstrecke sprich mit dem Zirkel abgreifen und jeweils auf die drei Winkelhalbierenden und ab dem Inkreismittelpunkt übertragen; dies ergibt die Punkte und Ab den Punkten und einen Kreisbogen bis auf die Dreieckseite und ab einen Kreisbogen bis auf geschlagen, ergibt die Punkte und Es folgt das Errichten dreier Lote von den Fußpunkten und auf die betreffenden Winkelhalbierenden und somit ergeben sich die gesuchten Mittelpunkte und

Um die Berührungspunkte und zu erhalten, sind noch drei Lote von den Mittelpunkten und auf die Dreieckseiten und nochmals zu fällen. Abschließend die Malfatti-Kreise und mit den Radien und einzeichnen und man erhält deren letzten drei Berührungspunkte und

Somit sind die drei Malfatti-Kreise und mit ihren neun möglichen Berührungspunkten und konstruiert.

Konstruktion nach Steiner-Petersen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jakob Steiner verallgemeinerte 1826 das Malfatti-Problem, indem er drei Inkreise aus drei Teildreiecken als Konstruktionselement einführte. Steiner formulierte dazu den Satz:

„Jede der gemeinsamen Tangenten der Malfatti-Kreise berührt zugleich zwei der drei Inkreise der Teildreiecke wobei der Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks ist.“ [7]

Petersen fand im Jahr 1879 eine elementargeometrische Lösung die im Folgenden dargestellt ist.

Die mit der Methode Steiner-Petersen erzeugten Malfatti-Kreise, haben die gleichen Radien wie die Malfatti-Kreise, die mit der Methode nach Malfatti konstruiert werden.

Konstruktionsbeschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist wegen einer besseren Übersichtlichkeit vorteilhaft, die Konstruktion in drei Hauptschritten, (1) – (3), darzustellen. Dabei werden nur die relevanten Konstruktionselemente vom ersten in den zweiten bzw. vom zweiten in den dritten Hauptschritt übernommen.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(1) Hauptschritt: Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke und

(1) Konstruktion der drei Inkreise der Teildreiecke und [8]

Nach dem Zeichnen eines z. B. ungleichseitigen Dreiecks mit den Seitenlängen und wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der drei Winkelhalbierenden und bestimmt. Die Inkreismittelpunkte und der Teildreiecke und erhält man wieder als Schnittpunkt zweier Winkelhalbierenden, z. B. durch Vierteln der Winkel und Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt und das Einzeichnen der letzten beiden Inkreise und um ihre Mittelpunkte bzw. schließen sich an.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
(2) Hauptschritt: Konstruktion der drei Tangenten und

(2) Konstruktion der drei Tangenten und

Es geht weiter mit dem Verbinden der Punkte mit der Halbierung der Strecke in und dem Einzeichnen des Thaleskreises Er schneidet den Inkreis in den Punkten und Nun zieht man die erste Tangente vom Punkt durch den Berührungspunkt des Inkreises bis sie die Dreieckseite in schneidet.

Im Anschluss daran wird mit verbunden und die Strecke in halbiert und der Thaleskreis eingezeichnet. Er schneidet den Inkreis in den Punkten und Das Einzeichnen der zweiten Tangente vom Punkt durch bis sie die Dreieckseite in schneidet, liefert den Schnittpunkt Da auch ein Punkt auf der dritten Tangente sein muss, bedarf es zu deren Bestimmung nur noch einer Linie von durch bis auf die Dreieckseite und den Schnittpunkt Somit ist auch die dritte Tangente ermittelt.

Malfatti-Kreise nach Steiner-Petersen
[3] Hauptschritt: Konstruktion der Malfatti-Kreise und

(3) Konstruktion der Malfatti-Kreise und

Zunächst wird im Dreieck die Winkelhalbierende vom Punkt bis auf die Winkelhalbierende eingezeichnet; dabei ergibt sich der Mittelpunkt des ersten Malfatti-Kreises. Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des ersten Malfatti-Kreises um mit dem Radius Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf die Tangente mit dem Fußpunkt schließt sich an. Die darauf folgende Linie ab durch bis auf die Winkelhalbierende erzeugt den Mittelpunkt Nach dem Einzeichnen des zweiten Malfatti-Kreises um mit dem Radius werden die Lote von auf mit dem Fußpunkt von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf die Tangente mit dem Fußpunkt gefällt. Die darauf folgende Linie ab durch bis auf die Winkelhalbierende erzeugt den Mittelpunkt Nun folgt das Einzeichnen des dritten Malfatti-Kreises um mit dem Radius

Um die Berührungspunkte und zu erhalten, bedarf es noch zweier gefällter Lote vom Mittelpunkt auf von auf und der Verbindung des Punktes mit

Somit sind die drei Malfatti-Kreise und mit ihren neun möglichen Berührungspunkten und konstruiert.

Konstruktion nach Lob und Richmond[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion nach H. Lob und H. W. Richmond,
gleichseitiges Dreieck mit Inkreis, als ein Kreis von den drei Malfatti-Kreisen

H. Lob und H. W. Richmond veröffentlichten 1930 eine Lösung, darin wird der Inkreis des gleichseitigen Ausgangsdreiecks als ein Kreis von dreien genutzt. Die Bedeckung der Dreiecksfläche durch diese Anordnung der Kreise ist nur marginal größer, nämlich um , aber dafür ist die Aufgabe leicht und mit wenig Aufwand darstellbar.

Sie haben damit bewiesen,

„[...] dass die sogenannten Malfatti-Kreise, also jene drei Kreise, die jeweils genau zwei der Dreiecksseiten als Tangenten haben, nicht die maximale Bedeckung eines Dreiecks liefern.“ [9]

Konstruktionsbeschreibung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Zeichnen eines gleichseitigen Dreiecks mit den gleich langen Seitenlängen und wird der Mittelpunkt des Inkreises mithilfe der drei Winkelhalbierenden und bestimmt. Es folgt das Fällen des Lots von auf die Strecke mit dem Fußpunkt und das Ziehen des Inkreises um mit dem Radius die Schnittpunkte sind mit der Winkelhalbierenden und mit der Winkelhalbierenden Das Fällen der Lote von auf mit dem Fußpunkt sowie von auf mit dem Fußpunkt schließt sich an.

Für die kleineren Kreise zieht man (im gleichseitigen Dreieck) zwei Parallelen zur Strecke Eine ab dem Punkt bis auf die Strecke mit dem Schnittpunkt , die zweite ab dem Punkt bis auf die Strecke mit dem Schnittpunkt Das Errichten des Lots mit dem Fußpunkt auf die Winkelhalbierenden und das Errichten des Lots Winkelhalbierenden mit dem Fußpunkt ergibt die Mittelpunkte und Nun wird ein Kreis um mit dem Radius und ein Kreis um mit dem Radius gezogen. Um die beiden letzten Berührungspunkte zu erhalten, werden abschließend zwei Lote auf gefällt, von und von , dabei ergeben sich die Fußpunkte und

Somit sind in das gleichseitige Dreieck die drei Kreise und mit ihren neun möglichen Berührungspunkten und konstruiert.

Bedeckung der Dreiecksfläche durch drei Kreise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

„Die richtige Lösung nutzt stets den Inkreis des Ausgangsdreiecks als einen der drei Kreise, m.a.W., einer der Kreise berührt stets alle drei Seiten des Dreiecks.“ [6]
  • Die Methode nach Malfatti sowie die Methode nach Steiner-Petersen erreicht
oder ca.
  • Die Methode nach Lob und Richmond erreicht
oder ca.
  • Methode mit Inkreis nach Zalgaller und Los.
Die Bedeckung der Dreiecksfläche, z. B. als prozentualer Wert, ist von der gewählten Form des Ausgangsdreiecks abhängig.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Kurt Loeber: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. In: Augural-Dissertation. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, abgerufen am 7. Oktober 2018.
  • Marco Andreatta, Andras Bezdek, Jan P. Boronski The Malfatti Problem: two centuries of debate, Mathematical Intelligencer, 2011, Nr. 1
  • Heinrich Dörrie: Malfatti's Problem in 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. Dover, New York 1965, ISBN 0-486-61348-8, S. 147–151.
  • M. Goldberg: On the Original Malfatti Problem. In Math. Mag. Nr. 40, 1967, S. 241–247.
  • Charles Stanley Ogilvy: Excursions in Geometry. Dover, New York 1990, ISBN 0-486-26530-7.
  • V. A. Zalgaller, G. A. Los: The solution of Malfatti's problem. In: Journal of Mathematical Sciences. 72, Nr. 4, 1994, S. 3163–3177.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Andreatta u. a. Mathematical Intelligencer, 2011, Nr. 1, siehe Literatur
  2. a b c Raúl Ibáñez: El problema de Malfatti. culturacientifica, Matemoción, 5. April 2017, abgerufen am 5. Oktober 2018 (spanisch).
  3. a b Kurt Loeber: Geschichtlicher Überblick (Einleitung). In: Beiträge zur Lösung und Geschichte des Malfattischen Problems und seiner Erweiterungen. SUB Göttingen, Götinger Digitalisierungszentrum, 1914, S. 2 ff, abgerufen am 7. Oktober 2018.
  4. Lob, Richmond On the Solution of Malfatti's Problem for a Triangle, Proc. London Math. Soc. 2, 287-304, 1930
  5. Goldberg On the Original Malfatti Problem, Mathematics Magazine, Band 40, 1967, S. 241–247
  6. a b Ingmar LEHMANN: Konstruktion der Malfatti-Kreise, S. 3–5. In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung, 15 Seiten. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018 (PDF).
  7. Ingmar LEHMANN: Konstruktion nach Steiner-Petersen, Seite 5. In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018 (PDF).
  8. Ingmar LEHMANN: Konstruktion nach Steiner-Petersen, S. 8 ff. In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018 (PDF).
  9. Ingmar LEHMANN: Konstruktion nach Lob und Richmond, S. 2. In: Das Malfatti-Problem – Ein Thema in der Begabtenförderung. TU Dortmund, 2003, abgerufen am 2. Oktober 2018 (PDF).