Apollonisches Problem

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Beispiel von drei Kreisen (schwarz) und den zugehörigen acht Lösungskreisen

Apollonios von Perge widmet dem geometrischen Problem, einen Kreis zu konstruieren, der drei beliebige andere Kreise berührt, ein nicht erhaltenes Buch (Über Berührungen).

Da man bei den Ausgangskreisen auch von einem unendlich kleinen Radius und einem unendlich großen Radius ausgehen kann, kann nicht nur von drei Kreisen, sondern auch von Punkten und Geraden (Tangenten) ausgegangen werden. Insgesamt gibt es zehn Kombinationsmöglichkeiten für die gegebenen Stücke, die weiter unten aufgeführt sind.

Da die vollständige Lösung der Probleme alle Konstruktionsfälle mit Berührungen (Tangenten) von Kreisen, Punkten und Geraden löst, sind natürlich auch die Berührkreise am Dreieck enthalten (Ankreis, Inkreis, Umkreis).

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die zwei einfachsten Fälle (drei Punkte und drei Geraden) wurden bereits von Euklid gelöst, die anderen waren im verlorenen Werk des Apollonius enthalten. Der Satz von Descartes (unabhängig mehrfach wiederentdeckt) befasst sich mit dem Fall dreier Kreise, die sich paarweise berühren. François Viète löste das Problem als erster in moderner Zeit mittels eines nichtlinearen Systems dreier quadratischer Gleichungen. Eine sehr elegante Lösung stammt von Joseph Gergonne.

Setzt man die Konstruktion zu kleineren sich berührenden Kreisen fort, wird man zu Apollonischen Kreispackungen geführt, die in den 2000er Jahren durch Verbindungen zu homogener Dynamik und Zahlentheorie Forschungsinteresse auf sich zogen (u.a. Jeffrey Lagarias, Allan Wilks, Peter Sarnak, Alex Kontorovich, Hee Oh). Sie sind außerdem Beispiele für Fraktale.

Lösungsmethoden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnitt von Hyperbeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Lösungsmethode von Adrian van Roomen (1596) basiert auf dem Schnitt von Hyperbeln, stellt aber keine Konstruktion mit Zirkel und Lineal dar. Die Mittelpunkte der gegebenen Kreise seien mit , , bezeichnet, ihre Radien mit , , . Gesucht sei ein Kreis mit Mittelpunkt und Radius . Dann muss für der Abstand jeweils gleich oder gleich sein - je nachdem, ob die Berührung ausschließend oder einschließend ist. Die Differenz der Abstände zwischen und zwei gegebenen Kreismittelpunkten muss also jeweils einen bestimmten Wert haben, der nur von den gegebenen Radien abhängt. Anders ausgedrückt: Der gesuchte Kreismittelpunkt muss auf einer bestimmten Hyperbel liegen, deren Brennpunkte mit den gegebenen Mittelpunkten übereinstimmen. Durch Schnitt von zwei Hyperbeln dieser Art findet man den Mittelpunkt des gesuchten Kreises.

Algebraische Lösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bezeichnet man die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise mit

, und ,

deren Radien mit , und sowie Mittelpunkt und Radius des gesuchten Kreises mit und , so führen die Bedingungen für die Abstände des gesuchten Kreismittelpunkts von den gegebenen Mittelpunkten auf ein Gleichungssystem des folgenden Typs für die drei Unbekannten , und :

Bei Verwendung von drei Vorzeichenfaktoren ergibt sich die Darstellung:

Bei ausschließender Berührung gilt das Pluszeichen von also , bei einschließender Berührung das Minuszeichen (). Faktorisiert man die Quadrate aus und subtrahiert man danach zyklisch paarweise die zweite Gleichung von der ersten, die dritte von der zweiten und die erste von der dritten, so eliminiert man die quadratischen Terme von , und und erhält ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Unbekannten:

In Matrixform:

Dieses System lässt sich mit einer der Standardmethoden, z. B. dem gaussschen Eliminationsverfahren, lösen, sofern eine Lösung existiert. Für Fälle mit Geraden ist dieser Ansatz ungeeignet.

Fallunterscheidungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Table 1: Die zehn Typen des Apollonios-Problems
Nummer Kürzel Gegeben Zahl der Lösungen
(im Allgemeinen)
Beispiel
(gegebene Elemente schwarz; Lösung pink)
Anmerkungen
1 PPP drei Punkte 1 Apollonius PPP black.svg
2 GPP eine Gerade, zwei Punkte 2 Apollonius LPP black.svg Ist die Gerade, die durch die beiden Punkte geht, parallel zur gegebenen Gerade, so existiert nur 1 Lösung.
3 GGP zwei Geraden, ein Punkt 2 Apollonius LLP black.svg
4 GGG drei Geraden 4 Apollonius LLL black.svg der Inkreis und die 3 Ankreise des aus den 3 Geraden gebildeten Dreiecks
5 KPP ein Kreis, zwei Punkte 2 Apollonius CPP black.svg
6 KGP ein Kreis, eine Gerade, ein Punkt 4 Apollonius CLP black.svg
7 KKP zwei Kreise, ein Punkt 4 Apollonius CCP black.svg
8 KGG ein Kreis, zwei Geraden 8 Apollonius CLL black.svg
9 KKL zwei Kreise, eine Gerade 8 Apollonius CCL black.svg
10 KKK drei Kreise (das klassische Problem) 8 Apollonius CCC black.svg

Das Problem ist in allen Fällen mit den klassischen Mitteln (Zirkel und Lineal) lösbar. Falls zwei der Kreise mindestens einen Punkt M gemein haben, kann man das Problem vereinfachen, indem man es durch eine Spiegelung an einem Kreis mit Mittelpunkt M auf den Fall zurückführt, dass zwei der Kreise in Geraden ausarten.

Für die vier Fälle ohne gegebene Kreise können mit relativ einfachen Möglichkeiten Lösungen für die Kreisradien angegeben werden:

Drei Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für drei Punkte gibt es i. a. eine Lösung

Für drei Punkte gibt es eine Lösung. Wenn mindestens zwei Punkte aufeinander liegen, gibt es unendlich viele Lösungen.

Die drei Punkte bilden ein Dreieck mit den Seiten a, b, c. Der gesuchte Kreis ist der Umkreis dieses Dreiecks:

Für die Bestimmung des Flächeninhaltes A kann wieder der Satz des Heron verwendet werden.


Eine Gerade, zwei Punkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Gerade und zwei Punkte gibt es i. a. zwei Lösungen

Für zwei Punkte und eine Gerade gibt es zwei Lösungen, bei den unten genannten Spezialfällen nur eine, und für zwei auf der Geraden liegende Punkte keine Lösung.

Die vorgegebenen Punkte seien mit und bezeichnet, die vorgegebene Gerade mit . Weiter sei der Schnittpunkt der Geraden mit und der Schnittwinkel. Dann haben die Berührpunkte der beiden gesuchten Kreise nach dem Sekantentangentensatz den Abstand von . Die Mittelpunkte können dann als Schnittpunkte der Mittelsenkrechten von mit den Senkrechten zu in den Berührpunkten ermittelt werden.


Zwei Geraden, ein Punkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für zwei sich schneidende Geraden und einen Punkt gibt es im Allgemeinen zwei Lösungen
Konstruktion der nahe am Geraden-Schnittpunkt liegenden Lösung für den allgemeinen Fall

Es gibt verschiedene Fälle:

  • Die Geraden sind parallel: Falls der Punkt außerhalb des von den Geraden begrenzten Bereiches liegt, gibt es keine Lösungen. Liegt er auf einer der Geraden, gibt es eine Lösung. Liegt er dazwischen, zwei Lösungen; der Kreisdurchmesser ist jeweils gleich dem Abstand der Geraden.
  • Die Geraden sind nicht parallel:
    • Ist der Punkt der Schnittpunkt der Geraden, gibt es keine Lösung, sofern man die Lösung r=0 (Sonderfall des Kreises) ignoriert.
    • Liegt der Punkt auf einer der Geraden, , ist jedoch nicht der Schnittpunkt, gibt es zwei Lösungen; die Mittelpunkte der Kreise sind die Schnittpunkte der beiden Winkelhalbierenden mit der Senkrechten zu durch .
    • Liegt der Punkt auf keiner der Geraden, gibt es zwei Lösungen; dies ist der generische Fall. Es seien das Bild von unter der Spiegelung an der zugehörigen Winkelhalbierenden und der Schnittpunkt der Senkrechten zu durch und mit einer der Geraden, . Damit ist die Darstellung nun symmetrisch zur Winkelhalbierenden. Der Abstand der Berührpunkte (der beiden Kreise mit ) zu ergibt sich mit Hilfe der Beziehung des Sekanten-Tangenten-Satz, angewendet mit als Geraden-Zentrum zu . Aufgetragen nach beiden Seiten auf ergeben sich zunächst die Berührpunkte . Die Mittelpunkte der Kreise ergeben sich durch die jeweiligen Schnittpunkte der Senkrechten zu durch mit der Winkelhalbierenden .


Drei Geraden[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für drei sich schneidende Geraden gibt es vier Lösungen

Für drei sich schneidende Geraden (nicht parallel oder übereinander liegend) gibt es vier Lösungen. Sind zwei der Geraden parallel, gibt es nur zwei Lösungen, für drei Parallelen gibt es keine Lösung und für parallele Geraden mit Abstand 0 gibt es unendlich viele Lösungen.

Die drei Geraden bilden mit ihren Schnittpunkten ein Dreieck mit den Seiten . Deshalb kommen hier die Regeln für den Inkreis und die Ankreise zur Anwendung:

mit den Innenwinkeln , dem Flächeninhalt und dem halben Umfang :

Um einen Ausdruck zu erhalten, der nur die Seitenlängen verwendet, kann der Satz des Heron benutzt werden:

Die entsprechenden Formeln für die Ankreise lauten

bzw. für die anderen Ankreisen entsprechend.


Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Apollonisches Problem – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien