Satz von Holditch

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Eine Sehne (blau) wird innerhalb einer Kurve (schwarz) bewegt, sodass ein Punkt auf der Sehne (rot) eine weitere Kurve zeichnet.

Der Satz von Holditch ist ein Satz der ebenen Geometrie, der erstmals 1858 von Hamnet Holditch formuliert wurde. Er liefert eine Formel für den Flächeninhalt einer Fläche, die entsteht, wenn eine Sehne entlang einer geschlossenen Kurve bewegt wird.

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine geschlossene, konvexe Kurve. Die Sehne der Länge sei durch den Punkt in zwei Strecken unterteilt, die die Längen und haben, und durchlaufe einmal. (Damit dies möglich ist, muss hinreichend klein sein.) Der Punkt beschreibt dabei eine Kurve , diese sei ohne Selbstüberschneidungen. Dann hat das Gebiet zwischen und einen Flächeninhalt von .

Der Flächeninhalt ist damit unabhängig von Form und Größe der Kurve und hängt nur von der Länge der Sehne und der Position des Punktes auf ihr ab.

Holditch selbst hat bei der Formulierung einige wichtige Punkte nicht beachtet, so fehlt bei ihm die Bedingung, dass konvex ist, dass die Sehne kurz genug ist, um einmal ganz herumlaufen zu können, und dass keine Selbstüberschneidungen besitzt. Auch sein Beweis enthält mehrere unbewiesene Annahmen.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige Spezialfälle des Satzes von Holditch lassen sich leicht elementargeometrisch beweisen: Ist ein Kreis vom Radius , so ist auch ein Kreis, der den gleichen Mittelpunkt wie besitzt. Seinen Radius bestimmt man, indem man einen Durchmesser von einzeichnet. Dieser wird vom Punkt in zwei Teile der Länge und geteilt, sodass nach dem Sehnensatz gilt. Die Fläche des Ringes zwischen den beiden Kreisen beträgt in Übereinstimmung mit der Aussage von Holditch.

Ist ein Rechteck, dessen Seiten alle länger sind als die Sehne, so fällt auf einem Teil des Rechtecks mit zusammen, nur in den Ecken weicht ab und beschreibt jeweils ein Viertel eines Ellipsenbogens. Die Fläche zwischen den Kurven stimmt daher mit der Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen und überein, beträgt also wiederum .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Verallgemeinerung des Satzes von Holditch stammt von Arne Broman und liefert zugleich auch eine formale Darstellung für das Durchlaufen der Sehne.

Sei eine geschlossene, rektifizierbare ebene Kurve, parametrisiert durch für . Sei stetig und von beschränkter Variation mit , wobei eine ganze Zahl ist. Seien für und Punkte in der Ebene, sodass die Strecke einen Winkel von gegenüber einer festen Referenzgeraden hat und durch den Punkt in zwei Teilstrecken der Längen und geteilt wird. Die Kurven, die sie durchlaufen, seien und . Sei und analog für und . Dann gilt:

Der Satz von Holditch ergibt sich als Spezialfall, wenn und ist. Die Fläche zwischen den Kurven beträgt dann nach dem Satz von Green gerade , was nach der obigen Formel tatsächlich ist.

Der Beweis des Satzes kann durch einfache Rechnungen mit Kurvenintegralen erfolgen.

Eine Verallgemeinerung des Satzes auf höhere Dimensionen ist vermutlich nicht möglich.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Holditch und seine Verallgemeinerungen können bei der Untersuchung kinematischer Ketten Anwendung finden, mit ihrer Hilfe ist es möglich, den Platzbedarf von Konstruktionen zu ermitteln, wenn die Endpunkte beweglicher Stangen auf bestimmten Bahnen geführt werden.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Arne Broman: Holditch’s Theorem. A fresh look at a long forgotten theorem. In: Mathematics Magazine. Vol. 54, No. 3, Mai 1981. S. 99–108. (JSTOR 2689793)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]