Konfinalität

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In der Ordnungstheorie und Mengenlehre findet die Eigenschaft konfinal (auch: kofinal, engl. cofinal) Anwendung bei topologischen Teilnetzen, so auch bei den proendlichen Zahlen. Der davon abgeleitete Begriff der Konfinalität (auch: Kofinalität, engl. cofinality) bezeichnet ein spezielles Attribut von halbgeordneten Teilmengen, nämlich eine Kardinalzahl.

Der Begriff wurde von Felix Hausdorff eingeführt.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei eine durch partiell geordnete Menge und . Die Menge heißt konfinal (kofinal) in (oder, wenn es mehrere partielle Ordnungen auf gibt, konfinal in ), falls zu jedem ein mit existiert.
  • Die Konfinalität von wird mit bezeichnet und ist definiert als die kleinste Kardinalität einer konfinalen Teilmenge, d. h.
.
  • Für eine Kardinalzahl führt man folgende Begriffe ein:
Falls , so heißt singulär.
Falls , so heißt regulär.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ist kofinal in
ist transitiv und reflexiv, also eine Quasiordnung.
Transitivität: Ist und , dann ist erstens . Zweitens gibt es zu jedem ein mit . Ist nun , dann gibt es ein mit , also auch ein mit . Zusammengenommen folgt .
Die Reflexivität ist trivial.
  • Die Konfinalität ist genau dann , wenn die partiell geordnete Menge leer ist.
  • Die Konfinalität ist genau dann , wenn die Ordnung ein Maximum besitzt, etwa wenn es sich um eine Nachfolgerordinalzahl handelt.
  • Für nicht-leere partiell geordnete Mengen ohne maximale Elemente ist die Konfinalität mindestens abzählbar, also (siehe Aleph-Funktion), und höchstens die Kardinalität der Menge selbst, denn jede partiell geordnete Menge liegt konfinal in sich selbst.
  • Für totalgeordnetes gilt , das heißt ist regulär.
  • Für eine Limeszahl (aufgefasst als Von-Neumann-Ordinalzahl) ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn ihre Vereinigung gleich ist.
  • Besitzt eine unendliche Menge reguläre Kardinalität , so benötigt man mindestens -viele Mengen mit Mächtigkeit kleiner als , um als Vereinigung dieser Mengen darzustellen.
  • Für eine Limeszahl ist eine Teilmenge genau dann konfinal, wenn sie als Netz, versehen mit der natürlichen Ordnung, in der Ordnungstopologie von gegen konvergiert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Konfinalität von mit der natürlichen Ordnung ist , denn die natürlichen Zahlen bilden eine abzählbare konfinale Teilmenge.
  • ist regulär.
  • Schränkt man ein Netz unter Übernahme der Ordnung auf eine konfinale Teilmenge ein, erhält man ein Teilnetz (jedoch muss nicht jedes Teilnetz diese Gestalt besitzen).
  • Die Kardinalzahl ist singulär. Es gilt , denn ist eine konfinale Teilmenge.
  • Ist eine Nachfolgerordinalzahl und gilt das Auswahlaxiom, so ist stets regulär. Die Frage, ob es neben weitere und damit überabzählbare, reguläre Limeskardinalzahlen gibt, ist Kern der Große-Kardinalzahl-Axiome, d. h. der Axiome über die Existenz großer Kardinalzahlen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ulf Friedrichsdorf, Alexander Prestel: Mengenlehre für den Mathematiker (= Vieweg-Studium. 58 Grundkurs Mathematik.). Vieweg, Braunschweig u. a. 1985, ISBN 3-528-07258-X.
  • Thomas Jech: Set Theory. 3rd millennium Edition, revised and expanded. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-44085-2.