Arkussinus und Arkuskosinus

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Arkussinus und Arkus­kosinus im kartesi­schen Koordinaten­system
  • arcsin (x)
  • arccos (x)
  • Der Arkussinus – geschrieben oder  – und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben oder  – sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsbereich auf das Intervall für Sinus und auf für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.

    Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen und die klassische Schreibweise bzw. zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]

    Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Die Sinusfunktion ist -periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)

    die Umkehrfunktion der Einschränkung der Sinusfunktion auf das Intervall betrachtet.

    Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von definiert. Dies ergibt mit

    ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels

    lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.

    Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

      Arkussinus Arkuskosinus
    Funktions-
    Graphen
    Arcsin Arccos
    Definitionsbereich
    Wertebereich
    Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallend
    Symmetrien Ungerade Funktion: Punktsymmetrie zu
    Asymptoten für für
    Nullstellen
    Sprungstellen keine keine
    Polstellen keine keine
    Extrema keine keine
    Wendepunkte

    Formeln für negative Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:

    Reihenentwicklungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

    Der Ausdruck bezeichnet dabei die Doppelfakultät.

    Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung :

    Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.

    Integraldarstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:

    Verkettungen mit Sinus und Kosinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:

    , denn für gilt und .
    , denn für gilt und .
    , denn für gilt und .
    , denn für gilt und .

    Beziehung zum Arkustangens[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt

    für Definiert man so werden diese beiden Gleichungen auch für richtig. Alternativ dazu kann man auch

    verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arcustangens ergibt und für gilt. Für lässt sich Letzteres auch zu

    vereinfachen.

    Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Arkussinus
    Arkuskosinus
    Umrechnung

    Integrale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Arkussinus
    Arkuskosinus

    Komplexe Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

      mit

    Zur Funktion arcosh siehe Areakosinus Hyperbolicus, für die Signumfunktion gilt

    Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Besondere Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Kettenbruchdarstellung des Arkussinus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:

    Komplexe Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:

    Hier wäre genauso die Herleitung dieser beiden Formeln:

    Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

    1. Eric W. Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).