Der Arkussinus – geschrieben
oder
– und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben
oder
– sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall
abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus
wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus
unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsbereich auf das Intervall
für Sinus und auf
für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.
Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (natürlich ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise
beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen
und
die klassische Schreibweise
bzw.
zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]
Die Sinusfunktion ist
-periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)
![\arcsin\colon[-1,1]\to \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right],](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16005d8f13fe22748f868c3b42f9103c161298c7)
die Umkehrfunktion der Einschränkung
der Sinusfunktion auf das Intervall
betrachtet.
Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von
definiert. Dies ergibt mit
![\arccos\colon[-1,1]\to[0,\pi]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4c6551e2eb9568ea656354e031c39358fa5487)
ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels

lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.
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Arkussinus
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Arkuskosinus
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Funktions- Graphen
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Definitionsbereich
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Wertebereich
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Monotonie
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streng monoton steigend
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streng monoton fallend
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Symmetrien
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Ungerade Funktion:
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Punktsymmetrie zu 
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Asymptoten
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für
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für
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Nullstellen
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Sprungstellen
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keine
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keine
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Polstellen
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keine
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keine
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Extrema
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keine
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keine
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Wendepunkte
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Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:


Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Anwenden der binomischen Reihe auf die Ableitung, sie ist gegeben durch:

Der Ausdruck
bezeichnet dabei die Doppelfakultät.
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ist aufgrund der Beziehung
:

Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.
Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:


Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
, denn für
gilt
und
.
, denn für
gilt
und
.
, denn für
gilt
und
.
, denn für
gilt
und
.
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt


für
Definiert man
so werden diese beiden Gleichungen auch für
richtig. Alternativ dazu kann man auch


verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arcustangens ergibt und für
gilt. Für
lässt sich Letzteres auch zu

vereinfachen.
- Arkussinus

- Arkuskosinus

- Umrechnung

- Arkussinus

- Arkuskosinus

mit 

Zur Funktion arcosh siehe Areakosinus hyperbolicus, für die Signumfunktion gilt
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H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:


- Hier wäre genauso die Herleitung dieser beiden Formeln:


- ↑ Eric W. Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).