Der Arkussinus – geschrieben
oder
– und der Arkuskosinus (oder auch Arkuscosinus) – geschrieben
oder
– sind Umkehrfunktionen der (geeignet) eingeschränkten Sinus- bzw. Kosinusfunktion. Sinus und Kosinus sind Funktionen, die einen Winkel auf einen Wert im Intervall
abbilden; als deren Umkehrfunktionen bilden Arkussinus und Arkuskosinus einen Wert aus
wieder auf einen zugehörigen Winkel ab. Da Sinus und Kosinus periodische Funktionen sind, gibt es aber zu jedem Wert aus
unendlich viele zugehörige Winkel. Daher wird zur Umkehrung von Sinus und Kosinus deren Definitionsmenge auf das Intervall
für Sinus und auf
für Kosinus eingeschränkt. Sinus und Kosinus sind auf diesen Intervallen streng monoton und daher umkehrbar.
Zusammen mit dem Arkustangens als Umkehrfunktion des (ebenfalls geeignet eingeschränkten) Tangens bilden der Arkussinus und Arkuskosinus den Kern der Klasse der Arkusfunktionen. Aufgrund der in neuerer Zeit für Umkehrfunktionen gebräuchlichen Schreibweise
beginnen die namentlich auf Taschenrechnern verbreiteten Schreibweisen
und
die klassische Schreibweise
bzw.
zu verdrängen, was eventuell zu Verwechslungen mit den Kehrwerten des Sinus und Kosinus (Kosekans und Sekans) führen kann.[1]
Die Sinusfunktion ist
-periodisch und innerhalb einer Periode nicht injektiv. Daher muss ihr Definitionsbereich geeignet eingeschränkt werden, um eine umkehrbar-eindeutige Funktion zu erhalten. Da es für diese Einschränkung mehrere Möglichkeiten gibt, spricht man von Zweigen des Arkussinus. Meist wird der Hauptzweig (oder Hauptwert)
![{\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16005d8f13fe22748f868c3b42f9103c161298c7)
die Umkehrfunktion der Einschränkung
der Sinusfunktion auf das Intervall
betrachtet.
Analog zum Arkussinus wird der Hauptzweig des Arkuskosinus als die Umkehrfunktion von
definiert. Dies ergibt mit
![{\displaystyle \arccos \colon [-1,1]\to [0,\pi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea4c6551e2eb9568ea656354e031c39358fa5487)
ebenfalls eine bijektive Funktion. Mittels

lassen sich diese beiden Funktionen ineinander umrechnen.
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Arkussinus
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Arkuskosinus
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Funktionsgraph
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Definitionsmenge
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Bildmenge
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Monotonie
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streng monoton steigend
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streng monoton fallend
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Symmetrien
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Ungerade Funktion (Punktsymmetrie zu ):
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Punktsymmetrie zu 
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Asymptoten
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keine
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keine
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Nullstellen
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Eine Nullstelle bei
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Eine Nullstelle bei
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Sprungstellen
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keine
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keine
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Polstellen
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keine
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keine
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Extrema
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Globales Maximum an der Stelle , globales Minimum an der Stelle
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Globales Maximum an der Stelle , globales Minimum an der Stelle
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Wendepunkte
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Aufgrund der Symmetrieeigenschaften gilt:


Die Taylorreihe des Arkussinus erhält man durch Entwickeln der Ableitung in eine binomische Reihe und anschließende Integration, sie ist gegeben durch:

Der Ausdruck
bezeichnet dabei die Doppelfakultät.
Die Taylorreihe des Arkuskosinus ergibt sich aus der Beziehung
:

Beide Reihen haben den Konvergenzradius 1.
Die Integraldarstellungen des Arkussinus bzw. Arkuskosinus sind gegeben durch:


Für die Arkusfunktionen gelten unter anderem folgende Formeln:
, denn für
gilt
und
.
, denn für
gilt
und
.
, denn für
gilt
und
.
, denn für
gilt
und
.
Von besonderer Bedeutung in älteren Programmiersprachen ohne implementierte Arkussinus- und Arkuskosinusfunktion sind folgende Beziehungen, die es ermöglichen, den Arkussinus und Arkuskosinus aus dem vielleicht implementierten Arkustangens zu berechnen. Aufgrund obiger Formeln gilt


für
Definiert man
so werden diese beiden Gleichungen auch für
richtig. Alternativ dazu kann man auch


verwenden, was sich aus Obigem durch Anwenden der Funktionalgleichung des Arkustangens ergibt und für
gilt. Für
lässt sich Letzteres auch zu

vereinfachen.
Die Additionstheoreme für Arkussinus und Arkuskosinus erhält man mit Hilfe der Additionstheoreme für Sinus und Kosinus:


Daraus folgt insbesondere für doppelte Funktionswerte


- Arkussinus

- Arkuskosinus

- Umrechnung

- Arkussinus

- Arkuskosinus

mit 

Zur Funktion
siehe Areakosinus hyperbolicus, und für die Funktion
gilt

mit der Heaviside-Funktion
.
Siehe auch: Sinus und Kosinus: Wichtige Funktionswerte
Die folgende Tabelle listet die wichtigen Funktionswerte der beiden Arkusfunktionen auf.[2]
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Weitere wichtige Werte sind:
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H. S. Wall fand 1948 für den Arkussinus folgende Darstellung als Kettenbruch:

Man kann Arkussinus und Arkuskosinus auch durch den Hauptzweig des komplexen Logarithmus ausdrücken:


Diese beiden Formeln kann man wie folgt herleiten:
Für
:

Für
:

- ↑ Eric W. Weisstein: Inverse Trigonometric Functions. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Georg Hoever: Höhere Mathematik kompakt. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-662-43994-4 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).