Varifaltigkeit

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Die Varifaltigkeit (englisch Varifold) ist ein mathematischer Begriff aus der geometrischen Maßtheorie. Varifaltigkeiten sind Maße und können differenzierbare Mannigfaltigkeit durch das Konzept der Rektifizierbarkeit verallgemeinern. Dadurch können auch Flächen mit Singularitäten modelliert werden. Rektifizierbare Varifaltigkeiten verallgemeinern rektifizierbare Ströme.

Im ganzen Artikel seien mit . Mit bezeichnen wir die Graßmann-Mannigfaltigkeit von , d. h. der Raum der unorientierten -dimensionalen linearen Unterräume von .

Sei Vektorraum und ein linearer Untervektorraum von . Eine Varifaltigkeit ist ein Maß für eine offene Teilmenge , welche von dem Untervektorraum abhängt

für ein geeignetes Maß . Als Beispiel sei eine Ebene und das Produktmaß aus dem Lebesgue-Maß auf und dem Dirac-Maß auf .[1]

Ein häufig gewähltes Maß ist das Produktmaß , wobei das das -dimensionale Hausdorff-Maß an der Stelle bezeichnet und den approximativen Tangentialraum und das Dirac-Maß.

Sei eine offene Teilmenge von . Eine -dimensionale Varifaltigkeit in ist ein Radon-Maß auf dem Raum

.[2]

Als Gewicht von definieren wir das Radonmaß für alle . Somit gilt wobei die Projektion ist.

Der Raum der Varifaltigkeiten notieren wir mit und versehen ihn mit der schwachen Topologie, d. h. in genau dann, wenn für alle .

Für eine Borel-Menge bezeichnen wir mit die Restriktion auf , somit gilt für alle

  • Sei offen und bezeichne mit den Raum der stetig-differenzierbaren Untermannigfaltigkeiten in , welche eine lokal-endliche -dimensionale Fläche in besitzen. Sei und das -dimensionale Hausdorff-Maß auf . Für jedes definiere das Radon-Maß[3]
für alle .
Definiere wobei den Tangentialraum bezeichnet und . Dann existiert eine Abbildung so dass
somit können Varifaltigkeiten als Verallgemeinerungen der Mannigfaltigkeiten verstanden werden.
  • Sei eine geschlossene -dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und das -dimensionale Hausdorff-Maß auf . Sei und , dann wird für eine Borel-Teilmenge eine Varifaltigkeit durch[1]
definiert.
  • Sei offen und das -dimensionale Hausdorff-Maß lokal-endlich. Weiter sei eine -messbar und abzählbar -rektifizierbar Teilmenge (d. h. der approximative Tangentialraum existiert -fast überall). Sei eine lokal-beschränkte lineare Funktion, dann definiert
eine Varifaltigkeit .[4] Es gilt .

Rektifizierbare Varifaltigkeit

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Sei eine abzählbar -rektifizierbare, -messbare Teilmenge von . Weiter definiere die sogenannte Multiplizitätsfunktion , eine positive lokal--integriebare Funktion auf . Eine -rektifizierbare Varifaltigkeit ist die Äquivalenzklasse aller Paare , wobei abzählbar -rektifizierbar ist und für die vereinigte Differenzmenge gilt, dass , sowie für -fast überall auf .[5]

  • William K. Allard: Notes on the theory of varifolds. In: Astérisque. Nr. 154-155, 1987, S. 73.
  • Ulrich Menne: The Concept of Varifold. Hrsg.: American Mathematical Society. Band 64, Nr. 10, 2017, S. 1148–1152, doi:10.1090/noti1589.
  • Leon Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. In: Australian National University (Hrsg.): Proceedings of the Centre for Mathematics and its Applications. Band 3, 1983, ISBN 978-0-86784-429-0.

Einzelnachweise

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  1. a b Ulrich Menne: The Concept of Varifold. Hrsg.: American Mathematical Society. Band 64, Nr. 10, 2017, S. 1148–1152, doi:10.1090/noti1589.
  2. William K. Allard: Notes on the theory of varifolds. In: Astérisque. Nr. 154-155, 1987, S. 73.
  3. William K. Allard: Notes on the theory of varifolds. In: Astérisque. Nr. 154-155, 1987, S. 74.
  4. Yoshihiro Tonegawa: Brakke’s Mean Curvature Flow: An Introduction. Hrsg.: Springer. 2019, ISBN 978-981-13-7074-8.
  5. Leon Simon: Lectures on Geometric Measure Theory. In: Australian National University (Hrsg.): Proceedings of the Centre for Mathematics and its Applications. Band 3, 1983, ISBN 978-0-86784-429-0, S. 77.