Mehrdimensionale Kettenregel

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Die mehrdimensionale Kettenregel oder verallgemeinerte Kettenregel ist in der mehrdimensionalen Analysis eine Verallgemeinerung der Kettenregel von Funktionen einer Variablen auf Funktionen und Abbildungen mehrerer Variablen. Sie besagt, dass die Verkettung von (total) differenzierbaren Abbildungen bzw. Funktionen differenzierbar ist, und gibt an, wie sich die Ableitung dieser Abbildung berechnet.

Mehrdimensionale Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine differenzierbare Abbildung, so ist die Ableitung von im Punkt , geschrieben , oder , eine lineare Abbildung, die Vektoren im Punkt auf Vektoren im Bildpunkt abbildet. Man kann sie durch die Jacobi-Matrix darstellen, die mit , oder auch mit bezeichnet wird, und deren Einträge die partiellen Ableitungen sind:

Die Kettenregel besagt nun, dass die Ableitung der Verkettung zweier Abbildungen gerade die Verkettung der Ableitungen ist, bzw. dass die Jacobi-Matrix der Verkettung das Matrizenprodukt der Jacobi-Matrix der äußeren Funktion mit der Jacobi-Matrix der inneren Funktion ist.

Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung differenzierbar. Ihre Ableitung im Punkt ist die Hintereinanderausführung der Ableitung von im Punkt und der Ableitung von im Punkt :

bzw.

Für die Jacobi-Matrizen gilt entsprechend:

,

bzw.

wobei der Punkt die Matrizenmultiplikation bezeichnet. Hier werden die Koordinaten im Definitionsbereich von mit bezeichnet, die Koordinaten im Bildraum von und damit dem Definitionsbereich von mit . Ausgeschrieben mit den Komponenten der Abbildungen und den partiellen Ableitungen:

Höhere Differenzierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind, für ein , die Abbildungen und von der Klasse , das heißt -mal stetig differenzierbar, so ist auch von der Klasse . Dies ergibt sich durch wiederholtes Anwenden der Kettenregel und der Produktregel auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen.

Spezialfall n = m = 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen "Umweg" definiert ist:

mit und .

In diesem Fall lässt sich die Kettenregel wie folgt schreiben:

Der letzte Malpunkt bezeichnet dabei das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, dem Gradienten

der Funktion , ausgewertet an der Stelle , und der vektorwertigen Ableitung

der Abbildung .[1]

Kettenregel und Richtungsableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Spezialfall , , mit , ist

die Richtungsableitung von im Punkt in Richtung des Vektors . Aus der Kettenregel folgt dann

Es ergibt sich also die übliche Formel für die Berechnung der Richtungsableitung:

[1]

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Beispiel bildet die äußere Funktion, abhängig von . Somit ist

Als innere Funktion setzen wir , abhängig von der reellen Variablen . Ableiten ergibt

Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:

Ein additives Beispiel mittels Substitution[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um die Ableitung von zu ermitteln, kann man die Funktion zum Beispiel schreiben und dann die Ketten- und Produktregel anwenden, was zu der Ableitung

führt. Eine alternative Möglichkeit der Ableitung dagegen bestünde in der Anwendung der mehrdimensionalen Kettenregel:

Sei die Funktion , lauten ihre beiden 1. partiellen Ableitungen und – aufgrund der Umformung leicht einzusehen – . Ersetzt man nun und durch die beiden Hilfsfunktionen und , ergibt sich mit und og. mehrdimensionaler Kettenregel:

Diese Vorgehensweise kann man etwa so beschreiben:

  1. Man leitet nach dem in der Basis ab, wobei man das im Exponenten als eine Konstante betrachtet,
  2. man leitet nach dem im Exponenten ab, wobei man das in der Basis als eine Konstante betrachtet,
  3. man addiert die Ergebnisse.

Der „Trick“ hierbei ist, dass man in der Basis und im Exponenten, obwohl sie gleichlauten, unterscheidet.

Diese Herleitung ist allgemein anwendbar, z. B. liefert sie ganz einfach auch die Leibnizregel für Parameterintegrale.

Verallgemeinerung auf differenzierbare Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und eine differenzierbare Abbildung, so ist die Ableitung oder von im Punkt eine lineare Abbildung vom Tangentialraum von im Punkt in den Tangentialraum von im Bildpunkt :

Andere Bezeichnungen dafür sind: Differential (dann oft geschrieben), Pushforward () und Tangentialabbildung ().

Die Kettenregel besagt dann: Sind , und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ist die Verkettung der differenzierbaren Abbildungen und , so ist auch differenzierbar und für die Ableitung im Punkt gilt:

Kettenregel für Fréchet-Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kettenregel gilt ganz entsprechend für Fréchet-Ableitungen.

Gegeben seien Banach-Räume , und , offene Teilmengen und und Abbildungen und .

Ist an der Stelle und an der Stelle differenzierbar, so ist auch die Verkettung an der Stelle differenzierbar und es gilt

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b Physiker schreiben hier die Vektoren, bzw. , mit Vektorpfeilen (, ) oder mit Fettdruck ( bzw. ). Das hat u. a. den Vorteil, dass man sofort erkennt, dass im Gegensatz zu eine eindimensionale Variable ist.