Inverse Matrix

Die inverse Matrix, kurz Inverse, einer quadratischen Matrix ist in der Mathematik eine ebenfalls quadratische Matrix, die mit der Ausgangsmatrix multipliziert die Einheitsmatrix ergibt. Nicht jede quadratische Matrix besitzt eine Inverse; die invertierbaren Matrizen werden reguläre Matrizen genannt und sind dadurch charakterisiert, dass ihre Determinante ungleich null ist. Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe. Die inverse Matrix stellt dann das inverse Element in dieser Gruppe dar. Die Inverse einer Matrix kann mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus oder über die Adjunkte der Matrix berechnet werden.

Definition

Ist $A\in K^{n\times n}$ eine reguläre quadratische Matrix mit Einträgen aus dem Körper $K$, dann ist die zugehörige inverse Matrix diejenige Matrix $A^{-1}\in K^{n\times n}$, für die

$A\cdot A^{-1}=I$

gilt, wobei $\cdot$ die Matrizenmultiplikation darstellt und $I$ die Einheitsmatrix der Größe $n\times n$ ist.

Beispiel

Die Inverse der reellen $(2\times 2)$-Matrix

$A={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}$

ist

$A^{-1}={\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}$,

denn es gilt

$A\cdot A^{-1}={\begin{pmatrix}2&5\\1&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3&-5\\-1&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6-5&-10+10\\3-3&-5+6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I$.

Eigenschaften

Gruppeneigenschaften

Die Menge der regulären Matrizen fester Größe bildet mit der Matrizenmultiplikation als Verknüpfung eine (im Allgemeinen nichtkommutative) Gruppe, die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (n,K)$. In dieser Gruppe ist die Einheitsmatrix das neutrale Element und die inverse Matrix das inverse Element. Als solches ist die Inverse einer Matrix eindeutig definiert und sowohl links-, als auch rechtsinvers, das heißt es gilt

$A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I$.

Insbesondere ergibt die Inverse der Einheitsmatrix wieder die Einheitsmatrix, also

$I^{-1}=I$.

und die Inverse der Inversen wieder die Ausgangsmatrix, das heißt

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$.

Das Produkt zweier Matrizen ist wieder invertierbar und die Inverse des Produkts ist das Produkt der jeweiligen Inversen, allerdings in umgekehrter Reihenfolge:

$\left(A\cdot B\right)^{-1}=B^{-1}\cdot A^{-1}$.

Für die Inverse des Produkts mehrerer Matrizen gilt dann die allgemeine Produktformel

$\left(A_{1}\cdot A_{2}\cdot \ldots \cdot A_{k}\right)^{-1}=A_{k}^{-1}\cdot \ldots \cdot A_{2}^{-1}\cdot A_{1}^{-1}$.

Kann eine Matrix als Produkt leicht invertierbarer Matrizen dargestellt werden, so kann die Inverse der Matrix auf diese Weise schnell ermittelt werden.

Weitere Eigenschaften

Für die Inverse des Produkts einer Matrix mit einem Skalar $c\in K$ mit $c\neq 0$ gilt

$(cA)^{-1}=c^{-1}A^{-1}$.

Die Inverse der transponierten Matrix ist gleich der Transponierten der Inversen, also

$\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{T}$.

Gleiches gilt auch für die Inverse einer adjungierten komplexen Matrix

$\left(A^{H}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{H}$.

Diese beiden Matrizen werden auch durch $A^{-T}$ und $A^{-H}$ notiert. Für die Determinante der Inversen gilt

$\det \left(A^{-1}\right)=(\det A)^{-1}$.

Gleichungsdarstellung

Ausgeschrieben lautet die Matrixgleichung $A\cdot A^{-1}=I$ mit $A=(a_{ij})$ und $A^{-1}=({\hat {a}}_{ij})$

${\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\hat {a}}_{11}&\ldots &{\hat {a}}_{1n}\\\vdots &~&\vdots \\{\hat {a}}_{n1}&\ldots &{\hat {a}}_{nn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&~&0\\~&\ddots &~\\0&~&1\end{pmatrix}}$.

Die $j$-te Spalte der Inversen ${\hat {a}}_{j}=\left({\hat {a}}_{1j},{\hat {a}}_{2j},\ldots ,{\hat {a}}_{nj}\right)^{T}$ ergibt sich damit als Lösung des linearen Gleichungssystems

$A\cdot {\hat {a}}_{j}=e_{j}$,

wobei $e_{j}$ der $j$-te Einheitsvektor ist. Die Inverse einer Matrix $A$ ist demnach spaltenweise in der Form

$A^{-1}=\left({\hat {a}}_{1}~|~{\hat {a}}_{2}~|~\ldots ~|~{\hat {a}}_{n}\right)$

aus den Lösungen $n$ linearer Gleichungssysteme mit jeweils $A$ als Koeffizientenmatrix und einem Einheitsvektor als rechter Seite zusammengesetzt.

Berechnung

Gauß-Jordan-Algorithmus

Verfahren

Die Inverse einer Matrix kann effizient mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnet werden. Die Idee bei diesem Verfahren ist es, die $n$ linearen Gleichungssysteme $A\cdot {\hat {a}}_{j}=e_{j}$ simultan zu lösen. Hierzu wird zunächst die Koeffizientenmatrix $A$ um die Einheitsmatrix $I$ erweitert und man schreibt dann

$(\,A\,|\,I\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}a_{11}&\ldots &a_{1n}\,&\,1&~&0\\\vdots &~&\vdots \,&\,~&\ddots &~\\a_{n1}&\ldots &a_{nn}\,&\,0&~&1\end{array}}\right)$.

Nun wird mit die Matrix $A$ mit Hilfe elementarer Zeilenumformungen auf obere Dreiecksgestalt gebracht, wobei die Einheitsmatrix $I$ mit umgeformt wird:

$(\,D\,|\,B\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}*&\ldots &*\,&\,*&\ldots &*\\~&\ddots &\vdots \,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&*\,&\,*&\ldots &*\end{array}}\right)$.

An dieser Stelle kann entschieden werden, ob die Matrix $A$ überhaupt eine Inverse besitzt. Die Matrix $A$ ist nämlich genau dann invertierbar, wenn die Matrix $D$ keine Nullzeile enthält. Ist dies der Fall, so kann die Matrix $D$ mit weiteren elementaren Zeilenumformungen zunächst auf Diagonalgestalt gebracht werden und dann durch entsprechende Skalierungen in die Einheitsmatrix überführt werden. Schließlich erhält man die Form

$(\,I\,|\,A^{-1}\,)=\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&~&0\,&\,{\hat {a}}_{11}&\ldots &{\hat {a}}_{1n}\\~&\ddots &~\,&\,\vdots &~&\vdots \\0&~&1\,&\,{\hat {a}}_{n1}&\ldots &{\hat {a}}_{nn}\end{array}}\right)$,

wobei auf der rechten Seite dann die gesuchte Inverse $A^{-1}$ steht. Die Korrektheit des Verfahrens folgt daraus, dass durch elementare Zeilenumformungen die Lösungsräume der $n$ linearen Gleichungssysteme nicht verändert wird.

Beispiele

Als erstes Beispiel werde die Inverse der Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$

gesucht. Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ergibt sich die Rechnung

$\left({\begin{array}{cc|cc}1&2\,&\,1&0\\2&3\,&\,0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&2\,&\,1&0\\0&-1\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&-1\,&\,-2&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{cc|cc}1&0\,&\,-3&2\\0&1\,&\,2&-1\end{array}}\right)$

Hierbei wird zunächst die $2$ unterhalb der Diagonale eliminiert, was durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile von der zweiten Zeile erfolgt. Anschließend wird die $2$ oberhalb der Diagonale zu null gesetzt, was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zur ersten Zeile geschieht. Im letzten Schritt wird dann das zweite Diagonalelement auf eins normiert, was eine Multiplikation der zweiten Zeile mit $-1$ erfordert. Die Inverse von $A$ ist demnach

$A^{-1}={\begin{pmatrix}-3&2\\2&-1\end{pmatrix}}$.

Als zweites Beispiel werde die Inverse der $(3\times 3)$-Matrix

$A={\begin{pmatrix}1&2&0\\2&4&1\\2&1&0\end{pmatrix}}$.

gesucht. Zunächst werden hier die beiden Zweien in der ersten Spalte eliminert, was jeweils durch Subtraktion des Doppelten der ersten Zeile erfolgt. Nachdem das Pivotelement in der zweiten Zeile nun $0$ ist, wird die zweite mit der dritten Zeile vertauscht und man erhält die obere Dreiecksform:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\2&4&1\,&\,0&1&0\\2&1&0\,&\,0&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&0&1\,&\,-2&1&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)$.

Auch diese Matrix ist also invertierbar. Nun muss lediglich die verbleibende $2$ oberhalb der Diagonalen zu null gesetzt werden, was durch Addition des Doppelten der zweiten Zeile zum Dreifachen der ersten Zeile geschieht. Schließlich muss noch die erste Zeile durch $3$ und die zweite Zeile durch $-3$ dividiert werden und man erhält als Ergebnis:

$\left({\begin{array}{ccc|ccc}1&2&0\,&\,1&0&0\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}3&0&0\,&\,-1&0&2\\0&-3&0\,&\,-2&0&1\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)\rightarrow \left({\begin{array}{ccc|ccc}1&0&0\,&\,-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\0&1&0\,&\,{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\0&0&1\,&\,-2&1&0\end{array}}\right)$.

Die Inverse von $A$ ist demnach

$A^{-1}={\begin{pmatrix}-{\tfrac {1}{3}}&0&{\tfrac {2}{3}}\\{\tfrac {2}{3}}&0&-{\tfrac {1}{3}}\\-2&1&0\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-1&0&2\\2&0&-1\\-6&3&0\end{pmatrix}}$.

Explizite Lösung

Herleitung

Mit Hilfe der cramerschen Regel lässt sich die Lösung des linearen Gleichungssystems $A\cdot {\hat {a}}_{j}=e_{j}$ auch explizit durch

${\hat {a}}_{ij}={\frac {\det A_{i}}{\det A}}$

angeben, wobei die Matrix $A_{i}$ durch Ersetzen der $i$-ten Spalte mit dem Einheitsvektor $e_{j}$ entsteht. Wird nun die Determinante im Zähler mit Hilfe des laplaceschen Entwicklungssatzes nach der $i$-ten Spalte entwickelt, ergibt sich

${\hat {a}}_{ij}={\frac {(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ji}}{\det A}}$,

wobei $A_{ji}$ die Untermatrix von $A$ ist, die durch Streichung der $j$-ten Zeile und $i$-ten Spalte entsteht (man beachte hier die Vertauschung der Reihenfolge von $i$ und $j$). Die Unterdeterminanten $\det A_{ij}$ werden auch als Minoren von $A$ bezeichnet. Die Zahlen

${\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot \det A_{ij}$

heißen auch Kofaktoren von $A$ und bilden als Matrix zusammengefasst die Kofaktormatrix $\operatorname {cof} A=({\tilde {a}}_{ij})$. Die Transponierte der Kofaktormatrix wird auch Adjunkte $\operatorname {adj} A$ von $A$ genannt. Mit der Adjunkten hat die Inverse einer Matrix dann die explizite Darstellung

$A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot \operatorname {adj} A$.

Formeln

Für $(2\times 2)$-Matrizen ergibt sich damit die explizite Formel

$A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\cdot {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}\cdot {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}$.

Für $(3\times 3)$-Matrizen ergibt sich entsprechend die Formel

$A^{-1}={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det A}}\cdot {\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}$

wobei $\det A$ mit der Regel von Sarrus angegeben werden kann. Auch für größere Matrizen können auf diese Weise explizite Formeln für die Inverse hergeleitet werden; ihre Darstellung und Berechnung erweist sich jedoch schnell als sehr aufwändig.

Beispiele

Die Inverse der folgenden $(2\times 2)$-Matrix ergibt sich zu

$A^{-1}={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{4-6}}\,{\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}-4&2\\3&-1\end{pmatrix}}$

und die Inverse der folgenden $(3\times 3)$-Matrix zu

$A^{-1}={\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{8-2-2}}\,{\begin{pmatrix}4-1&2-0&1-0\\2-0&4-0&2-0\\1-0&2-0&4-1\end{pmatrix}}={\frac {1}{4}}{\begin{pmatrix}3&2&1\\2&4&2\\1&2&3\end{pmatrix}}$.

Numerische Berechnung

Generell werden in der Numerik lineare Gleichungssysteme der Form $Ax=b$ nicht über die Inverse durch

$x=A^{-1}b$,

sondern mit dem gaußschen Eliminationsverfahren gelöst. Der Berechnungsweg über die Inverse ist zum einen wesentlich aufwändiger und zum anderen weniger numerisch stabil. Gelegentlich kann es jedoch erforderlich sein, die Inverse einer Matrix explizit zu ermitteln. Insbesondere bei sehr großen Matrizen wird dann auf Näherungsverfahren zurückgegriffen. Ein Ansatz hierfür ist die Neumann-Reihe, mit der die Inverse einer Matrix durch die unendliche Reihe

$A^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(I-A)^{n}$

dargestellt werden kann, sofern die Reihe konvergiert. Wird diese Reihe nach endlich vielen Termen abgeschnitten, erhält man eine näherungsweise Inverse. Für bestimmte Matrizen, wie Bandmatrizen oder Toeplitz-Matrizen, gibt es auch spezielle Berechnungsverfahren zur Ermittlung der Inverse.

Blockweise Inversion

Die Inverse einer $(2\times 2)$-Blockmatrix mit Blockbreiten- und -höhen $n_{1}+n_{2}=n$ ergibt sich zu

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}A^{-1}+A^{-1}BS^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}BS^{-1}\\-S^{-1}CA^{-1}&S^{-1}\end{bmatrix}}$,

wobei

$S=D-CA^{-1}B$

das Schur-Komplement von $A$ ist. Die Matrizen $A$ und $S$ müssen hierbei invertierbar sein.

Siehe auch

• Pseudoinverse

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3. 
• Gene Golub, Charles van Loan: Matrix Computations. 3. Auflage. Johns Hopkins University Press, 1996, ISBN 978-0-8018-5414-9. 
• Roger Horn, Charles R. Johnson: Matrix Analysis. Cambridge University Press, 1990, ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra. Springer, 2012, ISBN 978-3-8348-8290-5. 
• Hans Rudolf Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 8. Auflage. Vieweg & Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1551-4. 

Weblinks

• Inverse matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Kh.D. Ikramov: Inversion of a matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Eric W. Weisstein: Matrix Inverse. In: MathWorld (englisch).
• akrowne: Matrix inverse. In: PlanetMath. (englisch)