Eigenmode

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Die Eigenschwingungen oder Normalschwingungen eines schwingfähigen Systems bilden eine diskrete Basis aller Schwingungen, die ein ungedämpftes und frei schwingendes System ausführen kann. Sie ergeben sich aus den Bewegungsgleichungen des Systems als Eigenvektoren dieses Gleichungssystems. Jede Schwingung, die das System durchführen kann, kann als Überlagerung von Eigenschwingungen dargestellt werden. Die Frequenzen der Eigenschwingungen, werden die Eigenfrequenzen des Systems genannt, sie sind die Eigenwerte des Systems der Bewegungsgleichungen.

Die Anzahl der Eigenschwingungen eines Systems steht in Verbindung zu dessen Freiheitsgraden: Ein System kann maximal so viele Eigenfrequenzen wie Freiheitsgrade besitzen und besitzt genau so viele Eigenschwingungen wie Freiheitsgrade, wenn die gleichförmige Bewegung als Schwingung mit der Frequenz Null betrachtet wird.

Theorie

Die Lagrangefunktion eines Systems mit $f$ Freiheitsgraden sei

$L(q_{1},\dots ,q_{f},{\dot {q}}_{1},\dots ,{\dot {q}}_{f})={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1},\dots ,q_{f}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-U(q_{1},\dots ,q_{f})$

wobei $m_{ij}$ die Massenmatrix und $U$ das Potential ist. Bei der Näherung der Lagrangefunktion bis in zweiter Ordnung um die Gleichgewichtskoordinaten $q^{0}$ und der Vernachlässigung des konstanten Terms wird dies zu

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0}){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}{\bigg |}_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}(q_{i}-q_{i}^{0})(q_{j}-q_{j}^{0})$

respektive mit der Koordinatentransformation $x=q-q^{0}$ und den Abkürzungen $T_{ij}=T_{ji}=m_{ij}(q_{1}^{0},\dots ,q_{f}^{0})$ sowie $V_{ij}=V_{ji}=\partial ^{2}U/\partial q_{i}\partial q_{j}|_{q_{i,j}=q_{i,j}^{0}}$ kurz

$L={\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{f}\left(T_{ij}{\dot {x}}_{i}{\dot {x}}_{j}-V_{ij}x_{i}x_{j}\right)$

Aus den Lagrangegleichungen ergeben sich die Bewegungsgleichungen des Systems

$\sum _{j_{1}}^{f}T_{ij}{\ddot {x}}_{j}=-\sum _{j=1}^{f}V_{ij}x_{j}\Leftrightarrow T{\ddot {x}}=-Vx$

wobei sowohl $T$ als auch $V$ $f\times f$-Matrizen und $x$ ein $f$-dimensionaler Vektor ist. Da die kinetische Energie immer größer als Null ist, ist $T$ positiv definit. Damit sich das System in einem stabilen oder indifferenten Gleichgewicht befindet, muss $V$ positiv semidefinit sein. Insbesondere sind daher alle Eigenwerte von $T$ und $V$ nichtnegativ.

Der Lösungsansatz der Gleichung lautet:

$x(t)=A\exp(-\mathrm {i} \omega t)$

Dies führt auf das Eigenwertproblem

$(V-\omega ^{2}T)A=0$.

Um dieses nichttrivial zu lösen, muss die Determinante $\det(V-\omega ^{2}T)$ verschwinden. Diese ist ein Polynom vom Grad $f$ in $\omega ^{2}$ und besitzt daher $f$ komplexe Nullstellen. Die Nichtnegativität der Eigenwerte von $T$ und $V$ sorgt jedoch dafür, dass diese alle reell und nichtnegativ sind. Physikalisch kann dies wie folgt interpretiert werden: Angenommen, es gäbe eine Nullstelle im Negativen oder Komplexen. Dann würde $\omega$ einen Imaginärteil besitzen und die Lösung divergieren. Dies steht im Widerspruch zur Annahme des stabilen Gleichgewichts.

Die (positiven) Wurzeln der Nullstellen des Polynoms

$P^{(f)}(\omega ^{2})=\det(V-\omega ^{2}T)$

sind die Eigenfrequenzen $\omega _{k}$ des Systems, das durch $T$ und $V$ beschrieben wird. Ein System mit $f$ Freiheitsgraden besitzt daher maximal $f$ Eigenfrequenzen.

Die $f$ Eigenschwingungen des Systems sind die $f$ Eigenvektoren des Eigenwertproblems, die die Gleichung

$(V-\omega _{k}^{2}T)A^{(k)}=0$

erfüllen. Insbesondere ist jedes Vielfache eines Eigenvektors auch ein Eigenvektor. Das bedeutet, diese können normiert und mit einer komplexen Konstanten $c_{k}$ multipliziert werden.

Fallen mehrere Eigenfrequenzen zusammen, dann hat die Gleichung nicht vollen Rang und einige Komponenten der zugehörigen $A^{(k)}$ können frei gewählt werden. Hat die Matrix $V$ einen Eigenwert Null, liegt ein indifferentes Gleichgewicht vor. Dann ist auch eine Eigenfrequenz des Systems Null. In diesem Fall lautet die Eigenwertgleichung ${\ddot {x}}=0$, sodass die Lösung eine gleichförmige Bewegung des Systems ist.

Die allgemeine Lösung des Gleichungssystems für die Schwingung des Systems ist daher eine Superposition seiner Eigenschwingungen und gegebenenfalls einer gleichförmigen Bewegung

$x(t)=\sum _{k=1 \atop \omega _{k}\neq 0}^{f}\operatorname {Re} \left(c_{k}A^{(k)}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)+\sum _{k=1 \atop \omega _{k}=0}^{f}A^{(k)}\left(x_{k}^{0}+C_{k}t\right)$

Für jeden Freiheitsgrad existieren daher entweder 2 reelle oder 1 komplexer freier Parameter. Es ergeben sich somit $2f$ Konstanten, die durch Anfangsbedingungen festgelegt werden müssen.

Normalkoordinaten

Die Normalkoordinaten $Q$ des Systems sind definiert als

$Q=a^{-1}x$

wobei

$a=\left({A_{i}}^{(k)}\right)$

ist, also die Matrix der Eigenvektoren. Diese Matrix der Eigenvektoren diagonalisiert sowohl $V$ als auch $T$, denn aus der Symmetrie von $V$ folgt

$\left(\omega _{k}^{2}-\omega _{l}^{2}\right)\sum _{i,j=1}^{f}T_{ij}a_{il}a_{jk}=0$

sodass für alle nicht entarteten Eigenwerte alle Nichtdiagonalelemente von $a^{\mathrm {T} }Ta$ verschwinden müssen. Eine entsprechende Normierung der Eigenvektoren führt auf die Orthonormalitätsrelation

$a^{\mathrm {T} }Ta=1$

Für entartete Eigenwerte können die Eigenvektoren ebenfalls so gewählt werden, dass diese Matrix diagonal wird. Ebenfalls kann gezeigt werden, dass $a$ auch $V$ diagonalisiert. Mit $\lambda =\left(\omega _{k}^{2}\delta _{kl}\right)$ kann die Bewegungsgleichung als

$Va=Ta\lambda$

geschrieben werden, sodass die Behauptung durch Multiplikation mit $a^{\mathrm {T} }$ von links direkt folgt.

Somit entkoppelt eine Koordinatentransformation von den Auslenkungen aus der Gleichgewichtslage $x$ in die Normalkoordinaten $Q$ mittels $x=aQ$ das Gleichungssystem, denn es gilt:

$L={\frac {1}{2}}\left({\dot {x}}^{\mathrm {T} }T{\dot {x}}-x^{\mathrm {T} }Vx\right)={\frac {1}{2}}\left({\dot {Q}}^{\mathrm {T} }{\dot {Q}}-Q^{\mathrm {T} }\lambda Q\right)={\frac {1}{2}}\sum _{k}\left({\dot {Q}}_{k}^{2}-\omega _{k}^{2}Q_{k}^{2}\right)$

Insbesondere ist

$Q_{k}=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} \omega _{k}t)\right)$

Beispiele

Federpendel

→ Hauptartikel: Federpendel

Ein Federpendel ist ein System, an dem eine Masse an einer Feder aufgehängt ist und das sich nur in eine Dimension bewegen kann. Es besitzt also nur einen einzigen Freiheitsgrad, die Auslenkung aus der Ruhelage. Für das Federpendel gilt $V=D$ und $T=m$, wobei $k$ die Federkonstante und $m$ die Masse ist. Daher vereinfacht sich die Matrixgleichung auf eine skalare Gleichung

$(D-\omega ^{2}m)A=0$

mit einem Polynom ersten Grades in $\omega ^{2}$

$P(\omega ^{2})=\det \left(D-\omega ^{2}m\right)=D-\omega ^{2}m=0\Leftrightarrow \omega ^{2}={\frac {D}{m}}$

und einem Eigenvektor

$A=1$.

Die Lösung ist also

$x(t)=\operatorname {Re} \left(c\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m}}}t\right)\right)$

CO₂-Molekül

In erster Näherung kann ein Kohlendioxid-Molekül als drei Massen angesehen werden, von denen die äußeren beiden identischen Massen $m_{O}$ mit der mittleren Masse $m_{C}$ durch Federn verbunden sind. Da die Bindungen beide gleichartig sind, sind die Federkonsten beide $D$. Die Indizes seien so gewählt, dass die Atome von links nach rechts durchnummeriert seien und es sei ferner angenommen, dass sich das Molekül nur entlang der Molekülachse bewegen könne. Daher existieren drei Freiheitsgrade des Systems: Die Entfernungen der drei Moleküle von ihrer Gleichgewichtslage. Dann gilt mit

$T={\begin{pmatrix}m_{O}&&\\&m_{C}&\\&&m_{O}\end{pmatrix}}$

$V=D{\begin{pmatrix}1&-1&\\-1&2&-1\\&-1&1\end{pmatrix}}$

für die Determinante des Systems

$P^{(k)}(\omega ^{2})=\omega ^{2}(D-\omega ^{2}m_{O})(\omega ^{2}m_{C}m_{O}-k(2m_{O}+m_{C}))$

Dessen drei Nullstellen liegen bei

$\omega _{1}^{2}=0,\qquad \omega _{2}^{2}={\frac {D}{m_{O}}},\qquad \omega _{3}^{2}={\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)$

und die Eigenvektoren sind

$A^{(1)}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}},\qquad A^{(2)}={\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}},\qquad A^{(3)}={\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}$.

Dadurch ergibt sich die allgemeine Lösung zu

$x(t)={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\left(x_{1}^{0}+C_{1}t\right)+\operatorname {Re} \left({\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}}c_{2}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {\frac {D}{m_{O}}}}t\right)+{\begin{pmatrix}1\\-2m_{O}/m_{C}\\1\end{pmatrix}}c_{3}\exp \left(-\mathrm {i} {\sqrt {{\frac {D}{m_{O}}}\left(1+2{\frac {m_{O}}{m_{C}}}\right)}}t\right)\right)$.

Die erste Eigenschwingung ist die Translation des gesamten Moleküls, die zweite beschreibt die gegenläufige Schwingung der beiden äußeren Sauerstoffatome, während das Kohlenstoffatom in Ruhe bleibt, und die dritte die gleichförmige Schwingung der beiden äußeren, wobei das mittlere Atom gegenläufig schwingt.

Schwingende Saite

Eine schwingende Saite besitzt unendlich viele Freiheitsgrade und entsprechend auch unendlich viele Eigenfrequenzen. Diese müssen jedoch den Randbedingungen des Problems genügen. Die Wellengleichung lautet

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{k}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=0$

wobei $u(x,t)$ die Auslenkung der Saite und $c_{k}$ die Phasengeschwindigkeit der Welle ist. Die Lösung der Wellengleichung für ein festes $k$ ist

$u_{k}(x,t)=\operatorname {Re} \left(c_{k}\exp(-\mathrm {i} (\omega _{k}t-kx))\right)$

mit $\textstyle c_{k}={\frac {\omega _{k}}{k}}$. Den Zusammenhang zwischen $\omega _{k}$ und $k$ nennt man die Dispersionsrelation des Systems; für eine Saite ist $\textstyle c_{k}={\sqrt {F/\rho }}$ eine Konstante, die nur von der Kraft $F$, mit der die Saite eingespannt ist, und der Massendichte $\rho$ der Saite abhängt.

Die Randbedingungen an die schwingende Saite ist, dass die Enden fest eingespannt sind und sich daher für eine Saite der Länge $L$ für alle $t$

$u(0,t)=u(L,t)=0$

sein muss. Dies führt zu der Randbedingung

$k={\frac {\pi n}{L}}$

mit einem beliebigen $n\in \mathbb {N}$ und somit abzählbar unendlich vielen verschiedenen $k$ und entsprechend vielen $\omega _{k}$. Die Eigenfrequenzen der Saite sind daher

$\omega _{n}={\sqrt {\frac {F}{\rho }}}{\frac {\pi n}{L}}$

und die allgemeine Lösung der Wellengleichung ist eine Superposition über alle Eigenschwingungen:

$u(x,t)=\operatorname {Re} \left(\sum _{n}c_{n}\exp \left(-\mathrm {i} {\frac {\pi n}{L}}\left({\sqrt {\frac {F}{\rho }}}t-x\right)\right)\right)$

Normalschwingungen von Molekülen

Ein $N$-atomiges Molekül hat $3N$ Freiheitsgrade. Davon sind 3 Translationsfreiheitsgrade, im Fall eines linearen Moleküls 2, im Fall eines gewinkelten Moleküls 3 Rotationsfreiheitsgrade. Somit existieren $3N-5$ beziehungsweise $3N-6$ Vibrationsfreiheitsgrade, die zu Eigenfrequenzen ungleich Null korrespondieren. Die Symmetrien dieser Molekülschwingungen können durch die gruppentheoretischen Charaktertafeln beschrieben werden. Eine Normalschwingung stellt eine Basis für eine irreduzible Darstellung der Punktgruppe des schwingenden Moleküls dar.

In Bezug auf das obige Beispiel sind die anderen beiden Normalschwingungen die vernachlässigten transversalen Schwingungen der Atome in beide übrigen Raumrichtungen, die sich nicht in der Linie der Atome befinden.

Quantenmechanik

In der Quantenmechanik wird der Zustand eines Systems durch einen Zustandsvektor $|\psi (t)\rangle$ beschrieben, der eine Lösung der Schrödingergleichung

$H|\psi (t)\rangle =\mathrm {i} \hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle$

darstellt. Wenn der Hamiltonoperator nicht zeitabhängig ist, ist eine formale Lösung der Schrödingergleichung

$|\psi (t)\rangle =\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{\hbar }}Ht\right)|\psi (0)\rangle$

Da der Hamiltonoperator ein vollständiges System von Eigenzuständen, den Energieeigenzuständen besitzt, kann in diesen entwickelt werden. Mit $H|n\rangle =E_{n}|n\rangle$ folgt

$|\psi (t)\rangle =\sum _{n}\exp \left(-{\tfrac {\mathrm {i} }{hbar}}E_{n}t\right)|n\rangle \langle n|\psi (0)\rangle$

Dabei beschreiben die quantenmechanischen Eigenfrequenzen $\omega _{n}=E_{n}/\hbar$ keine Schwingung im Ortsraum, sondern in der Phase der Wellenfunktion.

Technische Beispiele

Resonanz eines Lautsprechers

• Eine Glocke, die angeschlagen wird, schwingt anschließend mit den Eigenfrequenzen. Durch Dämpfung klingt die Schwingung über die Zeit ab. Dabei werden höhere Frequenzen schneller abgedämpft als tiefere.
• Eine Stimmgabel ist so konstruiert, dass außer der tiefsten Eigenfrequenz kaum weitere Eigenschwingungen angeregt werden.
• in Gebäuden können Eigenfrequenzen angeregt werden. Wenn beim Nachbarn Musik leise läuft, kann es vorkommen, dass die Bässe mit einer Eigenfrequenz des Gebäudes gleichfrequent sind, was sich als lautes Wummern äußert, ohne dass die Musik als solche hörbar wäre.
• Trommeln haben mehrere Eigenfrequenzen.
• Bei Membranen von Lautsprecher verschlechtern die Partialschwingungen die Wiedergabequalität.

Literatur

• R. Gasch, K. Knothe, R. Liebich: Strukturdynamik: Diskrete Systeme und Kontinua. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2012, ISBN 978-3-540-88976-2. 
• Dieter Meschede: Gerthsen Physik. 23. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2006, ISBN 3-540-25421-8. 
• Hans-Ulrich Harten: Physik für Mediziner. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1993, ISBN 3-540-56759-3. 
• Torsten Fließbach: Mechanik. 6. Auflage. Springer, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2148-7. 
• Julius Wess: Theoretische Mechanik. 2. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-88574-0.