Separabler Raum

Der mathematische Begriff separabel bezeichnet in der Topologie und verwandten Gebieten eine häufig benutzte Abzählbarkeitseigenschaft von topologischen Räumen. Der Begriff ist dabei von besonderer Bedeutung in der Funktionalanalysis. Hier kann man beispielsweise zeigen, dass es in einem separablen Hilbertraum stets abzählbare Orthonormalbasen gibt.

Definition

Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine höchstens abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Kriterien für separable Räume

• Besitzt ein topologischer Raum eine abzählbare Basis, so ist er separabel.
• Für einen metrischen Raum $X$ gilt sogar:
  • Dafür, dass $X$ eine abzählbare Basis besitzt, ist es notwendig und hinreichend, dass $X$ separabel ist.
• Ein total beschränkter metrischer Raum $X$ ist stets separabel.
• Insbesondere ist jeder kompakte, metrisierbare Raum separabel. Genauer gilt:
  • Ist $X$ ein metrisierbarer topologischer Raum, so sind die drei Eigenschaften,
    • (1) eine abzählbare Basis zu besitzen,
    • (2) lindelöfsch zu sein,
    • (3) separabel zu sein,

  äquivalent.

• Ein topologischer Vektorraum ist genau dann separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, sodass der davon erzeugte Untervektorraum dicht liegt.
• Ist $X$ ein Hilbertraum von unendlicher Dimension, so sind stets die folgenden drei Bedingungen gleichwertig:
  • (1) $X$ ist separabel.
  • (2) Alle Orthonormalbasen von $X$ sind abzählbar.
  • (3) In $X$ gibt es eine abzählbare Orthonormalbasis.
• Für eine unendliche und mit der Ordnungstopologie versehene linear geordnete Menge $X$ sind die folgenden drei Bedingungen stets gleichwertig:
  • (1) $X$ ist separabel und zusammenhängend.
  • (2) $X$ ist ordnungsisomorph zu einem Intervall von $\mathbb {R}$.
  • (3) $X$ ist homöomorph zu einem Intervall von $\mathbb {R}$.

Beispiele

Beispiele für separable Räume sind etwa:

• Die Räume $\mathbb {R} ^{n}$ sind für $n\in \mathbb {N}$ separabel, da $\mathbb {Q} ^{n}$ abzählbar ist und dicht in $\mathbb {R} ^{n}$ liegt.
• Die Räume L^p($\Omega$) mit einer beschränkten, offenen Teilmenge $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ und $1\leq p<\infty$ sind separabel.
• Die Folgenräume $\ell ^{p}$ für $1\leq p<\infty$ sind separabel.
• Der Raum $c_{0}$ der Nullfolgen ist mit der Supremumsnorm separabel.
• Der Raum $c_{00}$ der abbrechenden Folgen ($\forall x\in c_{00}\exists N\in \mathbb {N} :\forall n\geq Nx_{n}=0$) ist mit der $\ell ^{p}$-Norm für $1\leq p<\infty$ separabel.
• Die Räume $C^{k}(\Omega )$ sind für natürliches $k$ separabel. Dabei bezeichnet $\Omega$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$.
• Jede unendliche Menge mit kofiniter Topologie ist separabel, weil eine beliebige abzählbar unendliche Teilmenge als einzige abgeschlossene Obermenge den gesamten Raum hat.

Gegenbeispiele

• Der Raum der beschränkten Folgen $\ell ^{\infty }$ ist nicht-separabel.
• Der Raum der fast-periodischen Funktionen ist ein Beispiel eines nicht-separablen Hilbertraums.
• Versieht man die kleinste überabzählbare Ordinalzahl $\omega _{1}$ mit ihrer Ordnungstopologie, so erhält man einen nicht-separablen Raum.

Permanenzeigenschaften

• Bilder von separablen Räumen unter stetigen Funktionen sind wieder separabel.
• Offene Unterräume separabler Räume sind stets ebenfalls separabel.
• Im Allgemeinen sind Unterräume separabler Räume allerdings nicht separabel. So enthält der separable Niemytzki-Raum beispielsweise einen nicht-separablen Unterraum, die Sorgenfrey-Ebene ist ein weiteres Beispiel.
• Es gilt aber, dass Unterräume separabler metrischer Räume wieder separabel sind.
• Separabilitätssatz von Marczewski: Ist $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie separabler Räume und ist die Mächtigkeit von $I$ höchstens gleich der Mächtigkeit des Kontinuums $\mathbb {R}$, so ist $\textstyle \prod _{i\in I}X_{i}$ mit der Produkttopologie ebenfalls separabel. Um dieses Resultat einzusehen, genügt es, die Separabilität von ${\mathbb {N} }^{\mathbb {R} }=\{f\mid f\colon {\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {N} }\}$ zu beweisen. Dazu überlegt man sich leicht, dass die abzählbare Menge der endlichen Summen von Funktionen aus $\{n\cdot \chi _{[a,b]};n\in {\mathbb {N} },a,b\in {\mathbb {Q} }\}$ dicht liegt, wobei $\chi _{[a,b]}$ die charakteristische Funktion des Intervalls $[a,b]$ ist.

Zusammenhang mit anderen Begriffen

• Der Begriff des separablen Raumes steht in keiner Beziehung zum Begriff des separierten Raums.
• Lässt sich die Topologie eines separablen Raumes $X$ durch eine vollständige Metrik erzeugen, so nennt man $X$ einen polnischen Raum.

Zur Historie

• Das Konzept des separablen Raumes geht zurück auf Maurice René Fréchet und seine Publikation Sur quelques points de calcul fonctionnel aus dem Jahre 1906.
• P. S. Alexandroff zufolge ist der Terminus separabel eine höchst unglückliche Bezeichnung ... , die sich bedauerlicherweise jedoch eingebürgert hat und allgemeine Verbreitung fand.
• Wie Horst Schubert im Jahre 1975 schrieb, bestanden ... Tendenzen, ihn [den Terminus separabel] abzuschaffen.

Literatur

• P. S. Alexandroff: Einführung in die Mengenlehre und in die allgemeine Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 85). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984. 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• Jürgen Heine: Topologie und Funktionalanalysis. Grundlagen der Abstrakten Analysis mit Anwendungen. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Verlag, München 2011, ISBN 978-3-486-70530-0. 
• Joseph Muscat: Functional Analysis. An Introduction to Metric Spaces, Hilbert Spaces, and Banach Algebras. Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06727-8, doi:10.1007/978-3-319-06728-5. 
• Mark Neumark: Normierte Algebren. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt / Main 1990, ISBN 3-8171-1001-4. 
• Horst Schubert: Topologie (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6. 
• Dirk Werner: Funktionalanalysis (= Springer-Lehrbuch). 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-72533-6. 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970. 

Siehe auch

• Abzählbare Menge
• Hausdorffraum
• Hilbertraum
• Metrischer Raum
• Kompakter Raum
• Polnischer Raum
• Zweites Abzählbarkeitsaxiom