Finite-Differenzen-Methode

Die Finite-Differenzen-Methode beruht auf der Diskretisierung einer Funktion auf einem Gitter, hier der Funktion einer unabhängigen Variablen

Finite-Differenzen-Methoden (FDM), auch Methoden der endlichen (finiten) Differenzen sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen (DGL).

Die grundlegende Idee des Verfahrens ist es, die Ortsableitungen in der Differentialgleichung an endlich vielen (= „finiten“), äquidistanten Gitterpunkten durch Differenzenquotienten zu approximieren. Die approximierten Lösungen der Differentialgleichung an den Gitterpunkten lassen sich dann durch das entsprechende Gleichungssystem berechnen.

Verfahren dieser Art finden verbreitete Anwendung unter anderem bei fluiddynamischen Simulationen, zum Beispiel in der Meteorologie und der Astrophysik. In den Jahren von 1950 bis 1980 dominierte die FDM in den numerischen Programmen der Reaktorphysik zur Berechnung des Neutronenflusses. Eine gewisse Verbreitung findet das Differenzenverfahren in der Baustatik. Schon 1904 analysierte Friedrich Bleich den Durchlaufträger; 1909 untersuchte Lewis Fry Richardson elastische Scheiben und 1919 Henri Marcus elastische Platten mit dem Differenzenverfahren.

Eine spezielle Finite-Differenzen-Methode zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist das Crank-Nicolson-Verfahren.

Zu den Pionieren des Finite-Differenzen-Verfahrens für partielle Differentialgleichungen zählen Lewis Fry Richardson, Richard Southwell, Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy, Peter Lax und John von Neumann.

Geschichte des Namens

In keinem deutsch- oder englischsprachigen Lehrbuch bis etwa zum Jahr 1980 wird man die Termini Finite-Differenzen-Methode bzw. finite difference method finden. Zum Beispiel fehlt dieses Stichwort im Lexikon Mathematik von 1977, wo aber der Differenzenquotient enthalten ist. Man sprach in der englischsprachigen Fachliteratur schon früher von finite-difference calculations, finite difference equations oder finite difference schemes, in der deutschsprachigen von Differenzenrechnungen, Differenzengleichungen und Diskretisierungsschemata. In der deutschsprachigen Fachliteratur tauchten Formen des englischen Adjektivs finite (begrenzt, endlich) in diesem Zusammenhang nicht auf. Streng genommen ist der Wortbestandteil finit überflüssig, denn Differenzen sind immer endlich. Sie sind das Gegenstück zum Differential, das einen unendlich kleinen Abschnitt auf der Achse eines Koordinatensystems beschreibt. Auch handelt es sich nicht um eine spezielle Methode, sondern umfasst eine Vielzahl von Verfahren.

Finite difference method tritt erst in den 1980er Jahren auf, und zwar nach dem „Siegeszug“ der finite element method. Um 1960 wurde der Name finite element method für eine verwandte Methode eingeführt und mit Finite-Elemente-Methode eingedeutscht. Die wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs finite element findet sich 1960 in einem Zeitschriftenaufsatz von Ray W. Clough, einem Professor für Baustatik. Diese Begriffe verbreiteten sich in den 1970er Jahren schnell. Erst deutlich später muss den Mathematikern, Physikern und Ingenieuren aufgefallen sein, dass für die klassischen Diskretisierungsverfahren kein „griffiger“ Name existiert. Sie fanden, angelehnt an den Namen finite element method, dass der Name finite difference method recht passend sei. Ein Standardlehrbuch zu dieser Materie zeigt den Entwicklungsgang: Es trug 1965 noch den Titel Numerical solution of partial differential equations: With exercises and worked solutions. Die Monographie wurde 1970 ins Deutsche übertragen. Eine spätere, erweiterte Auflage der englischen Version hatte 1985 das finite difference methods dann schon im Untertitel. Diese Auflage wurde wahrscheinlich nicht ins Deutsche übersetzt, so dass der Nachweis eines ersten Auftretens von Finite-Differenzen-Methode so nicht erbracht werden kann.

Es dauerte noch eine Weile, bis finite difference method in Finite-Differenzen-Methode eingedeutscht wurde. Man beachte einen kleinen Unterschied. Hätte man den englischen Namen direkt eingedeutscht, müsste es eigentlich Finite-Differenz-Methode heißen. In den 1970er, 1980er Jahren scheint die Beschäftigung mit numerischen Methoden, zumindest in den beiden deutschen Staaten, für Mathematiker kein attraktives Betätigungsfeld gewesen zu sein, wie man durch Recherchen in den Katalogen der deutschsprachigen Bibliotheksverbünde nach entsprechenden Fachbüchern nachweisen kann. Die Anwendung und Weiterentwicklung der Differenzenrechnung verlagerte sich auf Physiker und Ingenieure. Wer sich damit beschäftigte, bezog seine Fachliteratur ohnehin aus der englisch- und russischsprachigen Fachliteratur. In der russischsprachigen verwendet man heute Метод конечных разностей, also Methode der endlichen Differenzen. Eine Recherche in den Katalogen der deutschsprachigen Bibliotheksverbünde ergab, dass wahrscheinlich das erste Fachbuch in deutscher Sprache mit Finite-Differenzen-Methode im Titel im Jahr 1987 erschienen ist, das von Ingenieuren und nicht von Mathematikern verfasst wurde. Es wird im Katalog der deutschen Nationalbibliothek nach den Sachgruppen Bergbau, Bautechnik, Umwelttechnik klassifiziert und ist in vier Auflagen erschienen.

Der Name klassisches Differenzenverfahren wäre sicher treffender gewesen. Klassisch deshalb, weil die Methodik bereits seit Anfang des 19. Jahrhunderts bekannt ist, nachdem Augustin-Louis Cauchy der Differentialrechnung die heute übliche logische Strenge gegeben hatte. Er ging von den infinitesimalen Größen ab und definierte die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen. Bereits Leibniz hatte das Wort Differentialquotient eingeführt, das den Grenzwert eines Differenzenquotienten benannte. Richtig Fahrt nahm die Anwendung der Differenzenverfahren erst mit dem Einzug von Großrechnern in Forschungseinrichtungen auf. Das war Mitte der 1950er Jahre, als komplizierte Differentialgleichungen numerisch gelöst wurden. Motor der Differenzenrechnung und der Entwicklung iterativer Methoden zur Lösung der dabei entstehenden großen linearen Gleichungssysteme war die Reaktorphysik, insbesondere die Neutronendiffusionstheorie.

Aus heutiger Sicht ist der Name Finite-Differenzen-Methode dennoch nicht so übel, denn es ist immer hilfreich, wenn sich Fachausdrücke in unterschiedlichen Sprachen ähneln. Zusammengefasst: Die Finite-Differenzen-Methode, die Finite-Elemente-Methode wie auch die Finite-Volumen-Verfahren sind Teilgebiete der Differenzenrechnung, der diskreten Entsprechung der Differentialrechnung.

Beispiel zur numerischen Lösung einer gewöhnlichen DGL

Exakte Lösungsfunktion des Beispiels und Werte der Näherungslösungen mit 2, 3 und 4 Intervallen

Gegeben sei das Randwertproblem

$u''(x)=2$  für  $\quad x\in [0;1]$,

$u(0)=u(1)=3$.

Die Lösungsfunktion $u\colon [0;1]\to \mathbb {R}$ lässt sich hier exakt berechnen zu $u(x)=3+x(x-1)$.

Zur Lösung mit der Differenzenmethode wird das Intervall $[0;1]$ diskretisiert durch die Gitterpunkte $x_{i}=i\cdot h$ für $i=0,\ldots ,n+1$ mit der Maschenweite $h={\tfrac {1}{n+1}}$. Die Diskretisierung der zweiten Ableitung erfolgt mit den zentralen Differenzenquotienten der zweiten Ableitung

$u''(x)\approx {\frac {u(x-h)-2u(x)+u(x+h)}{h^{2}}}\ .$

Dies ergibt an den inneren Gitterpunkten die Differenzengleichungen

${\frac {1}{h^{2}}}(u_{i-1}-2u_{i}+u_{i+1})=2$  für  $i=1,\ldots ,n$

für die numerischen Näherungswerte $u_{i}$ der Lösungswerte $u(x_{i})$. Unter Verwendung der gegebenen Randwerte $u_{0}=u(0)=3$ und $u_{n+1}=u(1)=3$ ist dies ein lineares Gleichungssystem mit $n$ Gleichungen für die $n$ Unbekannten $u_{1},\ldots ,u_{n}$.

In Matrixform lautet das zu lösende System hier:

${\frac {-1}{h^{2}}}{\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &-1\\0&\dots &0&-1&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2-{\frac {3}{h^{2}}}\\2\\2\\\vdots \\2-{\frac {3}{h^{2}}}\end{pmatrix}}$

Da in jeder Zeile maximal nur drei Unbekannte vorkommen, handelt es sich um ein System mit dünnbesetzter Koeffizientenmatrix, genauer um ein System mit Tridiagonal-Toeplitz-Matrix.

Die Grafik zeigt den Funktionsverlauf der exakten Lösung des Beispiels und Werte der Näherungslösungen mit 2, 3 und 4 Intervallen. Die diskreten Näherungslösungen an den Gitterpunkten sind durch farbige Kreise markiert, die durch Geraden in gleicher Farbe verbunden sind. Es ist anzumerken, dass alle Näherungslösungen dieses Beispiels Funktionswerte liefern, die genau gleich den Funktionswerten der exakten Lösung an den Stützstellen sind. Das ist nicht immer so.

Beispiel zur numerischen Lösung einer partiellen DGL

Im Folgenden wird die numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung auf einem beschränkten Gebiet $\Omega$ betrachtet:

$\partial _{t}u-\Delta u=f~~{\text{in }}(0,T)\times \Omega ,~f\in C^{0}((0,T)\times \Omega ),$

$u(t,\cdot )=0~{\text{ auf }}\partial \Omega ,$

$u(0,\cdot )=u_{0}{\text{ in }}\Omega .$

Numerische Lösung im 1D

Im 1D-Fall ist $\Omega =(a,b)$ ein beschränktes Intervall. Da in diesem Fall nur eine Ortsableitung betrachtet wird, kann die Wärmeleitungsgleichung folgendermaßen geschrieben werden:

$\partial _{t}u-\partial _{xx}u=f$

Diskretisierung

Um die Finite-Differenzen-Methode anwenden zu können, muss das Intervall $\Omega$ zunächst in endlich viele Teilintervalle unterteilt werden. Hierfür werden $N+2$ äquidistante Stützstellen verwendet:

$x_{0}=a,~x_{N+1}=b,~x_{i}=a+i\cdot {\frac {b-a}{N+1}}$, für $i=0,\ldots ,N+1$.

Die Gitterweite dieser Diskretisierung ist also $h={\tfrac {b-a}{N+1}}$. Nach Voraussetzung verschwindet die gesuchte Funktion $u$ an den Randwerten, d. h. $u(x_{0})=u(x_{N+1})=0$, sodass diese Werte nicht weiter betrachtet werden müssen. Damit lassen sich die Funktionsauswertungen von $u$ an Stützstellen als Vektor im $\mathbb {R} ^{N}$ darstellen:

$U_{h}=(u_{1}(t),\dots ,u_{N}(t))^{T}$

Approximation der Ableitung

Die zweite Ableitung von $u$ bzgl. des Orts kann nun an den Stützstellen durch Differenzenquotienten zweiter Ordnung approximiert werden:

$\partial _{xx}u(t,x_{i})\approx {\frac {u(t,x_{i+1})-2u(t,x_{i})+u(t,x_{i-1})}{h^{2}}}$

Wird die Wärmeleitungsgleichung nach $\partial _{t}u$ umgestellt, ergibt sich damit folgendes System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung:

${\dot {U}}_{h}(t)=-A_{h}U_{h}+f_{h}$

wobei $f_{h}:=(f(t,x_{1}),\dots ,f(t,x_{N}))^{T}$ und $A_{h}:={\frac {1}{h^{2}}}{\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\ddots &\vdots \\0&-1&\ddots &\ddots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &-1\\0&\dots &0&-1&2\end{pmatrix}}$.

Dieses System kann nun durch beliebige Verfahren zur Lösung von gewöhnlichen Differentialgleichungen, wie z. B. das Runge-Kutta-Verfahren oder das Euler-Verfahren, gelöst werden.

Güte der Approximation

Eine Finite-Differenzen-Methode erzeugt ein lineares Gleichungssystem (analog Gleichung im Kapitel Beispiel)

$A_{h}u_{h}=b_{h},$

wobei $u_{h}$ die numerische Approximation der Lösung ist und $h$ die Abhängigkeit vom Gitter explizit darstellen soll. Sei $u(x)$ die exakte Lösung und $U\in \mathbb {R} ^{N}$ die endliche Darstellung mittels $U_{i}=u(x_{i})$. Sowohl $u_{h}$ als auch $U$ sind sogenannte Gitterfunktionen, sie sind nur definiert in allen Gitterpunkten des verwendeten Gitters.

Eine FDM heißt konsistent von Ordnung $n\in \mathbb {N}$, falls es ein $C_{K}>0$ gibt mit

$\|A_{h}U-b_{h}\|\leq C_{K}h^{n}.$

Dabei ist $\|\cdot \|$ eine Norm für Gitterfunktionen. Oft verwendet wird die Maximumnorm $\|v\|:=\max _{i}|v(x_{i})|$, sie erlaubt punktweise Fehlerabschätzungen.

Eine FDM heißt stabil, falls es ein $C_{S}>0$ gibt, sodass für alle Gitterfunktionen $v\in \mathbb {R} ^{N}$ gilt

$\|A_{h}v\|\geq C_{S}\|v\|.$

Aus Konsistenz der Ordnung $n$ und Stabilität folgt Konvergenz der Ordnung $n$

$\|U-u_{h}\|\leq {\frac {C_{K}}{C_{S}}}h^{n}.$

Stabilität vorausgesetzt, ist Konsistenz der Ordnung $n$ für Konvergenz der Ordnung $n$ hinreichend, aber nicht notwendig.

Eine Diskretisierung auf einem nichtäquidistanten Gitter

Nichtäquidistante Gitter sind angebracht, wenn die Lösung Besonderheiten aufweist, z. B. Singularitäten oder Grenzschichten. Als Beispiel wird betrachtet

$-u''(x)=f(x),\quad u(0)=u(1)=0$

und eine Diskretisierung auf einem beliebigen Gitter $0=x_{0}<x_{1}<\cdots x_{i}<\cdots <x_{N}=1$ mit $h_{i}=x_{i}-x_{i-1}$ und $h=\max _{i}h_{i}$.

Dann ist folgende Diskretisierung zweckmäßig:

${\frac {2}{h_{k}+h_{k+1}}}({\frac {u_{k}-u_{k+1}}{h_{k+1}}}+{\frac {u_{k}-u_{k-1}}{h_{k}}})=f_{k},\quad u_{0}=u_{N}=0.$

Untersucht man den Konsistenzfehler (wie üblich durch Taylorentwicklung), so stellt man folgende Struktur des Konsistenzfehlers fest:

${\frac {1}{3}}u'''(x_{k})(h_{k+1}-h_{k})+O(h^{2}).$

Auf äquidistanten Gittern verschwindet der erste Anteil und der Konsistenzfehler ist von der Ordnung 2. Auf beliebigen Gittern jedoch reduziert sich der Konsistenzfehler auf die Ordnung Eins! Trotzdem ist der Fehler in der Maximumnorm wieder von der Ordnung Zwei, das kann man mit Hilfe der diskreten Greenschen Funktion oder verbesserten Stabilitätsaussagen verifizieren.

Lösen von Randwertproblemen

Ein Beispiel für ein solches Randwertproblem ist folgende partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung:

$A(x,y)\cdot {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}+B(x,y)\cdot {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x\partial y}}+C(x,y)\cdot {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}+D(x,y)\cdot {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x}}+E(x,y)\cdot {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y}}+F(x,y)\cdot f(x,y)=0$

Die unbekannte Funktion $f(x,y)$ soll an vorgegebenen Punkten des zweidimensionalen Bereichs bestimmte feste Werte (Randbedingungen) annehmen. Die Funktionen $A(x,y)$, $B(x,y)$, $C(x,y)$, $D(x,y)$, $E(x,y)$ und $F(x,y)$ sind Koeffizienten und sollten daher beschränkt und im gegebenen Integrationsbereich stetig sein. Bei vielen Gleichungen, die spezielle technische Probleme beschreiben, nehmen diese Funktionen konstante Werte an. Diese Gleichungen vom werden oft nach dem Wert der Diskriminante $\Delta (x,y)=B^{2}(x,y)-4\cdot A(x,y)\cdot C(x,y)$ in eine der folgenden Gruppen eingeteilt: hyperbolisch für $\Delta (x,y)>0$, parabolisch für $\Delta (x,y)=0$ und elliptisch für $\Delta (x,y)<0$.

Beispiele für partielle Differentialgleichungen, die für physikalische Probleme formuliert werden, sind:

• Laplace-Gleichung:

$\nabla ^{2}U(x,y,z)=0$

• Poisson-Gleichung:

$\nabla ^{2}U(x,y,z)+f(x,y,z)=0$

• Helmholtz-Gleichung:

$\nabla ^{2}U(x,y,z)+k^{2}U(x,y,z)=0$

• Wellengleichung:

$\nabla ^{2}U(x,y,z)-a^{2}\cdot {\frac {\partial ^{2}U(x,y,z,t)}{\partial t^{2}}}=0$

• Wärmeleitungsgleichung:

$\nabla ^{2}U(x,y,z)-b^{2}\cdot {\frac {\partial U(x,y,z,t)}{\partial t}}=0$

Literatur

• Christian Großmann, Hans-Görg Roos: Numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. 3. Auflage. B. G. Teubner, Wiesbaden 2005, ISBN 3-519-22089-X.
• Stig Larsson, Vidar Thomée: Partielle Differentialgleichungen und numerische Methoden. Springer, Berlin 2005, ISBN 3-540-20823-2.
• Claus-Dieter Munz, Thomas Westermann: Numerische Behandlung gewöhnlicher und partieller Differenzialgleichungen: Ein anwendungsorientiertes Lehrbuch für Ingenieure. 4., verbesserte und überarbeitete Auflage. Springer Vieweg, Berlin 2019, ISBN 978-3-662-55886-7 (394 S.). 

Weblinks

Commons: Finite-Differenzen-Methode – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien