Funktionentheorie

Die Funktionentheorie ist ein Teilgebiet der Mathematik. Sie befasst sich mit den differenzierbaren komplexwertigen Funktionen komplexer Variablen. Gebräuchlich ist auch die Bezeichnung komplexe Analysis.

Komplexe Funktionen

Eine komplexe Funktion ordnet einer komplexen Zahl eine weitere komplexe Zahl zu. Da jede komplexe Zahl durch zwei reelle Zahlen in der Form $x+iy$ geschrieben werden kann, lässt sich eine allgemeine Form einer komplexen Funktion durch

$x+iy\mapsto f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)$

darstellen. Hier sind $\,u(x,y)$ und $\,v(x,y)$ reelle Funktionen, die von zwei reellen Variablen $x$ und $y$ abhängen. $\,u(x,y)$ heißt der Realteil und $\,v(x,y)$ der Imaginärteil der Funktion. Insofern ist eine komplexe Funktion eine spezielle reelle Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R} ^{2}$ (also eine Abbildung, die zwei reellen Zahlen wieder zwei reelle Zahlen zuordnet). Tatsächlich könnte man die ganze Funktionentheorie auch mit reeller Analysis behandeln. Der Unterschied zur reellen Analysis wird erst deutlicher, wenn man komplex-differenzierbare Funktionen betrachtet.

Funktionen mehrerer komplexer Variablen

Es gibt auch komplexwertige Funktionen mehrerer komplexer Variablen. Im Vergleich zur reellen Analysis gibt es in der komplexen Analysis fundamentale Unterschiede zwischen Funktionen einer und mehrerer Variablen. Beispielsweise besitzen holomorphe Funktionen mehrerer Variablen keine isolierten Singularitäten, was aus dem sog. Kugelsatz von Hartogs folgt, und als Konsequenz auch keine isolierten Nullstellen. Auch der riemannsche Abbildungssatz - ein Höhepunkt der Funktionentheorie in einer Variablen - hat kein Äquivalent in höheren Dimensionen. Nicht einmal die beiden natürlichen Verallgemeinerungen der eindimensionalen Kreisscheibe, Einheitskugel und Polyzylinder, sind in mehreren Dimensionen biholomorph äquivalent. Ein großer Teil der Funktionentheorie mehrerer Variablen beschäftigt sich mit Fortsetzungsphänomenen (riemannsche Hebbarkeitssätze, Kugelsatz von Hartogs, Satz von Bochner über Röhrengebiete, Cartan-Thullen-Theorie). Eine gute Einführung in die Funktionentheorie mehrerer Variablen gibt das Buch von Freitag/Busam oder auch das von Scheidemann (siehe Literaturverzeichnis). Die Funktionentheorie mehrerer komplexer Variablen wird zum Beispiel in der Quantenfeldtheorie benutzt.

Komplexe Differenzierbarkeit

Hauptartikel: Holomorphie

Der Differenzierbarkeitsbegriff der eindimensionalen reellen Analysis wird in der Funktionentheorie zur komplexen Differenzierbarkeit erweitert. Analog zum reellen Fall definiert man: Eine Funktion einer komplexen Variablen heißt komplex-differenzierbar, falls der folgende Grenzwert existiert:

$f'(a)=\lim _{w\to 0}{\frac {f(a+w)-f(a)}{w}}.$

Für eine exakte Definition muss $f$ dabei in einer Umgebung von $a$ definiert sein. Für den Grenzwert muss dabei der komplexe Abstandsbegriff verwendet werden:

$|(x_{1}+iy_{1})-(x_{2}+iy_{2})|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.$

Damit sind für komplexwertige Funktionen einer komplexen Variablen zwei verschiedene Differenzierbarkeitsbegriffe definiert: die komplexe Differenzierbarkeit und die Differenzierbarkeit der zweidimensionalen reellen Analysis (reelle Differenzierbarkeit). Komplex-differenzierbare Funktionen sind auch reell-differenzierbar, die Umkehrung gilt nicht ohne zusätzliche Voraussetzungen.

Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Hauptartikel: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

Äquivalent zur komplexen Differenzierbarkeit sind die Forderungen an die reellen partiellen Ableitungen der Funktion:

${\begin{aligned}\partial _{x}u(x,y)&=\partial _{y}v(x,y),\\\partial _{y}u(x,y)&=-\partial _{x}v(x,y).\end{aligned}}$

Die Rückrichtung folgt nur, wenn die partiellen Ableitungen im ganzen Gebiet stetig sind.

Cauchysche Integralformel

Hauptartikel: Cauchysche Integralformel

Mit einem geeigneten Integrationsweg gilt die cauchysche Integralformel

$f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint {\frac {f(w)}{w-z}}\mathrm {d} w.$

Diese besagt, dass der Wert einer komplex-differenzierbaren Funktion auf einem Gebiet nur von den Funktionswerten auf dem Rand des Gebiets abhängt.

Holomorphe Funktionen

Funktionen, die in einer Umgebung eines Punktes komplex-differenzierbar sind, nennt man holomorphe oder analytische Funktionen. Diese haben eine Reihe hervorragender Eigenschaften, die es rechtfertigen, dass sich eine eigene Theorie hauptsächlich damit beschäftigt - eben die Funktionentheorie. Zum Beispiel ist eine Funktion, die einmal komplex-differenzierbar ist, automatisch beliebig oft komplex-differenzierbar (im Gegensatz zum reellen Fall).

Äquivalente Definitionen holomorpher Funktionen einer Variablen

In einer Umgebung einer komplexen Zahl sind folgende Eigenschaften komplexer Funktionen gleichwertig:

1. Eine Funktion ist einmal komplex-differenzierbar
2. Eine Funktion ist beliebig oft komplex-differenzierbar
3. Real- und Imaginärteil erfüllen die cauchy-riemannschen Differentialgleichungen und sind zumindest einmal stetig reell-differenzierbar
4. Die Funktion lässt sich in eine komplexe Potenzreihe entwickeln
5. Das Wegintegral der Funktion über einen beliebigen geschlossenen zusammenziehbaren Weg verschwindet.
6. Die Funktionswerte im Inneren einer Kreisscheibe lassen sich aus den Funktionswerten am Rand mit Hilfe der cauchyschen Integralformel ermitteln.
7. Es gilt ${\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0$ mit ${\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}={\frac {1}{2}}{\Big (}{\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}{\Big )}.$

Holomorphe Funktionen sind somit sehr "angenehme" Funktionen: Sie sind beliebig oft komplex-differenzierbar, können in eine Potenzreihe (Taylor-Reihe) entwickelt werden und vieles mehr. Fast alle Funktionen, die aus der Schulmathematik bekannt sind, sind Real- oder Imaginärteil einer holomorphen Funktion (zumindest auf einem Teil der komplexen Ebene): Insbesondere gilt das für Polynome, rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen (Sinus, Kosinus), Exponentialfunktion, Logarithmus, und Wurzelfunktionen.

Meromorphe Funktionen

Meromorphe Funktionen sind bis auf isolierte Polstellen holomorph. Sie lassen sich in Laurentreihen entwickeln, die nur endlich viele Reihenglieder mit negativen Potenzen der Variablen $z=x+iy$ besitzen, bzw. nur endlich viele Glieder mit negativen Potenzen von $z-a$ in der Umgebung einer Polstelle $a$.

Funktionen mit wesentlichen Singularitäten

Neben holomorphen und meromorphen Funktionen gibt es in der Funktionentheorie Funktionen mit wesentlichen Singularitäten. Sie sind dadurch charakterisiert, dass eine Funktion in jeder Umgebung einer wesentlichen Singularität jeden beliebigen komplexen Zahlenwert mit höchstens einer Ausnahme annimmt (Satz von Picard). Funktionen mit wesentlichen Singularitäten haben dort nicht abbrechende Laurententwicklungen der Potenzen mit negativen Exponenten.

Funktionentheoretische Methoden in anderen mathematischen Teilgebieten

Eine klassische Anwendung der Funktionentheorie liegt in der Zahlentheorie. Benutzt man dort funktionentheoretische Methoden, nennt man dieses Gebiet dann analytische Zahlentheorie. Wichtige Ergebnisse sind beispielsweise der Primzahlsatz.

Reelle Funktionen, die sich in eine Potenzreihe entwickeln lassen, sind auch Realteil einer holomorphen Funktion. Damit lassen sich diese Funktionen auf die komplexe Ebene erweitern. Durch diese Erweiterung kann man oft Zusammenhänge und Eigenschaften von Funktionen finden, die im Reellen verborgen bleiben, zum Beispiel die eulersche Identität. Hierüber erschließen sich vielfältige Anwendungsbereiche in der Physik (beispielsweise in der Quantenmechanik die Darstellung von Wellenfunktionen, sowie in der Elektrotechnik zweidimensionale Strom-Spannungs-Diagramme). Diese Identität ist auch die Basis für die komplexe Form der Fourier-Transformation. In vielen Fällen lässt sich diese einfach durch komplexe Analysis berechnen.

Für holomorphe Funktionen gilt, dass Real- und Imaginärteil harmonische Funktionen sind, also die Laplace-Gleichung erfüllen. Dies verknüpft die Funktionentheorie mit den partiellen Differentialgleichungen, beide Gebiete haben sich regelmäßig gegenseitig beeinflusst.

Das Wegintegral einer holomorphen Funktion ist vom Weg unabhängig. Dies war historisch das erste Beispiel einer Homotopieinvarianz. Aus diesem Aspekt der Funktionentheorie entstanden viele Ideen der algebraischen Topologie, beginnend mit Bernhard Riemann.

Außerdem kann man die Wegunabhängigkeit verwenden, um reelle Integrale zu berechnen, indem man die Integration in der komplexen Ebene durchführt (siehe Residuensatz).

Weitere wichtige Themen und Ergebnisse

Wichtige Ergebnisse sind der cauchysche Integralsatz, der Residuensatz und der riemannsche Abbildungssatz. Ein weiteres wichtiges Ergebnis ist der Fundamentalsatz der Algebra. Er besagt, dass sich ein Polynom im Bereich der komplexen Zahlen vollständig in Linearfaktoren zerlegen lässt. Für Polynome im Bereich der reellen Zahlen ist dies im Allgemeinen (mit reellen Linearfaktoren) nicht möglich.

Weitere wichtige Forschungsschwerpunkte sind die analytische Fortsetzbarkeit von holomorphen und meromorphen Funktionen auf die Grenzen ihres Definitionsbereiches und darüber hinaus.

Siehe auch

Grundlagen

• komplexe Zahlen
• komplexe Teilmengen
• Holomorphie

Wichtige Sätze

• Cauchyscher Integralsatz
• Cauchysche Integralformel
• Residuensatz
• Riemannscher Abbildungssatz
• Riemannscher Hebbarkeitssatz
• Satz von Picard
• Satz von Morera

Ganze Funktionen

• Exponentialfunktion
• Kreisfunktionen
• Hyperbelfunktionen

Meromorphe Funktionen

• Gammafunktion
• Elliptische Funktionen

Literatur

• Lars Ahlfors: Komplex Analysis. McGraw-Hill Comp., 1953. 
• Ludwig Bieberbach: Lehrbuch der Funktionentheorie. Bände 1. u.2. BG Teubner, 1923. 
• W. F. Osgood: Lehrbuch der Funktionentheorie. Bände 1.2.3. BG Teubner, 1923. 
• Alfred Pringsheim: Vorlesungen über Funktionenlehre. BGTeubner, 1925.  (Weierstrasscher Standpunkt)
• Thomae: Elementare Theorie der analytischen Funktionen. Verlag Louis Nebert, 1898. 
• O. Stolz u. J. A. Gmeiner: Einleitung in die Funktionentheorie. Bände 1. u.2. BG Teubner, 1904. 
• Durege: Elemente der Theorie der Funkt. einer komplexen Veränderlichen Grösse. 1.-5. Auflage. BG Teubner, 1882-1906. 
• Wolfgang Fischer: Funktionentheorie. Vieweg, Braunschweig 1994, ISBN 2-528-67247-1(?!). 
• Klaus Jänich: Funktionentheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20392-3. 
• Eberhard Freitag, Rolf Busam: Funktionentheorie 1. 4. Auflage. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-31764-3. 
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 1. 5. Auflage. Springer, Berlin 2002, ISBN 3-540-59075-7. 
• Reinhold Remmert, Georg Schumacher: Funktionentheorie 2. 3. Auflage. Springer, Berlin 2007, ISBN 3-540-40432-5. 
• Ian Stewart, David Tall: Complex Analysis. Cambridge University Press, 1997, ISBN 0-521-24513-3. 
• Volker Scheidemann: Introduction to complex analysis in several variables. Birkhäuser, Basel 2005, ISBN 3-7643-7490-X.