Virialsatz

Der Virialsatz (lat. vis „Kraft“) ist eine Beziehung zwischen dem zeitlichen Mittel der kinetischen Energie ${\overline {T}}$ und dem zeitlichen Mittel der potentiellen Energie ${\overline {U}}$ eines abgeschlossenen stationären physikalischen Systems. Er wurde 1870 von Rudolf Clausius aufgestellt in Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz.

Formulierung

Das Virial V eines Systems aus N Teilchen ist die Summe der Skalarprodukte aus den Impulsen und Orten dieser Teilchen, d.h. $V=\sum _{i=1}^{N}{\vec {p}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}.$ Der Vektor ${\vec {r}}_{i}$ beschreibt den Ort, der Vektor ${\vec {p}}_{i}$ den Impuls des i-ten Teilchens. Ist das Virial beschränkt, so gilt die Beziehung:

${\overline {T}}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\overline {{\vec {F}}_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}}}.$

Dabei ist ${\vec {F}}_{i}$ die Resultierende der auf das i-te Teilchen einwirkenden Kräfte, die von anderen Teilchen des Systems ausgeübt werden. Da ein abgeschlossenes System betrachtet wird, existieren keine äußeren Kräfte.

Ist die Kraft konservativ und besitzt ein Potential U, das homogen vom Grad k ist, d.h. für α > 0 gilt $U(\alpha {\vec {r}}_{i})=\alpha ^{k}U({\vec {r}}_{i})$, so vereinfacht sich die obige Form auf

${\overline {T}}={\frac {k}{2}}\,{\overline {U}}.$

Befindet sich ein Vielteilchensystem im Gleichgewicht, so kann das System als ergodisch betrachtet werden, d.h. das Zeitmittel ist gleich dem Scharmittel für alle Beobachtungsgrößen. Da dies insbesondere für die kinetische und die potentielle Energie gilt und das Scharmittel der Energien einfach aus der Summe der Einzelenergien geteilt durch die Anzahl der Objekte N gebildet wird, lässt sich das Scharmittel durch die Gesamtenergien ausdrücken. Wir erhalten daher für Gleichgewichtssysteme:

$T={\frac {k}{2}}\,U$

ohne Mittelung über die Zeit, denn die Werte sind zeitlich konstant.

Anwendungsbeispiel

Anwendung findet der Virialsatz beispielsweise in der Astrophysik und der Himmelsmechanik. Dort benutzt man das Newton'sche Gravitationspotential, das homogen vom Grad -1 ist. Es gilt dann

$2T=-U.$

Der Virialsatz erlaubt es, recht gute Abschätzungen für die Gesamtmassen dynamisch gebundener Systeme wie Sternhaufen oder Galaxienhaufen zu finden. Die Gesamtmasse eines solchen Haufens kann dann vollständig durch Beobachtungsgrößen wie Radialgeschwindigkeiten, Winkelabstände und scheinbare Helligkeiten der Einzelobjekte ausgedrückt werden. Die einzige Voraussetzung für die Anwendung des Virialsatzes ist die Kenntnis des Abstandes des Haufens. Wir wollen das Vorgehen bei einer Massenbestimmung eines solchen Haufens hier skizzieren:

Die kinetische Gesamtenergie eines Stern- oder Galaxienhaufens ist durch

$T={\frac {1}{2}}\sum _{i}m_{i}\|{\vec {v}}_{i}\|^{2}$

gegeben. Weder die Einzelmassen m_i noch die Geschwindigkeitsbeträge |v_i| sind jedoch Beobachtungsgrößen. Die Einführung der Gesamtmasse $M=\sum m_{i}$ erlaubt die einfache Umformung

$T={\frac {M}{2}}\sum _{i}{\frac {m_{i}}{M}}\|{\vec {v}}_{i}\|^{2}.$

Macht man nun die zwei Annahmen:

a) Die Einzelmassen m_i sind proportional zu den Einzelleuchtkräften l_i und daher gilt

$T={\frac {M}{2}}\sum _{i}{\frac {l_{i}}{L}}\|{\vec {v}}_{i}\|^{2}={\frac {M}{2}}\langle \|{\vec {v}}\|^{2}\rangle _{L},$

wobei der letzte Term das Leuchtkraft-gewichtete Mittel über die Geschwindigkeiten bezeichnet.

b) Das System ist sphärisch symmetrisch und befindet sich im Gleichgewicht (man sagt auch es ist virialisiert). Daher sind die Geschwindigkeiten über die Raumrichtungen gleichverteilt (Gleichverteilungssatz). Es gilt dann

$\langle \|{\vec {v}}\|^{2}\rangle _{L}=3\langle v_{R}^{2}\rangle _{L},$

wobei v_R die radialen Pekuliargeschwindigkeiten bezeichnet, d.h. die Abweichungen der Radialgeschwindigkeit vom Haufenmittelwert. Damit erhält man:

$T={\frac {3M}{2}}\langle v_{R}^{2}\rangle _{L}.$

Für die potentielle Gesamtenergie gilt unter der Bedingung der sphärischen Symmetrie

$U=-{\frac {GM^{2}}{\alpha R}},$

wobei R der Gesamtradius des System ist und der morphologische Faktor α von der radialen Verteilungsfunktion, also der Geometrie des Haufens abhängt. Für eine (allerdings unrealistische) Gleichverteilung innerhalb des Radius R ist beispielsweise α=5/3. Im Allgemeinen ist der Faktor aus den Winkelabständen der Einzelsysteme zum Haufenzentrum zu bestimmen.

Für die Gesamtmasse des Haufens erhalten wir somit die Formel

$M={\frac {3\alpha R}{G}}\langle v_{R}^{2}\rangle _{L}.$

Verallgemeinerung

Im Rahmen der Kontinuumsmechanik wird der tensorielle Virialsatz aus der stoßfreien Boltzmann-Gleichung und dem daraus abgleiteten Jeans-Kriterium bewiesen. Wenn als Wechselwirkung wiederum die Gravitation angenommen wird, hat der Satz die Form:

${\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}I_{ij}=2T_{ij}+\Pi _{ij}+U_{ij},$

wobei $I_{ij}$ der Trägheitstensor, $T_{ij}$ der kinetische Energietensor, $\Pi _{ij}$ der Spannungstensor und $U_{ij}$ der potentielle Energietensor ist. Im statischen Fall fällt die Zeitableitung auf der linken Seite der Gleichung weg und die Spur der Gleichung ergibt wieder den skalaren Virialsatz, da der Spannungstensor spurfrei ist.

Für die Quantenmechanik behält der Virialsatz seine Gültigkeit bei, wie von Fock gezeigt wurde.

Vorzeichen von Energiegrößen im Virialsatz

Zum Virialsatz: Energieerwartungswerte als Funktion des Grades s der homogenen Potentialfunktion oder die Vorzeichen der kinetischen, potentiellen und Gesamtenergie, bei auf 1 normierter Gesamtenergie

Der Virialsatz in der allgemeinen Form für eine homogene Potentialfunktion vom Grad s

$\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle ={\frac {s}{2}}\;\langle U_{\mathrm {pot} }\rangle ={\frac {s}{s+2}}\;E$

gibt eindeutige Auskunft über die richtigen Vorzeichen der beteiligten Energiegrößen.

Für den bekanntesten Fall $s=-1$ (Gravitation, Coulombsches Kraftgesetz) ergibt sich beispielsweise:

$\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle =-\;{\frac {1}{2}}\;\langle U_{\mathrm {pot} }\rangle =-\;E$

Die Vorzeichen im einzelnen sind (s. Abb.):

$\langle E_{\mathrm {kin} }\rangle$ ist positiv definit.

$\langle U_{\mathrm {pot} }\rangle <\;0\;$ für $s\;<\;0\$ und

$\langle U_{\mathrm {pot} }\rangle >\;0\;$ für $s\;>\;0\$.

Und

$E>0$ für $s<-2$ oder $0<s$.

$E<0$ für $-2<s<0$.

Literatur

• Rudolf Clausius: Ueber einen auf die Wärme anwendbaren mechanischen Satz, Annalen der Physik (Zeitschrift), 1870, Vol. 217, Issue 9, Seiten 124–130, Text (S.124)
• Lew Dawidowitsch Landau, Jewgeni Michailowitsch Lifschitz: Mechanik (Lehrbuch der theoretischen Physik; Bd. 1). Deutsch, Frankfurt/M. 2004, ISBN 3-8171-1326-9

Gibt eine einfache Herleitung des skalaren Virialsatzes.

• James Binney, Scott Tremaine: Galactic Dynamics Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. 1988, ISBN 0-691-08445-9

Hier findet man die tensorielle Verallgemeinerung und Anwendungen.

Weblinks

• Eine weitere Herleitung der skalaren Variante (in englischer Sprache)