Asphärische Linse

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Eine asphärische Linse ist eine Linse, deren optisch wirksame Form von der Kugelform abweicht. Durch die höhere Zahl an Parametern können Abbildungsfehler vermieden werden, die bei sphärischen Linsen unvermeidlich sind. Speziell kann man die sphärische Aberration völlig korrigieren, jedoch ist die Fertigung aus Glas wesentlich aufwendiger als die eines sphärischen Elements.

Form[Bearbeiten]

Pfeilhöhe bei einer asphärischen Linse

Die Form rotationssymmetrischer asphärischer Linsen wird in der Regel als Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) plus eine Potenzreihe für Deformationen höherer Ordnung angegeben. Nichtrotationssymmetrische asphärische Linsen können außeraxiale Ausschnitte solcher Kegelschnitte sein, aber auch in allen Richtungen frei definierte optische Flächen (Freiform-Asphären) sein.

z(r) = \frac{r^2}{R\left(1+\sqrt{1 - (1 + k)\left(\frac{r}{R}\right)^2}\right)} + A_\mathrm{4} r^4 + A_\mathrm{6} r^6 + \dots

Formel nach DIN ISO 10110 Optik und Photonik - Erstellung von Zeichnungen für optische Elemente und Systeme, Teil 12 Asphärische Oberflächen mit:

Das paraxiale Verhalten der asphärischen Fläche wird nur vom Scheitelradius R bestimmt.

Sonderfälle asphärischer Linsen sind die Zylinderlinse (konstanter Krümmungsradius in einer Schnittebene, unendlicher Krümmungsradius in der dazu senkrechten Schnittebene) und die torische Linse (zwei verschiedene Krümmungsradien in zwei zueinander senkrechten Schnittebenen).

Berechnung an plankonvexer Linse[Bearbeiten]

Zur Schnittweite s bei einer optischen Abbildung mit einer plankonvexen, asphärischen Linse mit der Hauptebene H (grün), dem Brennpunkt F (rot), der Brechzahl n = 1,5 und dem Krümmungsradius R bei gegebener Einfallshöhe H.

Anhand einer plankonvexen Linse kann die Form der entsprechenden asphärischen Oberfläche verhältnismäßig leicht veranschaulicht werden. Betrachtet man eine optische Abbildung aus dem Unendlichen mit parallelem, monochromatischem Licht durch eine solche Linse mit dem Krümmungsradius R bei der Einfallshöhe H, ergibt sich die in nebenstehender Abbildung dargestellte Situation.

Zur Berechnung der asphärischen Oberfläche können Lichtstrahlen betrachtet werden, die mit der Einfallshöhe H parallel zur optischen Achse auf die gegenstandsseitige, plane Linsenfläche fallen. Diese werden beim Eintritt in das optisch dichtere Medium des Linsenmaterials mit der Brechzahl n nicht gebrochen, da sie senkrecht auftreffen. Bildseitig bilden diese Strahlen zum Oberflächenlot der Linse in der Linse den Winkel \alpha und außerhalb der Linse den Winkel \beta. Diese Winkel verhalten sich wie durch das Snelliussche Brechungsgesetz beschrieben. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:

\sin(\alpha) = \frac {H}{R}

\sin(\beta) = \frac {n \cdot H}{R}

Die optische Achse schneiden diese Strahlen dann unter dem Winkel

\gamma = \beta - \alpha

Für achsennahe Strahlen (H\rightarrow0) ergibt sich eine bildseitige Schnittweite s_{0} respektive Brennweite f von:

f = s_{0} = R_{0} \cdot \left(\frac {n} {n-1} - 1 \right),

wobei  R_0 der Radius im Scheitel der Linse auf der optischen Achse ist.

Die Pfeilhöhe z, gemessen von der Hauptebene der Linse, kann dann in Abhängigkeit von der Einfallshöhe H mit Hilfe einiger Hilfsgrößen ausgehend von  H_{0} = 0 und  \Delta_{0} = 0 in Schritten von  \Delta H iterativ ermittelt werden:

H_{i} = H_{i-1} + \Delta H

z_{i} = \Delta_{i-1} + R_{i-1} - \sqrt{R_{i-1}^2 + H_{i}^2}

\gamma_{i} = \arctan {\frac {H_{i}}{f + z_{i}}}

R_{i} = \sqrt {\left({\frac {n \cdot H_{i}}{\sin{\gamma_{i}}} - f - z_{i}}\right)^2 + H_{i}^2}

\alpha_{i} = \arcsin {\frac {H_{i}}{R_{i}}}

\beta_{i} = \arcsin {\frac {n \cdot H_{i}}{R_{i}}}

Für die Schnittweite s_{i} vom Scheitelpunkt der Kugel mit dem Radius R_{i} auf der optischen Achse gilt:

s_{i} = \frac {n \cdot H_{i}} {\sin(\gamma_{i})} - R_{i}

Schließlich ergibt sich der Scheitelabstand \Delta_{i} von der Hauptebene aus der Differenz dieser Schnittweite mit der Schnittweite bei paraxiale Strahlen s_{0}:

\Delta_{i} = s_{i} - s_{0}

Beispiel[Bearbeiten]

Design einer plankonvexen, sphärischen Linse mit den Einfallshöhen H in Zehnerschritten bis ±90 mit einer Brechzahl von 1,5, einem konstanten Krümmungsradius von 100 und einer Brennweite von 200. Mit zunehmender Einfallshöhe nimmt die von der Hauptebene H gemessene Schnittweite immer weiter ab, und einfallende Strahlen mit Einfallshöhen von ±70 und größeren Beträgen werden innerhalb der Linse sogar totalreflektiert und tragen daher gar nicht zur optischen Abbildung bei. Nur achsnahe Strahlen schneiden die optische Achse in die Nähe des Brennpunktes F.
Design einer plankonvexen, asphärischen Linse mit den Einfallshöhen H in Zehnerschritten bis ±100 entsprechend der Beispieltabelle mit einer Brechzahl von 1,5, einem Krümmungsradius im Scheitelpunkt auf der optischen Achse von 100 und einer Brennweite von 200. Für alle Einfallshöhen ergibt sich dieselbe von der Hauptebene H gemessene Schnittweite, und alle gebrochenen Strahlen schneiden die optische Achse im Brennpunkt F.

In der folgenden Tabelle sind einige auf diese Weise berechnete Beispielwerte für n = 1,5, und den einheitenlosen Längenmaßen R_{0} = 100 und f = s_{0} = 200 angegeben. Mit zunehmender Einfallshöhe werden die Krümmungsradien immer größer und sowohl die Mittelpunkte als auch Scheitelpunkte der entsprechenden Kreise entfernen sich objektseitig immer weiter von der Hauptebene.

Einfallshöhe
H
 
Pfeilhöhe
z
 
Radius
R
 
Scheitel-
abstand
\Delta
Winkel
\alpha
in °
Winkel
\beta
in °
Winkel
\gamma
in °
0 0,0 100,0 0,0 0,0 0,0 0,0
10 0,5 101,1 0,0 5,7 8,5 2,9
20 2,0 104,4 0,1 11,0 16,7 5,7
30 4,5 109,7 0,3 15,9 24,2 8,3
40 7,8 116,7 0,8 20,0 30,9 10,9
50 12,0 125,2 1,6 23,5 36,8 13,3
60 16,9 134,8 2,8 26,4 41,9 15,5
70 22,4 145,3 4,5 28,8 46,3 17,5
80 28,5 156,6 6,5 30,7 50,0 19,3
90 34,9 168,5 8,9 32,3 53,2 21,0
100 41,8 180,8 11,6 33,6 56,0 22,5
110 48,9 193,6 14,6 34,6 58,5 23,8
120 56,3 206,6 17,9 35,5 60,6 25,1
130 63,9 219,9 21,4 36,2 62,5 26,2
140 71,7 233,4 25,0 36,9 64,1 27,3
150 79,6 247,1 28,9 37,4 65,6 28,2
160 87,7 260,9 32,9 37,8 66,9 29,1
170 95,8 274,9 37,0 38,2 68,1 29,9
180 104,1 288,9 41,2 38,5 69,2 30,6
190 112,4 303,0 45,5 38,8 70,1 31,3
200 120,9 317,3 49,9 39,1 71,0 31,9

Bis zu einer Einfallshöhe von 140 entspricht die konvexe Oberfläche dieser Linse nach DIN ISO 10110-12 (siehe oben) ohne weitere aspärische Parameter in den höheren Gliedern relativ genau der Beziehung für einen Hyperboloiden mit der konischen Konstante k = -2:

z(H) = \frac {H^2} {R_{0} \left(1 + \sqrt {1 + \left( \frac {H} {R_{0}} \right)^2} \right)} = \frac {H^2} {R_{0} + \sqrt{R_{0}^2 + H^2}}

Anwendungen[Bearbeiten]

  • Asphärische Kondensorlinsen werden zur Lichtbündelung in Projektoren und Scheinwerfern eingesetzt und ermöglichen hier eine höhere Lichtausbeute, da die Apertur vergrößert werden kann, ohne dass die sphärische Aberration stört.
  • Asphärische Brillengläser: durch die Abweichung von der Kugelform lassen sich flachere, dünnere, leichtere und optisch bessere Brillengläser, insbesondere für Weitsichtige (Hyperope), herstellen.
  • Hochwertige Okulare, insbesondere Weitwinkelokulare von Fernrohren und Ferngläsern mit Bildwinkeln bis zu 70°, bestehen aus bis zu 8 teils miteinander verkitteten Linsen, und werden manchmal mit einer asphärischen Fläche versehen.
  • Zoom-(Vario-)Optiken mit variabler Brennweite, z. B. Fotoobjektive. Diese sind umso schwerer zu berechnen und herzustellen, je größer ihr Brennweitenbereich ist, denn die Korrektur der Abbildungsfehler muss als Kompromiss für alle einstellbaren Brennweiten erfolgen. Solche Systeme haben deshalb oft viele Linsen, teils mehr als 15, und sie können zum Teil nur durch Asphären mit akzeptablen Abbildungsfehlern verwirklicht werden. Es kann auch für einfachere Objektive ökonomisch sinnvoll sein, Asphären einzusetzen, da sich diese durch Abformen (siehe weiter unten) relativ preisgünstig herstellen lassen, und man damit entsprechend weniger Linsen braucht, um die Fehler ausreichend zu korrigieren.
  • Fotoobjektive mit hoher Lichtstärke oder Weitwinkelobjektive mit besonders großem Bildwinkel. Wenn man die Apertur oder den Bildwinkel der Objektive sehr groß macht, wachsen die Abbildungsfehler stark an und erfordern einen hohen Korrektionsaufwand. Asphärische Flächen sind dabei hilfreich, um die Fehler gut zu korrigieren und zugleich die Linsenzahl sowie Größe und Gewicht des Objektivs nicht übermäßig anwachsen zu lassen.
  • die asphärische Korrekturplatte des Schmidt-Teleskops. Sie beseitigt die sphärische Aberration des Hauptspiegels fast vollständig, welche sonst das Auflösungsvermögen bzw. das Bildfeld mindert.
  • Fokussierlinsen für Diodenlaserstrahlung können asphärisch sein, um die großen Aperturen zu bewältigen. Eine Alternative sind Gradientenlinsen.

Herstellung[Bearbeiten]

Die Herstellung von asphärischen Oberflächen kann durch eine Reihe von Verfahren erfolgen:

Schleifen[Bearbeiten]

Schleifen ist das älteste, aber auch aufwändigste Verfahren, um asphärische Glaslinsen herzustellen. Schon mehrere Jahrzehnte gibt es Fotoobjektive mit solchen Linsen, aber bis zur Serienreife von Abformverfahren waren sie auf besonders hochwertige und teure Objektive beschränkt.[1] Seit dem Jahr 2000 hat sich die Maschinentechnik auf Basis von CNC-Steuerungen soweit weiterentwickelt, dass heute (Stand 2013) der Einsatz von CNC-Maschinen zur Fertigung von Asphären gängige Praxis ist. Namhafte Maschinenhersteller im deutschsprachigen Raum sind die Firmen SatisLoh[2], OptoTech[3] und Schneider Optikmaschinen.[4] Die CNC-Bearbeitung ermöglicht vor allem auch die Bearbeitung von Quarzen oder von Optiken mit großen Durchmessern, die mittels Abformung gar nicht oder nicht in der benötigten Güte hergestellt werden können. Sie kommen hauptsächlich in den Bereichen Messtechnik, Medizintechnik, Lasertechnik sowie in der Luft- und Raumfahrt zum Einsatz.[5] Namhafte Asphärenhersteller in Deutschland sind Zeiss, Jenoptik und asphericon.[6]

Abformung[Bearbeiten]

Dieses für Serienfertigung kostengünstige Verfahren wird häufig für Kamera-, Kondensorlinsen sowie für Laser-Pick-Up-Optiken bspw. in DVD-Playern eingesetzt.[7]

  • Asphärische Linsen aus Kunststoff können durch Abformen sehr preisgünstig hergestellt werden. Für Fotoobjektive ist jedoch ihre Formgenauigkeit und Konstanz ihrer Eigenschaften nicht gut genug.
  • Man kann auf eine sphärische Glaslinse eine Kunststoffschicht mit asphärischer Oberfläche aufpressen. Die Qualität eines solchen Elements ist für Fotoobjektive mittlerer Güte ausreichend.
  • Für hochwertige Fotoobjektive wird eine Glaslinse direkt mit einer abgeformten asphärischen Oberfläche hergestellt (Blankpressen). Man braucht dafür aber geeignete Gläser mit nicht zu hoher Transformationstemperatur, denn das Material der Pressstempel ist nur begrenzt temperaturbeständig. Man kann somit nicht jedes optische Glas verwenden.

Magnetorheologisches Polieren[Bearbeiten]

Als magnetorheologisches Polieren (englisch Magneto Rheological Finishing, MRF) bezeichnet man ein Polierverfahren von optischen Komponenten wie Linsen. Das Verfahren kann auch zur lokalen Korrektur eingesetzt werden.

Ion-Beam Figuring[Bearbeiten]

Ion-Beam Figuring (auch Ion-Milling genannt), ist ein Oberflächenbearbeitungsverfahren, bei dem das Material mittels eines Ionenstrahls abgetragen wird, sozusagen ein Sandstrahler auf atomarer Ebene.[8][9]

Mechanische Spannung[Bearbeiten]

Die Optik kann während des Schleifens durch Krafteinwirkung verformt werden; sie wird dann sphärisch geschliffen. Die sphärische Fläche entformt sich nach Lösen der Verspannung und ergibt so die Asphäre. Ein Beispiel hierfür ist die Schmidt-Platte, diese wird durch einen Unterdruck verformt und dann auf einer Seite plan geschliffen.

Alternativ kann eine sphärische Fläche durch Krafteinwirkung zu einer Asphäre verformt werden.[10]

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Homepage der Fa. Precitech, auf der verschiedene Diamantschleifmaschinen vorgestellt werden
  2. Homepage der Firma SatisLoh zum Thema Asphären
  3. Homepage der Firma OptoTech zum Thema Asphären
  4. Homepage der Firma Schneider zum Thema Asphären
  5. Anwendungsbeispiele CNC-gefertigter Asphären
  6. Mitgliederliste des OptoNet Jena mit Firmenprofilen
  7. Übersicht der Fa. Schott über gepresste asphärische Linsen
  8. Übersicht über IBF/IBM der Fa. Aries zur Bearbeitung von Spiegeloberflächen
  9.  Bernhard Braunecker, Rüdiger Hentschel, Hans J. Tiziani (Hrsg.): Advanced Optics Using Aspherical Elements (= SPIE PM. 173). SPIE Press, 2008, ISBN 978-0-8194-6749-2, S. 53.
  10.  Gérard R. Lemaitre: TRSS: A Three Reflection Sky Survey at Dome-C with active optics modified-Rumsey telescope. In: Focus. 56, S. 56 ((PDF; 1,4 MB), abgerufen am 23. Februar 2012).