Fano-Ebene

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Die Fano-Ebene mit 7 Punkten und 7 Geraden. Sie kann als ein Hypergraph mit 7 Knoten (den „Punkten“ der Inzidenzstruktur, in der Abbildung sind das gefüllte Kreise) und 7 Kanten (den „Geraden“ der Inzidenzstruktur, in der Abbildung sind das die 6 Strecken und der Kreis) aufgefasst werden.

Die Fano-Ebene ist eine Inzidenzstruktur, die sich sowohl als linearer Raum als auch als projektive Ebene, zweidimensionaler projektiver Raum oder als Blockplan auffassen lässt. Sie ist nach dem italienischen Mathematiker Gino Fano benannt. In der synthetischen Geometrie ist sie das Minimalmodell einer projektiven Ebene. Ihr affiner Ausschnitt, der durch Ausschneiden einer projektiven Geraden entsteht, ist das Minimalmodell einer affinen Ebene.

Die Automorphismengruppe \Gamma der Fano-Ebene ist die Gruppe ihrer Projektivitäten, symbolisch als \operatorname{PGL}(3,2) dargestellt, da sie formal eine Faktorgruppe der allgemeinen linearen Gruppe \operatorname{GL}(3,2) ist, tatsächlich ist sie zu dieser isomorph. \Gamma ist eine einfache Gruppe und zählt in der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen zu den kleinsten nichtkommutativen einfachen Gruppen. Sie zählt dort zu den Gruppen vom Lie-Typ.

Daneben werden im Sprachgebrauch der synthetischen Geometrie diejenigen projektiven oder (seltener) affinen Ebenen als Fano-Ebenen bezeichnet, in denen das Fano-Axiom gilt. Die Fano-Ebene, wie sie dieser Artikel beschreibt, ist in diesem axiomatischen Sinn keine Fano-Ebene, denn sie erfüllt das projektive Fano-Axiom nicht.

Definitionen[Bearbeiten]

Die Fano-Ebene mit binären Punktnummern (rot), die abkürzend für homogene Koordinaten stehen

Visualisierung, Definition als Hypergraph[Bearbeiten]

Die Fano-Ebene lässt sich durch die Zeichnung eines gleichseitigen Dreiecks mit Höhen und Inkreis visualisieren (erste Abbildung oben) und definieren. Die 7 Elemente von  \mathfrak{P} , die Punkte, sind die drei Eckpunkte, die drei Höhenfußpunkte und der Mittelpunkt des Inkreises. Die 7 Elemente von  \mathfrak{G} , die Geraden, sind dann die Dreieckseiten, die Höhen und der Inkreis. Dieses Bild kann – im Sinne der Graphentheorie – als ein Hypergraph mit Knoten (den Punkten) und Kanten (den Strecken und dem Inkreis) und damit als Modell der Fano-Ebene angesehen werden.

Konkrete, aufzählende Definition als Inzidenzstruktur[Bearbeiten]

Die folgende (symmetrische) Inzidenzstruktur L=(\mathfrak{P},\mathfrak{G},I) wird als Fano-Ebene bezeichnet:

Punktmenge: \mathfrak{P}=\{001,010,011,100,101,110,111\} oder \mathfrak{P}=\{1,2,3,4,5,6,7\}
Geradenmenge: \mathfrak{G}=\left\{\begin{matrix} \{001,010,011\},& \{001,100,101\},\\ \{001,110,111\},& \{010,101,111\},\\ \{010,100,110\},  & \{011,100,111\},\\ \{011,101,110\} \end{matrix}\right\} oder
\quad\mathfrak{G}=\left\{ \{1,2,3\}, \{1,4,5\}, \{1,6,7\}, \{2,5,7\}, \{2,4,6\}, \{3,4,7\}, \{3,5,6\}, \right\}
Inzidenzrelation \text{I}: Für P\in \mathfrak{P}, g\in \mathfrak{G} gilt  P\,\text{I}\,g \Leftrightarrow P\in g\quad und  \quad g\,\text{I} \,P \Leftrightarrow P\in g

In dieser konkreten Definition durch Aufzählung können die 7 „binären“ Punktsymbole (vergleiche die Abbildung rechts: 001,010, usw.) einfach als eigenwillige Symbole für 7 verschiedene Punkte genommen werden. Tatsächlich stehen sie abkürzend für Koordinatentripel, wie weiter unten erläutert wird. Die zweite, kompaktere Darstellung der Punkte- und Geradenmenge entsteht jeweils durch die Interpretation dieser Punktsymbole als Zahlen im Dualsystem und deren Umrechnung ins Dezimalsystem.

Definition als projektiver Raum[Bearbeiten]

Gleichwertig lässt sich die Fano-Ebene mit der Sprache der linearen Algebra definieren als der zweidimensionale projektive Raum \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_2) über dem endlichen Körper \mathbb{F}_2 mit zwei Elementen. Dieser Körper wiederum kann durch den Restklassenkörper \Z /2\Z \cong \mathbb{F}_2 modelliert werden.

Äquivalenz der Definitionen[Bearbeiten]

Die Fano-Ebene ist im Sinne der synthetischen Geometrie eine endliche projektive Ebene der Ordnung 2 mit 7 Geraden und 7 Punkten, ihre symbolische Abkürzung lautet PG(2,2). Bei der axiomatischen Beschreibung projektiver Ebenen ergibt sich dies, indem man direkt anhand der konkret definierten Inzidenzstruktur die Gültigkeit der Axiome überprüft.

Bei der Definition als zweidimensionaler projektiver Raum über dem Körper K=\mathbb{F}_2 betrachtet man den Vektorraum  K^3 , dessen eindimensionalen Unterräume sind dann die Punkte der projektiven Ebene, seine zweidimensionalen Unterräume die Geraden und die Inzidenzrelation ist die mengentheoretische Teilmengenrelation\subset“. Somit erhält man (formal)

  • als Punktmenge: \mathfrak{P}=\left\{ \langle x\rangle:\; x\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}\right\} und
  • als Geradenmenge: \mathfrak{G}=\left\{ \langle x,y \rangle:\; x,y\in K^3\setminus\{(0,0,0)\}\and x\neq y\right\}.

Dabei stehen die Symbole \langle x\rangle,\; \langle x,y \rangle für die von dem Vektor x bzw. den Vektoren x,y erzeugten linearen Unterräume des K^3. Die Bedingung x\neq y in der Definition der Geradenmenge ist für diesen Vektorraum gleichwertig zur linearen Unabhängigkeit der zwei Vektoren, solange der Nullvektor ausgeschlossen wird.

Punktkoordinaten[Bearbeiten]

Nun kann man im visualisierten Modell (gleichseitiges Dreieck mit Höhen und Inkreis) ein vollständiges Viereck, also eine geordnete, vierelementige Punktmenge (B_1,B_2,B_3,E), bei der keine drei Punkte auf einer Geraden liegen, als projektive Punktbasis auswählen und diesen Punkten in der gegebenen Reihenfolge die (Erzeugnisse der) Standardbasis des K^3 nebst Einheitspunkt zuweisen: B_1\mathrel{\widehat{=}} e_1=(1,0,0) usw. – formal genauer: B_1\mathrel{\widehat{=}} \langle (1,0,0)\rangle, denn der projektive Punkt entspricht einem eindimensionalen Unterraum, also dem Erzeugnis von e_1. Nun wird die Schreibweise noch etwas informeller gemacht und weiter verkürzt: Wir vereinbaren B_1=100 als Abkürzung für die oben beschriebene Zuordnung.

In der zweiten Abbildung oben wurde dies durchgeführt. Dabei wurden die Ecken in der Reihenfolge „rechts 100, oben 010, links 001“ zu den ersten drei Basispunkten und der Höhenschnittpunkt zum Einheitspunkt E=111\mathrel{\widehat{=}} \langle e_1+e_2+e_3\rangle , die Koordinaten der übrigen Punkte ergeben sich so: Der dritte Punkt auf einer Geraden muss sich durch binäre Addition ohne Überträge \oplus (auch Exclusiv-Oder-Verknüpfung XOR genannt) der anderen beiden Punkte auf der Geraden ergeben. Zum Beispiel: 101=001\oplus 100=010\oplus 111= 011\oplus 110, in Worten: Der Mittelpunkt der unteren Seite des gleichseitigen Dreiecks (101) liegt auf der unteren Seite (erste „Summe“), der Höhe zu dieser Seite (zweite „Summe“) und auf dem Inkreis (dritte „Summe“). Dass diese Gleichungen für die „Summen“ aufgehen, bedeutet nun gerade, dass der Vektor (1,0,1) im jeweiligen Erzeugnis der summierten, verschiedenen Koordinatenvektoren liegt. Da die drei Seitenmitten, also gerade die Punkte, die nicht zum vollständigen Viereck gehören, mit dieser Regel konsistent koordinatisiert werden können, ist die „Visualisierung als gleichseitiges Dreieck“, formal genauer: der entsprechende Hypergraph zu \mathbb{P}^2(\mathbb{F}_2) isomorph. Die Definition durch Aufzählung gibt nun aber einfach die Punktmenge und Geradenmenge des Hypergraphen wieder und ist daher zu den beiden anderen Modellen isomorph.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Die Fano-Ebene ist ein zweidimensionaler projektiver Raum über einem endlichen Körper im Sinne der linearen Algebra.
  • Damit ist sie auch ein linearer Raum.
  • Sie ist eine pappussche zweidimensionale projektive Geometrie und also eine projektive Ebene im Sinne der synthetischen Geometrie.
  • Jede projektive Ebene der Ordnung 2 ist zur Fano-Ebene isomorph und es existiert keine projektive Ebene kleinerer Ordnung.[1]
  • Sie ist ein symmetrischer (7,3,1)-Blockplan, damit ist sie der kleinste Hadamard-Blockplan.

Entartungen[Bearbeiten]

Durch ihre Kleinheit weist die Fano-Ebene einige Besonderheiten auf:

  • Sie erfüllt den Satz von Pappos sozusagen „leer“: Da es keine nichtentarteten Sechsecke der Art, wie sie die Pappos-Konfiguration erfordert, gibt, fallen (mindestens) zwei der sechs Ecken zusammen. Dann fallen aber auch mindestens zwei „Schnittpunkte von Gegenseiten“ zusammen und die Aussage des Satzes dass diese drei Schnittpunkte auf einer Geraden liegen, wird trivial.
  • Da eine nicht entartete Desargues-Konfiguration zehn verschiedene Punkte erfordert, wird auch der Satz von Desargues letztendlich trivial erfüllt.
  • Sie ist die einzige projektive Ebene über einem Schiefkörper, in der jede projektive Perspektivität mit einem Zentrum außerhalb einer Achse a zwingend die Identität ist. Durch die Vorgaben sind die „freien“ Punktmengen auf den Geraden durch das Zentrum einpunktig (mindestens ein Punkt jeder dieser Geraden liegt auf a, ein weiterer ist das Zentrum). Also wird auch die Transitivitätsforderung an Ebenen der Lenz-Barlotti-Klasse VII.2 leer erfüllt. Dieser Klasse VII.2 gehört die Fano-Ebene also wie jede andere desarguessche Ebene an.
  • Das Doppelverhältnis ist entartet, da es auf keiner Geraden vier verschiedene Punkte gibt.
  • Die Fano-Ebene ist die einzige projektive Ebene, in der der Einheitspunkt zur Definition einer projektiven Punktbasis eigentlich überflüssig ist: Im Vektorraummodell enthält jeder eindimensionale Raum neben dem Nullvektor nur einen weiteren Punkt, das heißt die indirekte Zuordnung „Basisvektor → eindimensionaler Unterraum ↔ projektiver Punkt“ ist hier auch zum Basisvektor hin umkehrbar, ohne dass ein Einheitspunkt zu Hilfe genommen werden muss; dies gilt übrigens ganz genau so für die projektiven Räume \mathbb{P}^n(K) beliebiger Dimension n\geq 1, wenn, aber auch nur dann, wenn der Körper K genau zwei Elemente hat. Bei der Wahl der Punktbasis in der Ebene zeigt sich diese Besonderheit so: Hat man für die Punktbasis drei nicht kollineare Punkte B_1,B_2,B_3\in \mathfrak{P} gewählt – für diese Wahl gibt es bei Berücksichtigung der Reihenfolge immerhin 7\cdot 6 \cdot 4=168 Möglichkeiten – dann gibt es stets genau noch einen Punkt in der Ebene, der nicht zu zwei der gewählten Punkte kollinear ist!
  • In der Automorphismengruppe von \mathbb{P}^n(K) drückt sich die zuletzt genannte Besonderheit dadurch aus, dass aus der für beliebige Körper gültigen Isomorphieaussage \operatorname{PGL}(n+1, K)\cong \operatorname{GL}(n+1,K)/K^\ast die Aussage \operatorname{PGL}(n+1, K)\cong \operatorname{GL}(n+1,K) folgt, denn die multiplikative Gruppe K^\ast ist für den zweielementigen Körper die Einsgruppe.

Dualisierung[Bearbeiten]

Eine projektive, hyperbolische Polarität in der Fano-Ebene: Jedem Punkt wird eine Gerade zugeordnet, jeder Geraden ein Punkt, so dass dabei die Inzidenzrelation umgekehrt wird.

Eine abstrakte Dualisierung der Fano-Ebene erhält man, indem man in einer der Definitionen Punktmenge und Geradenmenge vertauscht und die Inzidenzrelation umkehrt, also die Inzidenzstruktur L^d=(\mathfrak{G}, \mathfrak{P},\text{I}^{-1}) [2] betrachtet. Die so aus L abgeleitete Inzidenzstruktur ist stets wieder eine Inzidenzstruktur und für eine projektive Ebene (im Sinne der synthetischen Geometrie) auch wieder eine projektive Ebene derselben Ordnung. Für desarguessche projektive Ebenen und also auch für die Fano-Ebene ist die duale Struktur L^d zur Ausgangsstruktur isomorph. Dies zeigt man mit Hilfe eines konkreten Isomorphismus (einer Korrelation), der vom gewählten Koordinatensystem abhängt. Eine solche Korrelation (hier genauer: eine projektive, hyperbolische Polarität) wird im nachfolgenden Abschnitt beschrieben:

Geradenkoordinaten und Dualität[Bearbeiten]

Im Vektorraummodell lässt sich jede Gerade, also jeder zweidimensionale Unterraum des K^3 durch eine homogene Geradengleichung a_1\cdot x_1 + a_2\cdot x_2 + a_3\cdot x_3=0, (a_1,a_2,a_3)\in K^3\setminus \{(0,0,0)\} beschreiben. Der Koordinatenvektor der Geraden (Geradenkoordinaten) ist also (a_1,a_2,a_3). Einem Punkt mit den projektiven Punktkoordinaten (a_1,a_2,a_3) wird die Gerade mit den homogenen Geradenkoordinaten (a_1,a_2,a_3) zugeordnet und umgekehrt. Die Abbildung rechts zeigt die Zuordnungen für die in diesem Artikel getroffene Wahl der Punktbasis: Die Punkte unten im Bild werden durch diese Korrelation den Geraden, die direkt über ihnen stehen, zugeordnet, die Geraden dem direkt unter ihnen stehenden Punkt. Zum Beispiel wird der 3. Basispunkt 001, der rechte untere Eckpunkt des Dreiecks, der Geraden mit der Gleichung x_3=0 (der linken Dreieckseite) zugeordnet  \left( 001^d=\langle 010, 100\rangle\right), die Höhe durch die obere Spitze mit der Gleichung x_1+x_3=0 ihrem Höhenfußpunkt 101.

Im Bild rechts stellen die Strecken in der Mitte zwischen den rot hervorgehobenen Geraden und Punkten die Inzidenzrelation dar, die durch die Dualisierung umgekehrt wird: P\text{I}g \Leftrightarrow g^d \text{I} P^d, bzw. mengentheoretisch P\in g \Leftrightarrow g^d \in P^d, im Vektorraummodell P< g \Leftrightarrow g^d <P^d, wobei das Kleinerzeichen für „ist linearer Teilraum von“ steht.

Kollineationsgruppe[Bearbeiten]

Die Automorphismengruppe \Gamma der Fano-Ebene ist die Gruppe ihrer Kollineationen; sie stimmt mit der Gruppe ihrer Projektivitäten \operatorname{PGL}(3,\Z / 2\Z)=\operatorname{PGL(3,2)} überein, da der zweielementige Primkörper \Z / 2\Z keine nichtidentischen Körperautomorphismen zulässt. Sie operiert scharf transitiv auf den geordneten nichtkollinearen Punktetripeln und hat daher die Ordnung 7\cdot 6 \cdot 4 = 168, die gleiche Ordnung ergibt sich aus der Formel \# \operatorname{PGL}(3,\Z / 2\Z)=\# \operatorname{GL}(3,\Z / 2\Z)=(2^3-1)\cdot (2^3-2)\cdot (2^3-4) für die Ordnung der allgemeinen linearen Gruppe. Sie ist nichtabelsch und einfach (d. h. sie hat nur die trivialen Normalteiler).

Bei den folgenden, gruppentheoretischen Betrachtungen wird \Gamma als Gruppe von Permutationen ihrer Punkte, also als Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_7 dargestellt. Dabei wird vereinbart, dass Permutationen von links auf Zahlen operieren, das heißt es gilt (\pi_1\cdot\pi_2)(n)=\pi_1(\pi_2(n)) und z. B. (1,2,3)(1)=2. In der Sprache der Geometrie sind zwei Projektivitäten \pi_1,\pi_2 genau dann zueinander konjugiert, wenn \pi_2 bezüglich einer geeigneten Punktbasis die gleiche Darstellung wie \pi_1 bezüglich unserer Ausgangsbasis (als lineare Abbildung) hat. In der Permutationsdarstellung heißt das, die Ebene kann nach dem oben beschriebenen „binären“ System so umnummeriert werden, dass \pi_2 die Permutationsdarstellung von \pi_1 annimmt. Zwei Permutationen sind in der S_7 genau dann konjugiert, wenn sie gleichartige Darstellungen als Produkte von disjunkten Zyklen haben, diese Bedingung ist also auch in \Gamma notwendig, sie erweist sich dort auch − außer für die Elemente der Ordnung 7, die in zwei Konjugationsklassen zerfallen − als hinreichend.

2-Gruppen und Perspektivitäten[Bearbeiten]

Fano-Ebene: Für eine übersichtliche Darstellung der Kollineationen als Zahlpermutationen sind hier die binären Koordinaten aus der zweiten Abbildung ins Dezimalsystem umgerechnet.
Beispiel für eine Projektivität der Ordnung 4
  • Zu jeder der 7 Geraden a existiert eine Gruppe von ebenen Perspektivitäten \Gamma_a mit a als Achse. Hat eine a-Perspektivität einen weiteren Fixpunkt außerhalb der Achse, dann ist sie die Identität, da jede Gerade nur drei Punkte hat. Daher haben alle nichtidentischen Perspektivitäten ihr Zentrum Z auf der Achse und vertauschen die beiden Punkte, die außer Z jeweils auf den beiden von der Achse a verschiedenen Geraden durch Z liegen:
    • Die Gruppe der Perspektivitäten mit Achse a=\{1,2,3\} und Zentrum Z=1 ist \Gamma_{(Z,a)}=\{ \operatorname{id}, (4,5)(6,7)\}, eine zyklische Gruppe mit zwei Elementen vom Isomorphietyp C_2.
  • Alle 7\cdot 3=21 Perspektivitätengruppen \Gamma_{(Z,a)} mit fester Achse a (7 Geraden) und festem Zentrum Z\in a (je 3 Punkte) sind isomorph zu der im Beispiel genannten und also zu C_2. Diese Gruppen sind in \Gamma zueinander konjugiert, die Menge dieser zweielementigen Gruppen ist zu sich selbst dual. Die 21 nichttrivialen Elemente dieser Gruppen erzeugen die \operatorname{PGL}(3,2), denn sie bilden gerade die Menge aller nichtidentischen Perspektivitäten. Daher ist diese Automorphismengruppe eine Untergruppe der alternierenden Gruppe A_7 und zählt zu den Coxeter-Gruppen, da sie von Elementen der Ordnung 2 („Spiegelungen“) erzeugt wird.
  • Jede Projektivität in \Gamma\subset A_7 der Ordnung 2 hat eine Permutationsdarstellung (k_1,k_2)(k_3,k_4) als Element der A_7, wobei die vier verschiedenen Zahlen k_j für die Punkte eines vollständigen Vierecks stehen. Daher ist jede solche Projektivität der Ordnung 2 die nichttriviale Perspektivität mit Achse a=\mathfrak{P}\setminus \{k_1,k_2,k_3,k_4\} und Zentrum Z\in k_1 k_2\cap k_3 k_4 und alle diese Perspektivitäten sind zueinander konjugiert.
  • Die Gruppe der Perspektivitäten mit Achse a=\{1,2,3\} ist \Gamma_a=\Gamma_{(1,a)}\cup \Gamma_{(2,a)}\cup \Gamma_{(3,a)} also \Gamma_a=\{\operatorname{id}, (4,5)(6,7), (4,6)(5,7), (4,7)(5,6) \} diese vierelementige Gruppe ist isomorph zur kleinschen Viergruppe C_2\times C_2, einer elementar abelschen 2-Gruppe.
  • Alle 7 Perspektivitätenuntergruppen \Gamma_a mit fester Achse a sind konjugiert zu \Gamma_{\{1,2,3\}} und also isomorph zu C_2\times C_2. Eine solche Gruppe \Gamma_a stellt zugleich in der längs a geschlitzten Ebene, dem Minimalmodell einer affinen Ebene, die Dilatationsgruppe und in diesem Fall zugleich die Translationsgruppe dar. Dies zeigt auch ohne Nachrechnen mit den Permutationen, dass (\Gamma_a, \circ) \cong ((\Z /2 Z)^2,+) gelten muss.
  • Die genannten Perspektivitätenuntergruppen \Gamma_a mit fester Achse a sind dual, aber nicht konjugiert zu 7 verschiedenen Perspektivitätenuntergruppen \Gamma_Z mit festem Zentrum Z. Jede solche Gruppe ist also ebenfalls zur C_2\times C_2 isomorph, jede Gerade durch Z ist eine Fixgerade der Gruppe. Ein Beispiel ist \Gamma_1=\Gamma_{(1,\{1,2,3\})}\cup \Gamma_{(1,\{1,4,5\})}\cup \Gamma_{(1,\{1,6,7\})}, also \Gamma_1=\{\operatorname{id}, (4,5)(6,7), (2,3)(6,7), (2,3)(4,5) \}.
  • Das Erzeugnis \Gamma_Z \or \Gamma_a ist für Z\in a eine 2-Sylow-Untergruppe von \Gamma mit 8 Elementen. Alle 21 2-Sylow-Untergruppen von \Gamma sind zueinander konjugiert, isomorph zu der Diedergruppe D_4. Ein Beispiel ist die Untergruppe \Gamma_1 \or \Gamma_{\{1,2,3\}}=\langle (2,3)(4,7,5,6),(4,7)(5,6) \rangle, einer ihrer hier genannten Erzeuger ist rechts graphisch dargestellt.
  • Alle 42 Elemente der Ordnung 4 in \Gamma sind konjugiert zu g_4=(2,3)(4,7,5,6), dem in der Abbildung rechts dargestellten Erzeuger von \Gamma_1 \or \Gamma_{\{1,2,3\}}. Sie sind also keine Perspektivitäten, bestehen alle aus einem 4-Zyklus z_4\in S_7\setminus \Gamma, der vier Punkte in allgemeiner Lage zyklisch vertauscht und einer Transposition von 2 der drei übrigen Punkte, die auf einer Geraden a liegen. Die Transposition ist dadurch bestimmt, dass sie das Zentrum der Perspektivität {z_4}^2 fix lässt. In unserem Beispiel ist 1 das Zentrum von {z_4}^2={g_4}^2=(4,5)(6,7) und also auch der Fixpunkt von g_4.

3-Gruppen und die Affinitätengruppe[Bearbeiten]

  • Sind Z_1,Z_2,Z_3 die Punkte auf einer Geraden, so erzeugen zwei der Perspektivitätsgruppen \Gamma_{Z_j} zusammen eine Untergruppe \Gamma(Z_1,Z_2,Z_3) von \Gamma mit 24 Elementen. Zum Beispiel ist \Gamma(1,2,3)=\Gamma_1 \lor \Gamma_2=\Gamma_1\lor \Gamma_3, als Erzeugnis von Perspektivitäten \Gamma(1,2,3)=\langle (2,3)(6,7),(4,6)(5,7),(1,3)(4,6)\rangle, das Produkt dieser drei Erzeugenden ist das Element g_3=(1,2,3)(5,6,7), ein Element der Ordnung 3. Dieses Element ist bereits in \Gamma(1,2,3) zu seinem inversen {g_3}^{-1} konjugiert, daher enthält \Gamma(1,2,3) eine zur Diedergruppe D_3 isomorphe Untergruppe. Als Untergruppe mit 24 Elementen enthält \Gamma(1,2,3) drei der 2-Sylowgruppen der Kollineationsgruppe mit 8 Elementen: \Gamma_k \or \Gamma_{\{1,2,3\}}<\Gamma(1,2,3) für k\in \{1,2,3\}.
  • Die Gruppe \Gamma(1,2,3) ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S_4, denn sie bildet die Gerade a= \{1,2,3\} als Fixgerade auf sich ab und operiert daher treu auf der längs a geschlitzten Ebene als Gruppe von Affinitäten. Die volle Affinitätengruppe der affinen Ebene mit 4 Punkten ist aber gerade die S_4.
  • Alle 56 Elemente der Ordnung 3 sind zueinander konjugiert und zu g_3, sie haben also immer die Form eines Produktes aus zwei disjunkten 3-Zyklen, wobei der eine Zyklus kollineare Punkte enthält, der andere 3 der vier nicht kollinearen Punkte außerhalb der durch den ersten Zyklus bestimmten Geraden.
  • Jede der 28 3-Sylowgruppen der Gruppenordnung 3 wird von einem der genannten Elemente der Ordnung 3 erzeugt.

7-Gruppen und kleine Erzeugendensysteme[Bearbeiten]

Eine Projektivität der Ordnung 7 aus der 2. Konjugationsklasse
Eine Projektivität der Ordnung 7 aus der 1. Konjugationsklasse
  • In \Gamma existieren genau 48 Projektivitäten der Ordnung 7, die jeweils als ein 7-Zyklus darstellbar sind.
  • Jedes dieser Gruppenelemente erzeugt eine 7-Sylowgruppe von \Gamma vom Isomorphietyp C_7, die insgesamt 6 7-Zykeln enthält. Zwei verschiedene dieser 7-Sylowgruppen schneiden sich in der trivialen Gruppe, daher existieren genau 8 Untergruppen dieses Typs.
  • Die Menge der 7-Zykeln zerfällt in \Gamma in zwei Konjugationsklassen mit je 24 Elementen.
  • Jeder 7-Zyklus c ist durch beliebige vier Punkte A_1,A_2,A_3,A_4, die er in dieser Reihenfolge aufeinander abbildet \left( c(A_1)=A_2,c(A_2)=A_3, c(A_3)=A_4 \right) vollständig bestimmt, wobei A_1,A_2,A_3 nicht kollinear sind und A_4 stets
  1. entweder auf der Verbindungsgerade A_1 A_2 (erste Konjugationsklasse)
  2. oder auf der Verbindungsgerade A_1 A_3 (zweite Konjugationsklasse) liegt.
  • Ist c ein Element der Ordnung 7 (7-Zyklus), dann ist c^n genau dann konjugiert zu c, wenn n ein Quadratischer Rest modulo 7 ist, das heißt c^1,c^2,c^4 liegen in der gleichen Konjugationsklasse wie c und c^3,c^5,c^6 in der anderen.
  • Die von einem 7-Zyklus erzeugte zyklische Kollineationsgruppe ist ein Singer-Zyklus, daher existiert für jeden 7-Zyklus eine Bijektion („Umnummerierung“) \mathfrak{P}\rightarrow \{0,1,2,3,4,5,6\} der Punktmenge, nach der die umnummerierte Fano-Ebene von der Differenzenmenge \mathcal{D}_2=\{1,2,4\} abstammt.[3]
  • Sind c_1,c_2 zwei Projektivitäten der Ordnung 7, dann gilt nach den Sylowsätzen und da \Gamma einfach ist: \langle c_1, c_2\rangle=\langle c_1\rangle oder \langle c_1, c_2\rangle=\Gamma. Das heißt, die Automorphismengruppe wird von zwei geeignet gewählten 7-Zykeln erzeugt, zum Beispiel: \Gamma=\langle c_1, c_2 \rangle mit  c_1=(1,4,6,5,2,3,7), c_2=(1,4,2,5,6,7,3).
  • Jeder 7-Zyklus ist als Komposition von genau drei verschiedenen, nichtidentischen Perspektivitäten darstellbar. Für die beiden Zyklen c_1,c_2 aus der vorigen Aussage ist c_1=t_1\cdot t_2 \cdot t_3 bzw. c_2=t_1\cdot t_3 \cdot t_2 mit den Perspektivitäten t_1=(1,4)(2,7),\, t_2=(1,2)(5,6),\, t_3=(2,6)(3,7).
  • Daraus folgt: \Gamma=\langle t_1,\,t_2,\,t_3\rangle als Erzeugnis von drei Perspektivitäten und \Gamma=\langle t_1,\,t_2\cdot t_3\rangle[4] als Erzeugnis einer Perspektivität und einer Projektivität der Ordnung 4.

Literatur[Bearbeiten]

Allgemein[Bearbeiten]

  •  Peter Dembowski: Finite geometries. Reprint of the 1968 Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/Singapore/Tokyo/New York/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Milan/Paris/Santa Clara 1997, ISBN 3-540-61786-8.
  •  Jacobus Hendricus van Lint, Richard M. Wilson: A Course in Combinatorics. Nachdruck der 2. Auflage. Cambridge Univ. Press, Cambridge u.a. 2004, ISBN 0-521-00601-5, S. 225, 237-239 (Auszug in der Google-Buchsuche).
  •  T. Pisanski, M. Randić: Bridges between Geometry and Graph Theory. In: C. A. Gorini (Hrsg.): Geometry at Work. A Collection of Papers Showing Applications of Geometry. Math. Assoc. Amer., Washington, DC 2000, S. 174-194.

Anwendungen der Fano-Ebene auf mathematische Rätsel[Bearbeiten]

  •  David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. 1. Auflage. Penguin, London 1986, ISBN 0-14-008029-5 (Recreational mathematics, elementary number theory).

Zu den gruppentheoretischen Aussagen[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Dembowski (1968), Kapitel 1
  2. Die Inzidenzrelation \text{I} ist nach Definition wie in jeder projektiven Ebene symmetrisch, daher ist \text{I}=\text{I}^{-1} und (\mathfrak{G}, \mathfrak{P},\text{I}^{-1})=(\mathfrak{G}, \mathfrak{P},\text{I})
  3. Man wähle zu dem 7-Zyklus c diejenige der Potenzen \gamma\in\{ c^1,c^{-1}\}, die in der ersten Konjugationsklasse liegt, dann gibt es eine solche Bijektion \beta: \mathfrak{P}\rightarrow \{0,1,2,3,4,5,6\}, durch die \beta(\gamma)=(1,2,3,4,5,6,0) wird.
  4. Beachte, dass alle Perspektivitäten involutorisch sind und daher (t_2\cdot t_3)^{-1}=t_3\cdot t_2 ist.