Diracmaß

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Ein Diracmaß, benannt nach dem Physiker Paul Dirac, ist ein Maß in der Maßtheorie mit einelementigem Träger. Das Diracmaß ist die Verteilung einer fast sicher konstanten Zufallsvariable und spielt eine Rolle als Formalisierung des Begriffes der Delta-Distribution.

Es sei ein messbarer Raum gegeben, also eine Grundmenge zusammen mit einer darauf definierten σ-Algebra . Zu jedem Punkt wird eine zugehörige Abbildung definiert, die jeder Menge den Wert zuordnet, wenn sie enthält, und den Wert , wenn sie nicht enthält:

Die Abbildung ist dann ein Maß und wird Diracmaß oder Punktmaß im Punkt genannt. Wegen ist sogar ein Wahrscheinlichkeitsmaß und ein Wahrscheinlichkeitsraum. Damit lässt sich die Dirac-Verteilung definieren. Beim Diracmaß ist die Einheitsmasse im Punkt konzentriert. Es folgt, dass das Maß endlich ist, insbesondere ist der Maßraum σ-endlich.

Mit Hilfe der charakteristischen Funktion kann man die definierende Gleichung auch durch

für alle und ausdrücken.

Eigenschaften des Dirac-Maßes

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sei das Dirac-Maß, das auf einem festen Punkt in einem messbaren Raum zentriert ist.

Angenommen, dass ein topologischer Raum ist und dass mindestens so fein wie die borelsche -Algebra auf ist, dann gilt:

  • ist ein streng positives Maß dann und nur dann, wenn die Topologie so ist, dass innerhalb jeder nichtleeren offenen Menge liegt, z. B. im Fall der trivialen Topologie .
  • Da ein Wahrscheinlichkeitsmaß ist, ist es auch ein lokal endliches Maß.
  • Wenn ein topologischer Hausdorff-Raum mit seiner borelschen -Algebra ist, dann erfüllt die Eigenschaft, ein inneres reguläres Maß zu sein, da Einermengen wie immer kompakt sind. Folglich ist auch ein Radon-Maß.
  • Unter der Annahme, dass die Topologie fein genug ist, dass abgeschlossen ist (was in den meisten Anwendungen der Fall ist), ist der Träger von gleich . (Andernfalls ist der Abschluss von in .) Außerdem ist das einzige Wahrscheinlichkeitsmaß, dessen Träger ist.
  • Wenn der -dimensionale euklidische Raum mit seiner üblichen -Algebra und -dimensionalem Lebesgue-Maß ist, dann ist ein singuläres Maß in Bezug auf : Man zerlege einfach in und und stelle fest, dass .
  • Das Dirac-Maß ist ein -endliches Maß.

Das Dirac-Integral der Funktion ist definiert als das Lebesgue-Integral bezüglich des Dirac-Maßes. Anstelle des Lebesgue-Maßes wird zur Berechnung des Integrals das Dirac-Maß verwendet. Damit ergibt sich für das Integral einer beliebigen Funktion :

Die Abbildung sei eine nicht-negative messbare Funktion. Das Lebesgue-Integral der Funktion bezüglich des Dirac-Maßes ist durch

definiert, wobei eine beliebige Folge nichtnegativer einfacher Funktionen ist, die punktweise und monoton wachsend gegen konvergiert. Eine einfache Funktion ist eine messbare Funktion, die nur endlich viele Funktionswerte annimmt. sei die Anzahl der Funktionswerte ; seien die (messbaren) Mengen, auf der die Funktion jeweils den Wert annimmt. Das Integral einer einfachen Funktion ist damit folgendermaßen definiert:

Ist , dann ist erst recht nicht Element irgendeiner der Teilmengen . Dann ist auch das Dirac-Maß von allen gleich null. Folglich ist das Integral über insgesamt gleich null.

Ist für irgendein , so ist das Dirac-Maß von gleich ; das Dirac-Maß für alle anderen Mengen ist dann gleich null. Für das Integral der einfachen Funktionen ergibt sich somit:

Also ist das Dirac-Integral gleich dem Funktionswert an der Stelle , wenn ist.

Eine andere Beweisführung erfolgt so:

Für alle und gilt

Als einelementige Teilmenge von ist . Urbilder messbarer Mengen sind messbar. Also ist und dementsprechend auch die Mengen, über die oben integriert wird.

Falls , so ist auch eine Integration über und möglich.