Ebene kristallographische Gruppe

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Die ebenen kristallographischen Gruppen sind die Symmetriegruppen von periodischen Mustern oder Parkettierungen der euklidischen Ebene. Es gibt genau 17 solche Gruppen. Ihnen entsprechen im dreidimensionalen Raum die 230 kristallographischen Raumgruppen.

Im Sinne der Gruppentheorie bestehen die Gruppen aus der Menge aller Kongruenzabbildungen, die das Muster auf sich selbst abbilden, zusammen mit der Komposition von Abbildungen als Gruppenoperation.

Alle 17 Symmetrieformen kommen in den Arabesken in der Alhambra in Spanien vor.

Symmetrieelemente[Bearbeiten]

Ein periodisches Muster kann Kombinationen der folgenden elementaren Symmetrieelemente aufweisen:

  1. Translation (Verschiebung)
  2. Achsenspiegelung
  3. Gleitspiegelung, also eine Kombination aus Translation und Achsenspiegelung
  4. Rotation
    • 2-zählig, also eine Drehung um 180° bzw. eine Punktspiegelung
    • 3-zählig, also eine Drehung um 120°
    • 4-zählig, also eine Drehung um 90°
    • 6-zählig, also eine Drehung um 60°

Andere Drehungen als die aufgezählten sind unmöglich. Das liegt daran, dass (abgesehen von der zweizähligen Drehung) zu jeder Symmetriegruppe eine periodische Parkettierung der Ebene mit regelmäßigen Vielecken entsprechender Zähligkeiten gehört. Und eine Parkettierung mit beispielsweise Fünfecken ist unmöglich, weil aufgrund der Innenwinkelsumme sich ein Innenwinkel von 108° ergibt, so dass eine derartige Parkettierung an den Ecken nicht aufgehen würde. In nichteuklidischen Geometrien hingegen sind auch Symmetriegruppen mit anderen Zähligkeiten möglich.

Eine 4-zählige Rotationssymmetrie impliziert natürlich eine 2-zählige, genauso wie eine 6-zählige sowohl eine 3-zählige als auch eine 2-zählige impliziert. Es wird normalerweise für jedes Rotationszentrum jeweils nur der höchste Wert angegeben.

Jedes periodische Muster kann erzeugt werden, indem auf eine beschränkte Elementarzelle diese Operationen immer wieder angewandt werden, bis die gesamte Ebene parkettiert ist. Per Definition enthält die Symmetriegruppe eines periodischen Musters immer zwei linear unabhängige Translationen. Dadurch ist es auch möglich, allein durch wiederholte Verschiebung einer translativen Zelle das gesamte Muster zu erzeugen. Die translative Zelle enthält dabei eine oder mehrere Kopien der elementaren Zelle.

Notation[Bearbeiten]

Orbifold-Notation[Bearbeiten]

Die Eigenschaften einer Symmetriegruppe können auch durch die sogenannte Orbifold-Notation beschrieben werden.

  • Ziffern n (2, 3, 4, 6) bezeichnen ein n-zähliges Rotationszentrum.
  • Ein ∗ steht für eine Spiegelachse.
    • Ziffern, die vor einem ∗ stehen, liegen abseits der Spiegelachsen
    • Ziffern, die nach einem ∗ stehen, liegen auf den Spiegelachsen
  • Ein × steht für eine Gleitspiegelung.
  • Ein ∘ steht für keine Symmetrien abgesehen von den Translationen
  • Die in jeder Gruppe vorkommenden Translationen werden nicht explizit notiert.

Kurzübersicht[Bearbeiten]

Gruppe Orbifold-Notation Translationszelle (z.B.) Elementarzellen in minimaler Translationszelle
p1 ∘1 Parallelogramm 1
p2 2222 Parallelogramm 2
pm ** Rechteck 2
pg ×× Rechteck 2
cm ∗× Raute 2
pmm ∗2222 Rechteck 4 Rechtecke
pmg 22∗ Rechteck 4
pgg 22× Rechteck 4
cmm 2∗22 Raute 4
p4 442 Quadrat 4
p4m ∗442 Quadrat 8 rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke
p4g 4∗2 Quadrat 8
p3 333 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 3
p3m1 ∗333 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 6 gleichseitige Dreiecke
p31m 3∗3 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 6
p6 632 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 6
p6m ∗632 Raute aus zwei gleichseitigen Dreiecken 12 rechtwinklige Dreiecke mit einem Kathetenverhältnis von 2:1

Liste[Bearbeiten]

Die in den Strukturdiagrammen angegebenen Elemente sind wie folgt gekennzeichnet:

Wallpaper group diagram legend rotation2.svg Zentrum einer zweizähligen Rotation (180°).
Wallpaper group diagram legend rotation3.svg Zentrum einer dreizähligen Rotation (120°).
Wallpaper group diagram legend rotation4.svg Zentrum einer vierzähligen Rotation (90°).
Wallpaper group diagram legend rotation6.svg Zentrum einer sechszähligen Rotation (60°).
Wallpaper group diagram legend reflection.svg Spiegelachse.
Wallpaper group diagram legend glide reflection.svg Gleitspiegelachse.

Dabei sind unterschiedliche Äquivalenzklassen der Elemente durch unterschiedliche Farben und Drehungen gekennzeichnet.

Die gelb markierten Fläche kennzeichnet eine Elementarzelle, der gesamte abgebildete Bereich eine translative Zelle.

Gruppe p1[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
Klassen von Symmetrieelementen in p1

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p1“ Struktur der Gruppe „p1“

  • Orbifold-Notation: ∘1.
  • Diese Gruppe besitzt nur Verschiebung als einzige Form der Symmetrie.


Gruppe p2[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
4
Klassen von Symmetrieelementen in p2

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p2“ Struktur der Gruppe „p2“

  • Orbifold-Notation: 2222.
  • Diese Gruppe hat vier Klassen von Punktspiegelzentren. Diese zweizählige Drehung ist neben der Translation die einzige Symmetrieform.


Gruppe pm[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
2
Klassen von Symmetrieelementen in pm

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „pm“ Struktur der Gruppe „pm“

  • Orbifold-Notation: ∗∗.
  • Diese Gruppe hat zwei zueinander parallele Spiegelachsen. Es existiert keine Rotationssymmetrie.


Gruppe pg[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
2
Klassen von Symmetrieelementen in pg

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „pg“ Struktur der Gruppe „pg“

  • Orbifold-Notation: ××.
  • Diese Gruppe besitzt zwei zueinander parallele Gleitspiegelachsen. Es existiert keine Rotationssymmetrie.


Gruppe cm[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
1 1
Klassen von Symmetrieelementen in cm

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „cm“ Struktur der Gruppe „cm“

  • Orbifold-Notation: ∗×.
  • Diese Gruppe hat parallel zueinander abwechselnd Spiegelachsen und Gleitspiegelachsen.


Gruppe pmm[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
4 4
Klassen von Symmetrieelementen in pmm

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „pmm“ Struktur der Gruppe „pmm“

  • Orbifold-Notation: ∗2222.
  • Diese Gruppe zeichnet sich durch aufeinander senkrecht stehende Spiegelachsen aus. An dem Schnittpunkt zweier Spiegelachsen ergeben sich zweizählige Drehzentren. Es gibt insgesamt vier Klassen von Drehzentren und vier Klassen von Spiegelachsen.


Gruppe pmg[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
2 1 2
Klassen von Symmetrieelementen in pmg

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „pmg“ Struktur der Gruppe „pmg“

  • Orbifold-Notation: 22∗.
  • Hier gibt es eine einzelne Klasse von Spiegelachsen sowie senkrecht dazu zwei verschiedene Klassen von Gleitspiegelachsen, auf denen sich zweizählige Drehzentren ergeben.


Gruppe pgg[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
2 2
Klassen von Symmetrieelementen in pgg

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „pgg“ Struktur der Gruppe „pgg“

  • Orbifold-Notation: 22×.
  • Diese Gruppe hat keine einfache Achsensymmetrie, jedoch zwei zueinander senkrechte Gleitspiegelachsen, sowie zwei Klassen von Punktspiegelzentren.


Gruppe cmm[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
3 2 2
Klassen von Symmetrieelementen in cmm

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „cmm“ Struktur der Gruppe „cmm“

  • Orbifold-Notation: 2∗22.
  • Diese Gruppe enthält zwei Klassen von Spiegelachsen, die aufeinander senkrecht stehen, mit zweizähligen Drehzentren an den Schnittpunkten. Eine zusätzliche Klasse von zweizähligen Drehzentren liegt abseits der Spiegelachsen. Dies führt auch zu zwei Klassen von Gleitspiegelachsen.


Gruppe p4[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
1 2
Klassen von Symmetrieelementen in p4

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p4“ Struktur der Gruppe „p4“

  • Orbifold-Notation: 442.
  • Diese Gruppe weist keine Form von Achsensymmetrie auf. Erkennungsmerkmal sind vierzählige Rotationen, zu denen es zwei Klassen von Zentren gibt. Dazwischen ergeben sich zweizählige Drehzentren.


Gruppe p4m[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
1 2 3 1
Klassen von Symmetrieelementen in p4m

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p4m“ Struktur der Gruppe „p4m“

  • Orbifold-Notation: ∗442.
  • Diese Gruppe wird auch als p4mm bezeichnet.


Gruppe p4g[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
1 1 1 2
Klassen von Symmetrieelementen in p4g

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p4g“ Struktur der Gruppe „p4g“

  • Orbifold-Notation: 4∗2.
  • Diese Gruppe wird auch als p4gm bezeichnet.


Gruppe p3[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
3
Klassen von Symmetrieelementen in p3

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p3“ Struktur der Gruppe „p3“

  • Orbifold-Notation: 333.


Gruppe p3m1[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
3 1 1
Klassen von Symmetrieelementen in p3m1

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p3m1“ Struktur der Gruppe „p3m1“

  • Orbifold-Notation: ∗333.


Gruppe p31m[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
2 1 1
Klassen von Symmetrieelementen in p31m

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p31m“ Struktur der Gruppe „p31m“

  • Orbifold-Notation: 3∗3.


Gruppe p6[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
1 1 1
Klassen von Symmetrieelementen in p6

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p6“ Struktur der Gruppe „p6“

  • Orbifold-Notation: 632.


Gruppe p6m[Bearbeiten]

Rotationen Achsen
2 3 4 6 Spiegel- Gleitspiegel-
1 1 1 2 2
Klassen von Symmetrieelementen in p6m

Beispielornament und Diagramm der Gruppe „p6m“ Struktur der Gruppe „p6m“

  • Orbifold-Notation: ∗632.
  • Diese Gruppe wird auch als p6mm bezeichnet.


Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Branko Grünbaum, G. C. Shephard: Tilings and Patterns. Freeman, New York 1987, ISBN 0-7167-1193-1.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Symmetrie – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
  • morenaments euc, Java Applet und Application. Behält gezeichnete Linienzüge beim Wechsel der Gruppe bei.
  • Escher Web Sketch, Java Applet. Erlaubt neben dem Freihandzeichnen auch die Benutzung einzelner anderer Objekte.