Einsteinkoeffizienten

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Dargestellt sind die beiden Energieniveaus E_1 und E_2, die spontane Emission (A) sowie die Absorption und induzierte Emission (B)

In Einsteins Ratenbild werden die Einsteinkoeffizienten B12, B21 und A21 zur Berechnung der spontanen und stimulierten (induzierten) Emission und der Absorption verwendet. Sie finden neben der statistischen Physik u. a. in der Spektroskopie und in der Laserphysik Anwendung und wurden 1916 von Albert Einstein eingeführt.

Einstein unterscheidet im Strahlungsgleichgewicht drei Prozesse:

Im Folgenden bezeichnen wir den Grundzustand als Zustand 1 und den angeregten Zustand als Zustand 2. Die Wahrscheinlichkeit der drei Prozesse hängt offensichtlich von der Anzahl N_i der Atome im ausgehenden Zustand ab. Daneben hängen die stimulierten Prozesse von der Besetzung der Moden des elektromagnetischen Feldes ab (spektrale Strahldichte u). Einstein führte die Koeffizienten B12, B21 und A21 als zunächst unbestimmte Proportionalitätskonstanten ein, sodass

  • die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Absorption durch B_{12} \cdot N_1 \cdot u
  • die Wahrscheinlichkeit der stimulierten Emission durch B_{21}\cdot N_2 \cdot u und
  • die Wahrscheinlichkeit der spontanen Emission durch A_{21}\cdot N_2

gegeben ist.

Die Zunahme der Teilchenanzahl im Grundzustand und die Abnahme der Teilchenzahl im angeregten Zustand ist dann gegeben durch:

\frac{dN_1}{dt} = - \frac{dN_2}{dt} = - N_1 \cdot B_{12} \cdot u + N_2 \cdot B_{21} \cdot u + N_2 \cdot A_{21}

Im thermodynamischen Gleichgewicht ist diese Summe null:

\frac{dN_1}{dt} = 0 \Rightarrow \frac{N_2}{N_1} = \frac{B_{12} \cdot u}{A_{21} + B_{21} \cdot u }

Aus der Boltzmann-Verteilung weiß man, dass die Besetzung der Zustände mit ihren Energien wie folgt zusammenhängen:

\frac{N_2}{N_1} = \frac{g_2}{g_1} \cdot \frac{e^{-E_2/(k_B \cdot T)}}{e^{-E_1/(k_B \cdot T)}} = \frac{g_2}{g_1} \cdot e^{-\Delta E/(k_B \cdot T)} \, ,

wobei die g_i die Gewichte der Entartung darstellen. Gleichsetzen und Auflösen nach der spektralen Strahlungsdichte liefert:

u = \frac{A_{21}}{B_{21}} \cdot \frac{1}{\frac{B_{12}}{B_{21}} \frac{g_1}{g_2} \cdot e^{\Delta E/(k_B \cdot T)} - 1}

Durch Koeffizientenvergleich mit dem Planckschen Strahlungsgesetz oder dem Rayleigh-Jeans-Gesetz – bei letzterer unter Verwendung der Grenzbedingungen und einer Reihenentwicklung der Exponentialfunktion – erhält man folgende Beziehungen zwischen den drei Einsteinkoeffizienten:

g_1 \cdot B_{12} = g_2 \cdot B_{21} \qquad  B_{21} = A_{21} \cdot \frac{\lambda^3}{8 \pi h}

mit

Sind die Zustände nicht entartet, also g_1 = g_2 = 1, so ist  B_{12} = B_{21} =: B.

Die Lebensdauer des angeregten Zustands, also die durchschnittliche Dauer, bis ein Atom ohne äußere Einwirkung durch spontanen Zerfall in den Grundzustand übergeht, beträgt

\tau = \frac{1}{A_{21}}.

Der Einsteinkoeffizient A21 ist eine Eigenschaft des Übergangs und stoffspezifisch.

Die Einsteinkoeffizienten sind von der Temperatur unabhängig. Die Temperaturabhängigkeit der Energieverteilung der Wärmestrahlung ist eine Folge der unterschiedlichen Besetzungswahrscheinlichkeiten N1 und N2 in Abhängigkeit von der Temperatur, die in der Regel durch die Boltzmann-Verteilung beschrieben wird.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • A. Einstein: Zur Quantentheorie der Strahlung. Physikalische Zeitschrift 18 (1917) 121-128; Zuerst abgedruckt in den Mitteilungen der Physikalischen Gesellschaft Zürich 18 (1916)
  • Ausführliche Herleitung: H. Haken/H.C. Wolf: Atom- und Quantenphysik, 8. Auflage, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York, 2004, ISBN 3540026215, S.59, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche