Fehlerfunktion

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Graph der Fehlerfunktion

Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet man in der Theorie der Speziellen Funktionen das Integral

\operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^x e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau.

Für ein reelles Argument x ist erf eine reellwertige Funktion; zur Verallgemeinerung auf komplexe Argumente siehe unten.

Die Fehlerfunktion ist eine Sigmoidfunktion und findet Anwendung in der Statistik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und hängt eng mit dem Fehlerintegral zusammen.

In der Approximationstheorie bezeichnet Fehlerfunktion außerdem die Differenz zwischen einer Funktion und ihrer besten Approximation.

Bezeichnungen[Bearbeiten]

Die Bezeichnung \textrm{erf}(x) kommt von error function. Die komplementäre (bzw. konjugierte) Fehlerfunktion \operatorname{erfc}(x) ist gegeben durch:

\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_x^\infty e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau.

Die verallgemeinerte Fehlerfunktion \operatorname{erf}(a,b) wird durch das Integral:

\operatorname{erf}(a,b) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_a^b e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau

definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Es gilt \operatorname{erf}(a,b)=\operatorname{erf}(b)-\operatorname{erf}(a).

Die Fehlerfunktion ist ungerade:

\operatorname{erf} (-x) = -\operatorname{erf} (x).

Verwendung[Bearbeiten]

Verwandtschaft mit der Normalverteilung[Bearbeiten]

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Sie hat jedoch eine Zielmenge von (-1,1), während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich [0,1] annehmen muss.

Es gilt für die Standardnormalverteilung

\Phi(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac x{\sqrt 2}\right)\right)

bzw. für die Verteilungsfunktion F einer beliebigen Normalverteilung mit Standardabweichung \sigma und Erwartungswert \mu

F(x) = \frac 12\left(1+\operatorname{erf}\left(\frac{x-\mu}{\sigma\sqrt 2}\right)\right).

Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer Messreihe vom gemeinsamen Mittelwert durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung \sigma und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist \textstyle \operatorname{erf}\left(\frac a{\sigma \sqrt 2}\right) die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler einer einzelnen Messung zwischen -a und +a liegt (für positives a).

Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der Inversionsmethode normalverteilte Pseudozufallszahlen zu generieren.[1]

Wärmeleitungsgleichung[Bearbeiten]

Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vor, wenn Randwertbedingungen durch die Heaviside-Funktion vorgegebenen sind.

Numerische Berechnung[Bearbeiten]

Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

\operatorname{erf}(x) 
= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)n!}
= \frac {2}{\sqrt{\pi}}\left(
   x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{10} - \frac{x^7}{42} + \frac{x^9}{216} - \dotsb \right),

für große reelle Werte mit der Kettenbruch­entwicklung

\operatorname{erf}(x)
= 1 - \frac{e^{-x^2}}{\sqrt\pi\left(x + \frac 1{2x + \frac 2{x + \frac 3{2x + \frac 4{x + \dotsb}}}}\right)}.

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von 1{,}2\cdot10^{-7}:[2]

\operatorname{erf}(x)=\begin{cases}
1-\tau(x) & \mathrm{f\ddot{u}r\;x\ge 0}\\
\tau(-x)-1 & \mathrm{f\ddot{u}r\;x < 0}
\end{cases}

mit

\begin{array}{rcl}
\tau(x) & = & t\cdot\exp\left(-x^{2}-1{,}26551223+1{,}00002368\cdot t+0{,}37409196\cdot t^{2}+0{,}09678418\cdot t^{3}\right.\\
 &  & \qquad-0{,}18628806\cdot t^{4}+0{,}27886807\cdot t^{5}-1{,}13520398\cdot t^{6}+1{,}48851587\cdot t^7\\
 &  & \qquad\left.-0{,}82215223\cdot t^{8}+0{,}17087277\cdot t^{9}\right)
\end{array}

und

t=\frac{1}{1+0{,}5\,|x|}.

Eine für alle reellen Werte von x schnell konvergierende Entwicklung [3] erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann [4] :

\begin{align}\operatorname{erf}(x)&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(1-\frac{1}{12}(1-e^{-x^2})-\frac{7}{480}(1-e^{-x^2})^2-\frac{5}{896}(1-e^{-x^2})^3-\frac{787}{276 480}(1-e^{-x^2})^4-\ \cdots\right) \\
&=\frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\sum_{k=1}^\infty c_k e^{-k \, x^2}\right).\end{align}

Durch geeignete Wahl von c_{1} und c_{2} ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei \textstyle x=\pm 1{,}3796 kleiner als \textstyle 3{,}6127\cdot10^{-3} ist:

\operatorname{erf}(x)\approx \frac{2 }{\sqrt{\pi}}\sgn(x)\sqrt{1-e^{-x^2}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}+\frac{31}{200}\,e^{-x^2}-\frac{341}{8000}\,e^{-2\,x^2}\right).

Wertetabelle[Bearbeiten]

x erf(x) erfc(x) x erf(x) erfc(x)
0,00 0,0000000 1,0000000 1,30 0,9340079 0,0659921
0,05 0,0563720 0,9436280 1,40 0,9522851 0,0477149
0,10 0,1124629 0,8875371 1,50 0,9661051 0,0338949
0,15 0,1679960 0,8320040 1,60 0,9763484 0,0236516
0,20 0,2227026 0,7772974 1,70 0,9837905 0,0162095
0,25 0,2763264 0,7236736 1,80 0,9890905 0,0109095
0,30 0,3286268 0,6713732 1,90 0,9927904 0,0072096
0,35 0,3793821 0,6206179 2,00 0,9953223 0,0046777
0,40 0,4283924 0,5716076 2,10 0,9970205 0,0029795
0,45 0,4754817 0,5245183 2,20 0,9981372 0,0018628
0,50 0,5204999 0,4795001 2,30 0,9988568 0,0011432
0,55 0,5633234 0,4366766 2,40 0,9993115 0,0006885
0,60 0,6038561 0,3961439 2,50 0,9995930 0,0004070
0,65 0,6420293 0,3579707 2,60 0,9997640 0,0002360
0,70 0,6778012 0,3221988 2,70 0,9998657 0,0001343
0,75 0,7111556 0,2888444 2,80 0,9999250 0,0000750
0,80 0,7421010 0,2578990 2,90 0,9999589 0,0000411
0,85 0,7706681 0,2293319 3,00 0,9999779 0,0000221
0,90 0,7969082 0,2030918 3,10 0,9999884 0,0000116
0,95 0,8208908 0,1791092 3,20 0,9999940 0,0000060
1,00 0,8427008 0,1572992 3,30 0,9999969 0,0000031
1,10 0,8802051 0,1197949 3,40 0,9999985 0,0000015
1,20 0,9103140 0,0896860 3,50 0,9999993 0,0000007

Komplexe Fehlerfunktion[Bearbeiten]

Die komplexe Fehlerfunktion erf(z) im Bereich -3<Im(z)<3 -3<Re(z)<3. Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl.

Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente z ausgeweitet werden:

\operatorname{erf}(z) = \frac 2{\sqrt\pi} \int_0^z e^{-\tau^2}\,\mathrm d\tau.

In diesem Fall ist erf eine komplexwertige Funktion. Unter komplexer Konjugation gilt

\operatorname{erf} (z^{*}) = \operatorname{erf}(z)^{*} .

Die imaginäre Fehlerfunktion \operatorname{erfi}(x) ist gegeben durch:

\operatorname{erfi}(z) = \operatorname{erf}(iz)/i.

Zur numerischen Berechnung werden erf, erfi, erfc und weitere verwandte Funktionen gerne durch die Faddeeva-Funktion w(z) ausgedrückt. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek libcerf zur Verfügung.[5]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Für eine konkrete Implementierung siehe z.B. Peter John Acklam: An algorithm for computing the inverse normal cumulative distribution function.
  2. Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing (ISBN 0-521-43064-X), 1992, Seite 214, Cambridge University Press.
  3. H. M. Schöpf and P. H. Supancic, "On Bürmann's Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion," The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16–11.Schöpf, Supancic
  4. E. W. Weisstein. "Bürmann's Theorem" from Wolfram MathWorld—A Wolfram Web Resource./ E. W. Weisstein
  5. Steven G. Johnson und Joachim Wuttke: libcerf.

Literatur[Bearbeiten]