Eulersche Zahlen

Die Eulerschen Zahlen oder manchmal auch Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge $\, E_n$ ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

$\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x+e^{-x}} = \sum_{n=0}^{\infty} E_n \frac{x^n}{n!}$

definiert sind. Die Benennung ist nicht zu verwechseln mit der (eindeutigen) eulerschen Zahl $e$ oder gar den zweiparametrigen Euler-Zahlen E(n,k) die kombinatorisch mit ihnen in Zusammenhang stehen.

Zahlenwerte

Die ersten Eulerschen Zahlen $E_n$ ≠ 0 lauten

$n$	$E_n$
0	1
2	-1
4	5
6	-61
8	1385
10	-50521
12	2702765
14	-199360981
16	19391512145
18	-2404879675441
20	370371188237525

Alle Eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geradem Index alternierendes Vorzeichen haben. Ferner besitzen die positiven Werte, mit Ausnahme von E₀ bei Division durch 10 den Rest 5 und die negativen Werte modulo 10 den Rest -1 bzw. Wert 9.

Manche Autoren lassen die Zahlen mit ungeradem Index ganz weg, halbieren die Indizes sozusagen, da dort die Werte mit 0 nicht betrachtet werden, und definieren ihre Euler-Zahlen als verbleibende Folge. Manchmal werden die Eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind, sprich unseren $(-1)^n E_{2n}$ entsprechen.

Eigenschaften

Asymptotisches Verhalten

Für das asymptotische Verhalten der Eulerschen Zahlen gilt

$E_{2n} \sim (-1)^n\, 8\, \sqrt{\frac{n}{\pi}} \left(\frac{4n}{\pi e}\right)^{2n} = (-1)^n \frac{\sqrt e}{2} \left(\frac{4n}{\pi e}\right)^{2n+\frac 1 2}$

oder präziser

$\frac{E_{2n}}{(2n)!} \sim 2\,(-1)^n\left(\frac{2}{\pi}\right)^{2n+1}$

mit der ~-Äquivalenz-Notation.

Rekursionsgleichung

Eine leicht zu merkende Form der Rekursionsgleichung mit dem Startwert $E_0 = 1$ lautet

$\forall\,n\in\N\colon\quad (E+1)^n + (E-1)^n = 0$

wobei $E^n$ als $E_n$ zu interpretieren ist und woraus

$\forall\,n\in\N\colon\quad \sum_{k=0}^n \left(1+(-1)^{n-k} \right){n \choose k} E_{k} = 0$

bzw. durch Indextransformation die explizite Gestalt

$\forall\,n\in\N\colon\quad E_n = - \sum_{k=1}^{\lfloor n/2 \rfloor} {n \choose 2k} E_{n-2k}$

folgt.

Geschlossene Darstellungen

Die Eulerschen Zahlen lassen sich sogar exakt

$\forall\,n\in\N_0\colon\quad E_{2n} = \frac{(2n)!\, 2^{2n+2} }{(-1)^n \pi^{2n+1}} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{ (2k+1)^{2n+1} } = \frac{(2n)!\, 2 }{(-1)^n (2\pi)^{2n+1}} \left( \zeta(2n+1,\tfrac 1 4) - \zeta(2n+1,\tfrac 3 4) \right)$

mittels der Hurwitzschen Zetafunktion $\zeta$ falls $n \not=0$ ist, darstellen. Und unter Ausnutzung ihrer Funktionalgleichung (dort mit m=1, n=4) die elegante Beziehung

$E_{2n} = 2^{2n+2} \zeta(-2n,\tfrac 1 4)$

aufstellen, die diese Zahlen als skalierte Funktionswerte dieser auf $\C\setminus\{1\}$ holomorphen Funktion identifiziert. Somit erhalten wir auch

$E_{2n}=- 2^{2n+2} \frac{B_{2n+1}(\tfrac 1 4)}{2n+1}$

was einen direkten Zusammenhang mit den Bernoulli-Polynomen$B_n(x)$ und somit zu den Bernoulli-Zahlen herstellt.

Eulersche Polynome

Nicht zu verwechseln mit den Euler-Polynomen

Die Eulerschen Polynome $\text{E}_n\colon \R \to \R$ werden meisten durch ihre erzeugende Funktion

$\frac{2 e^{xt}}{e^t+1}= \sum_{n=0}^\infty \text{E}_n(x) \frac{t^n}{n!}$

implizit definiert. Die ersten lauten

$\text{E}_0(x) = 1$

$\text{E}_1(x) = x - \tfrac 1 2$

$\text{E}_2(x) = x^2 - x = x(x-1)$

$\text{E}_3(x) = x^3 - \tfrac 3 2 x^2 + \tfrac 1 4 = \tfrac 1 4 (2x-1)(2x^2-2x-1)$

$\text{E}_4(x) = x^4 - 2 x^3 + x = x(x-1)(x^2-x-1)$

$\text{E}_5(x) = x^5 - \tfrac 5 2 x^4 + \tfrac 5 2 x^2 - \tfrac 1 2 = \tfrac 1 2 (2x-1)(x^2-x-1)^2$

$\text{E}_6(x) = x^6 - 3x^5 + 5x^3 - 3x = x(x-1)(x^4-2x^3-2x^2+3x+3)$

Man kann sie aber auch zu $\text{E}_0(x) = 1$ und dann für $n \in \N$ über die Gleichung

$\text{E}_n(x) = \int_c^x n \text{E}_{n-1}(t) \, \text{d} t$

induktiv definieren, wobei die untere Integrationsgrenze $c$ für ungerades $n$ 1/2 ist und für gerades $n$ Null ist.

Die Eulerschen Polynome sind symmetrisch um $\tfrac 1 2$, d.h.

$\text{E}_n(\tfrac 1 2+x) = (-1)^n \text{E}_n(\tfrac 1 2-x) \qquad { bzw. } \qquad \text{E}_n(x+1) = (-1)^n \text{E}_n(-x)$

und ihre Funktionswerte an den Stellen $\tfrac 1 2$ und $0$ der Beziehung

$\text{E}_n(\tfrac 1 2) = 2^{-n} E_{n}$

und

$\text{E}_{n-1}(0) = (2^{n+1}-2) \frac{B_{n}}{n}$

genügen, wobei B_n die Bernoulli-Zahl zweiter Art bezeichnet. Ferner haben wir die Identität

$\text{E}_n(x+1)+\text{E}_n(x)=2x^n$

Das Eulersche Polynom $\text{E}_n$ hat für n > 5 weniger als n reelle Nullstellen. So hat zwar $\text{E}_5$ fünf (allerdings zwei doppelte, sprich nur drei verschiedene), aber schon $\text{E}_6$ nur die zwei (trivialen) Nullstellen bei 0 und bei 1. Sei $R(n) = \{x \in \R\colon \text{E}_n(x)=0 \}$ die Nullstellenmenge. Dann ist

$-\tfrac 1 2 |R(n)| +1 \le \min R(n) \le \max R(n) \le \tfrac 1 2 |R(n)|$

– wobei im Fall n=5 die Anzahl $|R(5)|$ als 5 zu bewerten ist, da die Nullstellen mit ihrer Vielfachheit gezählt werden müssen – und es gilt

$\lim_{n \to \infty} \frac{ |R(n)| }{n} = \frac{2}{\pi e} \approx 0,2342$

wobei die Funktion $|\cdot|$ angewandt auf eine Menge eigentlich deren Elementanzahl angibt.

Vorkommen

Taylorreihen

Die Folge der Eulerschen Zahlen $E_n$ tritt zum Beispiel in der Taylorentwicklung von

$\sec(x)=\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\cosh(\mathrm{i}\,x)}= \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n E_n \frac{x^n}{n!}$

auf. Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoulli-Zahlen $B_n$ was man auch an der Darstellung

$\operatorname{csch}(x) = \frac{1}{\sinh(x)} = \sum_{n=0}^\infty (2-2^n)B_n \frac{x^{n-1}}{n!}$

erkennt. Aus dem Konvergenzradius der Taylorentwicklung der Sekans-funktion – der Cosinus im Nenner dort wird 0 bei $\tfrac \pi 2$ – von $\tfrac \pi 2$ folgt aus dem Wurzelkriterium das $\limsup \log |\tfrac{E_n}{n!}| \sim n \log \left(\tfrac 2 \pi \right)$ asymptotisch gelten muss. Sie treten natürlich auch in den Taylorreihen der höheren Ableitungen vom Secans Hyperbolicus bzw. der Gudermannfunktion auf.

Integrale

Auch bei manchen uneigentlichen Integralen treten sie auf; beispielsweise bei dem Integral

$\int\limits_0^\infty \frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\, dx=|E_n|\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}$.

Permutationen

kommen die Eulerschen Zahlen beim Zählen der Anzahl alternierender Permutationen mit gerader Elementanzahl vor. Eine alternierende Permutation von Werten ist eine Auflistung dieser Werte $a_1, a_2, \ldots, a_{2n}$ so dass diese Permutation kein Tripel $a_{j-1}, a_j, a_{j+1}$ mit $1 < j < 2n$ enthält, das geordnet ist. Allgemein gilt für die Anzahl $A_{2n}$ der alternierenden Permutationen von $2n$ Elementen (die vergleichbar sind)

$A_{2n} = 2 |E_{2n}|$,

wobei der Faktor zwei dadurch entsteht, dass man jede Permutation durch Umdrehen der Reihenfolge in eine andere alternierende Permutation überführen kann. Für eine beliebige (also auch ungerade) Anzahl $n \in \N_0$ gilt

$A_n = 2 \, n!\, \alpha_n$

mit $\alpha_0 = \alpha_1 = 1$ und

$\alpha_n= \frac 1 {2n} \sum_{j=0}^{n-1} \alpha_j \alpha_{n-1-j}$

für $n \geq 2$, womit man einen weiteren effizienten Algorithmus auch zur Bestimmung der $E_{2n}$ erhält. Für ungerades $n$ werden die Werte $\tfrac {A_n} 2$ auch Tangenten Zahlen genannt.

Literatur

• J. M. Borwein, P. B. Borwein, K. Dilcher, Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions, AMM, V. 96, No. 8, (Oct. 1989), pp. 681-687

Weblinks

• NIST Digital Library of Mathematical Functions
• Eric W. Weisstein: Eulersche Zahlen. In: MathWorld. (englisch)
• Folge A122045 in OEIS