Eulersche Zahlen

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

Wechseln zu: Navigation, Suche
Wikipedia:Hauptseite
Dieser Artikel beschäftigt sich mit der Folge ganzer Zahlen. Für die mathematischen Konstanten siehe eulersche Zahl und Euler-Mascheroni-Konstante, für die topologische Invariante siehe Euler-Charakteristik, für die Kennzahl der Strömungsmechanik siehe Euler-Zahl.

Die eulerschen Zahlen oder Euler-Zahlen (nach Leonhard Euler) sind eine Folge \, E_n ganzer Zahlen, die durch die Taylorentwicklung der Hyperbelfunktion Secans hyperbolicus

\operatorname{sech}(x) = \frac{1}{\cosh(x)} = \frac{2}{e^x+e^{-x}} = \sum_{n=0}^{\infty} E_n \frac{x^n}{n!}

definiert sind.

[Bearbeiten] Eigenschaften

Alle eulerschen Zahlen mit ungeradem Index sind Null, während diejenigen mit geraden Index alternierende Vorzeichen haben. Die Dezimalen Endziffern von E2n sind abwechselnd 1 und 5. Hier eine Wertetabelle der ersten Euler-Zahlen:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
En 1 0 -1 0 5 0 -61 0 1385 0 -50521 0 2702765 0 -199360981 0 19391512145 0 -2404879675441 0

Für das asymptotische Verhalten der eulerschen Zahlen gilt E_{2n}\sim (-1)^n\, 8\, \sqrt{\frac{n}{\pi}} \left(\frac{4n}{\pi e}\right)^{2n}.

Manche Autoren verschieben die Indizes so, dass E2n zu En wird (da alle Euler-Zahlen mit ungeradem Index Null sind). Manchmal werden die eulerschen Zahlen auch so definiert, dass sie alle positiv sind.

[Bearbeiten] Bedeutung

Die Folge der eulerschen Zahlen tritt zum Beispiel auch in der Taylorentwicklung von

\sec(t)=\frac{1}{\cos(t)}=\frac{1}{\cosh(\mathrm{i}t)} auf.

Sie ist verwandt mit der Folge der Bernoullischen Zahlen.

Die eulerschen Zahlen treten daneben auch in der Kombinatorik auf. Auch in der Integralrechnung kommen sie vor; beispielsweise bei folgendem Integral

\int\limits_0^\infty \frac{\ln^n(x)}{1+x^2}\, dx=|E_n|\left(\frac{\pi}{2}\right)^{n+1}.

[Bearbeiten] Weblinks

Von „http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahlen“
Persönliche Werkzeuge