Fundamentalsatz der Variationsrechnung

Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung ist ein grundlegender Satz des mathematischen Teilgebiets der Variationsrechnung und eng verwandt mit dem weierstraßschen Satz vom Minimum. Er behandelt die in der Variationsrechnung zentrale Frage, unter welchen Bedingungen reellwertige Funktionale ein Minimum annehmen.

Formulierung des Fundamentalsatzes

Der Fundamentalsatz der Variationsrechnung lässt sich formulieren wie folgt:

Sei $X$ ein reflexiver Banachraum über $\mathbb {R}$ und sei darin $M\subset X$ eine nichtleere, schwach abgeschlossene und zugleich beschränkte Teilmenge.

Sei weiter $\phi \colon M\to \mathbb {R}$ ein schwach unterhalbstetiges Funktional.

Dann nimmt das Funktional $\phi$ auf $M$ ein Minimum an.

Mit anderen Worten:

Es existiert ein Element $x_{0}\in M$ mit

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$.

Beweis

Der Darstellung von Fučík, Nečas und Souček folgend lässt sich der Beweis wie folgt führen:

Nach dem Satz von Eberlein–Šmulian impliziert die Reflexivität des Banachraums $X$, dass darin jede beschränkte Folge eine schwach-konvergente Teilfolge besitzt.

Also gibt es unter den genannten Bedingungen in $M$ eine Folge von Elementen $x_{n}\in M\;(n\in \mathbb {N} )$, die einerseits in $\mathbb {R}$ den Grenzwert

$\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}$

bildet und die andererseits in $M$ schwach gegen ein Element $x_{0}\in M$ konvergiert.

Dieses Element $x_{0}$ ist die gesuchte Minimumstelle für $\phi$.

Denn in Verbindung mit der Halbstetigkeit von $\phi$ ergibt sich die folgende Ungleichungskette:

$\inf _{x\in M}{\phi (x)}\leq \phi (x_{0})\leq \liminf _{n\to \infty }{\phi (x_{n})}=\lim _{n\rightarrow \infty }\phi (x_{n})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}$

Das jedoch bedeutet

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$

und der Satz ist bewiesen.

Folgerungen aus dem Fundamentalsatz

An den Fundamentalsatz lassen sich zwei direkte Folgerungen anschließen:

(I)

(a) Die Bedingungen des Fundamentalsatzes sind erfüllt, wenn dort $M$ eine nichtleere, abgeschlossene, beschränkte und konvexe Teilmenge des reflexiven $\mathbb {R}$-Banachraums $X$ und das Funktional $\phi$ stetig und konvex ist.

Das heißt: In diesem Falle hat $\phi$ eine Minimumstelle $x_{0}\in M$.

(b) Ist dann $\phi$ darüber hinaus noch strikt konvex, so ist die Minimumstelle $x_{0}\in M$ sogar eindeutig bestimmt.

(II)

(a) Ist $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ ein schwach unterhalbstetiges und zugleich koerzitives Funktional des reflexiven $\mathbb {R}$-Banachraums $X$, so gilt die Behauptung des Fundamentalsatzes ebenfalls.

Das bedeutet:

Es ist dann

$\inf _{x\in M}{\phi (x)}>{-\infty }$

sowie

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$

für mindestens ein $x_{0}\in X$

(b) Im Falle, dass $\phi \colon X\to \mathbb {R}$ koerzitiv, stetig und konvex bzw. strikt konvex ist, ist die Folgerung (I) in entsprechender Weise gültig.

Anmerkung zum Beweis der Folgerungen

1. Wegen der schwachen Abgeschlossenheit von $M$ ist das Funktional $\phi$ genau dann schwach unterhalbstetig, wenn für jede reelle Zahl $a$ die Urbildmenge ${\phi }^{-1}(]\infty ,a])$ des zugehörigen Intervalls $(-\infty ,a]$ schwach abgeschlossen ist.<refref name="FNS" />
2. Ein stetiges und konvexes Funktional auf einer konvexen Teilmenge eines Banachraums ist stets schwach unterhalbstetig.<refref name="FNS" />

Andere Version des Fundamentalsatzes

Eine etwas andere, jedoch verwandte Version des Fundamentalsatzes ist die folgende:

Sei $M$ ein nichtleerer Hausdorff-Raum und sei weiter

$\phi \colon M\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}$ ein unterhalbstetiges Funktional.

Weiterhin gebe es eine reelle Zahl $r$ mit:

(i) $M_{\phi \;,\;r}\colon =\{x\in M\mid \phi (x)\leq r\}\neq \emptyset$

(ii) $M_{\phi \;,\;r}$ ist folgenkompakt.

Dann gilt:

Es existiert ein Element $x_{0}\in M$ mit

$\phi (x_{0})=\inf _{x\in M}{\phi (x)}=\min _{x\in M}{\phi (x)}$.

Abgrenzung: Das Fundamentallemma der Variationsrechnung

In der Variationsrechnung spielt auch das sogenannte Fundamentallemma der Variationsrechnung oder Hauptlemma der Variationsrechnung, (englisch Fundamental lemma of calculus of variations oder Dubois-Reymond lemma) eine zentrale Rolle. Es wird manchmal ebenfalls mit dem hier genannten Stichwort verknüpft, fällt jedoch mit dem oben dargestellten Fundamentalsatz der Variationsrechnung nicht zusammen. Es handelt sich um ein bedeutendes Lemma, welches dem deutschen Mathematiker Paul Dubois-Reymond zugerechnet wird.

In seiner einfachsten Version macht das Fundamentallemma die folgende Aussage:

Sei $I=[a\;,\;b]\subset \mathbb {R}$ ein kompaktes reelles Intervall und sei $g\colon I\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion.

Es gelte für jede stetig differenzierbare Funktion $h\colon I\to \mathbb {R}$ mit $h(a)=h(b)=0$:

$\int _{a}^{b}{g(t)\;h(t)}\;\mathrm {d} t=0$

Dann ist $g$ die Nullfunktion.

Eine andere, aber insgesamt etwas weiterreichende Version des Fundamentallemmas, welche auch mehrdimensionale Integration einbezieht, lautet wie folgt:

Sei $\Omega$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{N}\;(N\in \mathbb {N} )$ und sei $g:\Omega \to \mathbb {R}$ eine lokal integrierbare Funktion.

Es gelte für jede unendlich oft differenzierbare Funktion $h\colon \Omega \to \mathbb {R}$ mit kompaktem Träger:

$\int _{\Omega }{g(x)\;h(x)}\;\mathrm {d} x=0$

Dann ist $g$ die Nullfunktion.

Quellen

• Philippe Blanchard, Erwin Brüning: Direkte Methoden der Variationsrechnung. Ein Lehrbuch. Springer Verlag, Wien, New York 1982, ISBN 3-211-81692-5.  MR0687073
• Philippe G. Ciarlet: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2013, ISBN 978-1-61197-258-0.  MR3136903
• Svatopluk Fučík, Jindřich Nečas, Vladimír Souček: Einführung in die Variationsrechnung. Erweiterte Ausgabe des Vorlesungsskripts Úvod do variačního počtu (= Teubner-Texte zur Mathematik). Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig 1977.