Idealklassengruppe

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Die Idealklassengruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Zahlentheorie. Sie ist ein Maß dafür, wie weit der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper davon entfernt ist, eindeutige Primfaktorzerlegung zu besitzen. Ihre Ordnung wird Klassenzahl genannt.

Definition (für Dedekindringe)[Bearbeiten]

Es sei A ein Dedekindring mit Quotientenkörper K, beispielsweise der Ganzheitsring in einem algebraischen Zahlkörper. Dann ist die Idealklassengruppe \operatorname{Pic}A definiert als die Faktorgruppe

\operatorname{Pic}A=J_A/P_A.

Dabei ist

IJ=\left\{\left.\sum_{i=1}^n a_ib_i\right|a_i\in I,b_i\in J\right\},
Die Gruppe J_A ist die freie abelsche Gruppe auf den Primidealen von A.
  • P_A die Untergruppe der gebrochenen Hauptideale, d.h. der Untermoduln der Form
(a)=A\cdot a\subset K
für a\in K^{\times}.

Im Fall von Zahlkörpern schreibt man meist \operatorname{Cl}_K für \operatorname{Pic}A.

Die Äquivalenzklassen der Faktorgruppe können auch explizit so beschrieben werden: Zwei gebrochene Ideale I und J sind äquivalent, wenn es ein Element \lambda\in K^\times gibt, so dass I=\lambda J gilt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Beispiele[Bearbeiten]

Es sei K ein quadratischer Zahlkörper, d.h. K=\Q(\sqrt{d}) für eine quadratfreie Zahl d\in\Z.

Die einzigen negativen quadratfreien Zahlen d < 0, für die die Idealklassengruppe von K=\Q(\sqrt{d}) trivial ist, sind

d = -1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163.

Das wurde von Carl Friedrich Gauss vermutet und 1952 von Kurt Heegner bewiesen, Heegners Beweis fand erst nach einer 1967 von Harold Stark veröffentlichten Arbeit Anerkennung.

Es ist nicht bekannt, ob es unendlich viele positive quadratfreie Zahlen d > 0 gibt, für die die Idealklassengruppe von K=\Q(\sqrt{d}) trivial ist, es gibt aber viele berechnete Beispiele hierfür.

Verwandte Begriffe[Bearbeiten]

Für einen algebraischen Zahlkörper K gibt es eine Erweiterung H/K, den (kleinen) hilbertschen Klassenkörper. Die Galoisgruppe \operatorname{Gal}(H/K) ist kanonisch isomorph zur Idealklassengruppe, und jedes Ideal von K wird in H zu einem Hauptideal.

Literatur[Bearbeiten]