Modul (Mathematik)

Ein Modul [ˈmoːdul] (Maskulinum, Plural: Moduln [ˈmoːduln], die Deklination ist ähnlich wie die von Konsul) ist eine algebraische Struktur, die eine Verallgemeinerung eines Vektorraums darstellt.

Moduln über einem kommutativen Ring mit Einselement

Ein Modul über einem kommutativen Ring $(R,+,\cdot )$ mit Einselement $1$ ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einer Abbildung

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m$           (genannt Multiplikation mit Skalaren, Skalarmultiplikation),

so dass gilt:

$r_{1}\cdot (r_{2}\cdot m)=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot m$

$(r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m$

$r\cdot (m_{1}+m_{2})=r\cdot m_{1}+r\cdot m_{2}$

Fordert man zusätzlich noch $1\cdot m=m$, so nennt man den Modul unitär.

Ein Vektorraum ist dann ein spezieller Modul, dessen Ring ein Körper ist. Damit kann man in der Definition die Axiome eines Vektorraums direkt abschreiben und überall Körper durch Ring ersetzen.

Das Studium dieser Moduln ist Gegenstand der kommutativen Algebra.

Abelsche Gruppen

Jede abelsche Gruppe ist auf eindeutige Weise ein unitärer $\mathbb {Z}$-Modul. Wegen

$1\cdot m=m$

sind höchstens

$k\cdot m=\underbrace {(1+\dotsb +1)} _{k{\text{-mal}}}\cdot m=\underbrace {m+\dotsb +m} _{k{\text{-mal}}}$

und analog

$(-k)\cdot m=-\underbrace {(m+\dotsb +m)} _{k{\text{-mal}}}$

(für $k\geq 0$) denkbar. Da diese einzig mögliche Verknüpfung aber die Modulaxiome erfüllt, folgt die Behauptung. (Hier wurde die abelsche Gruppe additiv geschrieben.)

Vektorräume mit einer linearen Abbildung in sich selbst

Sei $K[X]$ der Polynomring über einem Körper $K$. Dann entsprechen die $K[X]$-Moduln eins-zu-eins den Paaren $(V,A)$ bestehend aus einem $K$-Vektorraum $V$ und einem Endomorphismus $A$ von $V$.

• Sei $M$ ein $K[X]$-Modul. Wir stellen fest, dass $M$ auch ein $K$-Vektorraum ist, da $K$ in $K[X]$ eingebettet ist. Sei $V$ dieser Vektorraum. Das zu $M$ gehörige Paar ist nun $(V,A)$, wobei $A$ durch

$V\to V,\quad v\mapsto X\cdot v.$

gegeben ist.

• Zu einem Paar $(V,A)$ definieren wir eine $K[X]$-Modulstruktur durch

$X\cdot v:=Av$

und setzen das $K$-linear auf $K[X]$ fort, d.h. für alle

$p(X)=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\dotsb +a_{n}X^{n}\in K[X]$ setzen wir

$p(X)\cdot v:=p(A)v:=a_{0}v+a_{1}\cdot Av+a_{2}\cdot A^{2}v+\dotsb +a_{n}\cdot A^{n}v.$

Ringideale

Jeder Ring ist ein Modul über sich selbst mit der Ringmultiplikation als Operation. Die Untermoduln entsprechen dann genau den Idealen von $R$ (da $R$ in diesem Abschnitt kommutativ ist, brauchen wir nicht zwischen Links- und Rechtsidealen zu unterscheiden).

Moduln über einem beliebigen Ring

Es sei $R$ ein Ring. Ist $R$ nicht kommutativ, so muss man zwischen Links- und Rechtsmoduln unterscheiden.

Ein $R$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer Abbildung

$R\times M\to M,\quad (r,m)\mapsto r\cdot m=rm,$

die in beiden Argumenten additiv ist, d. h. für alle $r,r_{1},r_{2}\in R,\,m,m_{1},m_{2}\in M$ gilt

$(r_{1}+r_{2})\cdot m=r_{1}\cdot m+r_{2}\cdot m$ und

$r\cdot (m_{1}+m_{2})=r\cdot m_{1}+r\cdot m_{2},$

und für die

$r_{1}\cdot (r_{2}\cdot m)=(r_{1}\cdot r_{2})\cdot m$ für alle $r_{1},r_{2}\in R,\ m\in M$

gilt. Wird vorausgesetzt, dass $R$ ein unitärer Ring ist, so fordert man meist auch, dass der $R$-Linksmodul $M$ unitär ist, d. h.

$1\cdot m=m$ für alle $m\in M$.

Ein $R$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer in beiden Argumenten additiven Abbildung

$M\times R\to M,\quad (m,r)\mapsto m\cdot r=mr,$

so dass

$(m\cdot r_{1})\cdot r_{2}=m\cdot (r_{1}\cdot r_{2})$ für alle $r_{1},r_{2}\in R,\ m\in M.$

Ein Rechtsmodul über einem unitären Ring ist unitär, wenn

$m\cdot 1=m$ für alle $m\in M$ gilt.

Ist $R$ kommutativ, so stimmen die Begriffe Links- und Rechtsmodul (bis auf die Schreibweise) überein, und man spricht einfach von $R$-Moduln.

Alternative Definitionen

• Ein $R$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

$R\to \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M).$

Dabei ist $\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M)$ der Ring der Endomorphismen von $M$ mit der Verkettung als Produkt:

$(f_{1}\cdot f_{2})(m):=f_{1}(f_{2}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M),m\in M.$

• Ein $R$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem (ggf. unitären) Ringhomomorphismus

$R\to (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} }.$

Dabei sei $(\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} }$ der Gegenring des Endomorphismenrings, das heißt der Ring der Endomorphismen von $M$ mit der Rechtsverkettung als Produkt:

$(f_{1}\cdot f_{2})(m):=f_{2}(f_{1}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in (\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} },m\in M.$

Bimoduln

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Dann ist ein $R$-$S$-Bimodul eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einer $R$-Linksmodul- und einer $S$-Rechtsmodulstruktur, so dass

$(r\cdot m)\cdot s=r\cdot (m\cdot s)$ für $r\in R,m\in M,s\in S$

gilt.

Alternativ ist ein $R$-$S$-Bimodul eine abelsche Gruppe $M$ zusammen mit einem Ringhomomorphismus

$R\times S^{\mathrm {op} }\to \mathrm {End} _{\mathbb {Z} }\,M.$

Wechsel des Rings

$R$ und $S$ seien Ringe und $\rho \colon S\to R$ sei ein Ringhomomorphismus. Für jeden $R$-Modul $M$ definiert die Vorschrift

$(s,m)\mapsto \rho (s)m$

eine $S$-Modulstruktur auf $M$, die die mit $\rho$ und der $R$-Modulstruktur assoziierte genannt wird. Dieser $S$-Modul wird mit $\rho _{*}(M)$ oder mit $M_{[S]}$ bezeichnet. Ist insbesondere $S$ ein Unterring von $R$ und $\rho$ die kanonische Einbettung, dann wird $\rho _{*}(M)$ der durch Einschränkung der Skalare von $R$ auf $S$ erhaltene $S$-Modul genannt.

Ist $N$ ein Untermodul von $M$, dann ist $\rho _{*}(N)$ ein Untermodul von $\rho _{*}(M)$ und $\rho _{*}(M/N)=\rho _{*}(M)/\rho _{*}(N).$

Moduln über einer assoziativen Algebra

Ist $R$ ein kommutativer Ring und $A$ eine assoziative R-Algebra, so ist ein $A$-Linksmodul ein $R$-Modul $M$ zusammen mit einem $R$-Modulhomomorphismus

$A\otimes _{R}M\to M,\quad a\otimes m\mapsto am,$

so dass

$a_{1}(a_{2}m)=(a_{1}a_{2})m$ für $a_{1},a_{2}\in A,m\in M$

gilt.

Ein $A$-Rechtsmodul ist ein $R$-Modul $M$ zusammen mit einem $R$-Modulhomomorphismus

$M\otimes _{R}A\to M,\quad m\otimes a\mapsto ma,$

so dass

$(ma_{1})a_{2}=m(a_{1}a_{2})$ für $a_{1},a_{2}\in A,m\in M$

gilt.

Unitäre Moduln und Bimoduln sind analog zum Fall der Ringe definiert.

Moduln über einer Lie-Algebra

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra über einem Körper $K$. Ein ${\mathfrak {g}}$-Modul oder eine Darstellung von ${\mathfrak {g}}$ ist ein $K$-Vektorraum $M$ zusammen mit einer $K$-bilinearen Abbildung

${\mathfrak {g}}\times M\to M,\;(X,m)\mapsto X\cdot m,$

so dass

$[X,Y]\cdot m=XY\cdot m-YX\cdot m$ für $X,Y\in {\mathfrak {g}},m\in M$

gilt.

Alternativ ist ein ${\mathfrak {g}}$-Modul ein $K$-Vektorraum $M$ zusammen mit einem Homomorphismus von Liealgebren über $K$

${\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(M);$

dabei ist ${\mathfrak {gl}}(M)$ die $K$-Algebra der Endomorphismen von $M$ mit dem Kommutator als Lieklammer.

${\mathfrak {g}}$-Moduln sind dasselbe wie Moduln unter der universellen einhüllenden Algebra von ${\mathfrak {g}}$.

Moduln über einer Gruppe

Es sei $(G,*)$ eine Gruppe. Ein $G$-Modul oder genauer $G$-Linksmodul ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einer äußeren zweistelligen Verknüpfung

$G\times M\to M,\;(g,m)\mapsto g\cdot m$,

so dass

$g\cdot (m_{1}+m_{2})=g\cdot m_{1}+g\cdot m_{2}$ für alle $g\in G,m_{1},m_{2}\in M$

und

$(g_{1}*g_{2})\cdot m=g_{1}\cdot (g_{2}\cdot m)$ für alle $g_{1},g_{2}\in G,m\in M$

sowie

$e\cdot m=m$ für das neutrale Element $e$ von $G$ und für alle $m\in M$

gilt.

Ein $G$-Rechtsmodul ist analog definiert; die zweite Bedingung ist durch

$m\cdot (g_{1}*g_{2})=(m\cdot g_{1})\cdot g_{2}$ für alle $g_{1},g_{2}\in G,m\in M$

zu ersetzen.

Alternativ dazu ist ein $G$-(Links-)Modul eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }(M),$

dabei ist $\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }(M)=(\mathrm {End} _{\mathbb {Z} }(M))^{\times }$ die Gruppe der Automorphismen von $M$ mit der Verknüpfung

$(f_{1}\circ f_{2})(m)=f_{1}(f_{2}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in \mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }(M),m\in M.$

Ein $G$-Rechtsmodul ist eine abelsche Gruppe $(M,+)$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} },$

das Produkt auf $(\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} }$ ist durch

$(f_{1}\bullet f_{2})(m):=f_{2}(f_{1}(m))$ für $f_{1},f_{2}\in (\mathrm {Aut} _{\mathbb {Z} }(M))^{\mathrm {op} },m\in M$

gegeben.

Ist $R$ weiter ein Ring, so ist ein $G$-$R$-Modul eine abelsche Gruppe mit einer $R$-Modul- und einer $G$-Modulstruktur, die in dem folgenden Sinne kompatibel sind:

$r\cdot (g\cdot m)=g\cdot (r\cdot m)$ für $r\in R,g\in G,m\in M.$

Alternativ ist ein $G$-$R$-Modul ein $R$-Modul zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus

$G\to \mathrm {Aut} _{R}(M),$

dabei ist $G\to \mathrm {Aut} _{R}(M)$ die Gruppe der Automorphismen von $M$ als $R$-Modul.

$G$-$R$-Moduln sind dasselbe wie Moduln über dem Gruppenring $R[G]$.

Ist $K$ speziell ein Körper, so stimmt der Begriff des $G$-$K$-Moduls mit dem der $K$-linearen Darstellung von $G$ überein.

Siehe auch

• Basis (Modul)
• Darstellungstheorie
• einfacher Modul
• freier Modul
• Gruppenoperation
• Moduln über Hauptidealringen
• Modulhomomorphismus
• Untermodul

Weblinks

Wiktionary: Modul – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Alexander Hölzle: Einführung in die Modultheorie.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra, 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• L.V. Kuz'min: Module. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).