Pentagonikositetraeder

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3D-Ansicht eines Pentagonikositetraeders (Animation)
Netz des Pentagonikositetraeders

Das Pentagonikositetraeder ist ein chirales Polyeder, das sich aus 24 unregelmäßigen Fünfecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum abgeschrägten Hexaeder und hat 38 Ecken sowie 60 Kanten.

Die folgenden Bilder zeigen zwei zueinander spiegelbildliche Pentagonikositetraeder.

Entstehung[Bearbeiten]

Konstruktion des Tangentenfünfecks am abgeschrägten Hexaeder
Links- und rechtshändige Version eines Pentagonikositetraeders (Pappmodelle)

Durch Verbinden der Mittelpunkte von jeweils fünf Kanten, die in jeder Raumecke des abgeschrägten Hexaeders zusammenstoßen, entsteht ein Sehnenfünfeck, dessen Umkreis gleichzeitig Inkreis des Tangentenfünfecks, der Begrenzungsfläche des Pentagonikositetraeders, ist. Bei diesem speziellen Typ sind alle Flächenwinkel gleich groß (≈ 136°), und es existiert ein einheitlicher Kantenkugelradius.

Nachfolgend bezeichne der Term t den Kosinus des kleineren Zentriwinkels \zeta im zuvor erwähnten Sehnenfünfeck.[1]

 t = \cos \,\zeta = \frac{1}{6} \left(\sqrt[3]{19 + 3\sqrt{33}} + \sqrt[3]{19 - 3\sqrt{33}} -2 \right)

Sei d die Kantenlänge des abgeschrägten Hexaeders, so sind die resultierenden Seitenlängen des Tangentenfünfecks gegeben durch

 a = \frac{d}{2} \sqrt{2+2t}
 b = \frac{d}{\sqrt{2+2t}}

Daraus folgt:[2]

 a = b\,(1+t)

Verwandte Polyeder[Bearbeiten]

Formeln[3][Bearbeiten]

Für das Polyeder[Bearbeiten]

Größen eines Pentagonikositetraeders mit Kantenlänge a bzw. b
Volumen[4]
≈ 12,45a3 ≈ 35,63b3
V = \frac{4a^3(2+3t)\sqrt{1-2t}}{(1+t)(1-4t^2)} = \frac{2b^3(1+t)(2+3t)}{(1-2t^2)\sqrt{1-2t}}
Oberflächeninhalt[4]
≈ 27,19a2 ≈ 54,8b2
A_O = \frac{24a^2(2+3t)}{1+2t} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} = \frac{12b^2(2+3t)}{(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}
Kantenkugelradius[4] r = \frac{a}{\sqrt{2\,(1+t)(1-2t)}} = b\,\sqrt{\frac{1+t}{2\,(1-2t)}}
Inkugelradius[4] \rho = \frac{a}{2\sqrt{(1-2t)(1-t^2)}} = \frac{b}{2}\, \sqrt{\frac{1+t}{(1-t)(1-2t)}}
Flächenwinkel[4]
 ≈ 136° 18' 33"
 \cos \, \alpha= \frac{t}{t-1}

Für die Begrenzungsflächen[Bearbeiten]

Größen im Fünfeck des Pentagonikositetraeders
Größen des Tangentenfünfecks
Flächeninhalt[4]  A  =  \frac{a^2(2+3t)}{1+2t} \sqrt{\frac{1-t}{1+t}} = \frac{b^2(2+3t)}{2\,(1-2t^2)} \sqrt{1-t^2}
Inkreisradius[4]  r = \frac{a}{2\sqrt{1-t^2}} = \frac{b}{2}\,\sqrt{\frac{1+t}{1-t}}
Diagonale[4] \|\, b  e  =  2a\,(1-2t^2) = b\,(1+2t)
Stumpfe Winkel[4](4)
 ≈ 114° 48' 43"
 \cos \, \alpha = -t
Spitzer Winkel (1)
 ≈ 80° 45' 6"
 \cos \, \beta = 1 - 2t

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. t ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung 4t3 + 4t2 − 1 = 0. Wird zum doppelten Wert von t die Zahl 1 addiert, erhält man die Tribonacci-Konstante, welche den Limes des Verhältnisses (= 1,83928675521416…) zweier aufeinanderfolgenden Zahlen dieser Folge darstellt.
  2. Mit a> sei die längere der beiden Seiten des Pentagonikositetraeders bezeichnet.
  3. Diese Formeln gelten ausschließlich für den Fall b = a:(1+t) bzw. äquivalent dazu a = b·(1+t)
  4. a b c d e f g h i Diese Formel gilt auch für das Pentagonhexakontaeder sowie das Pentagondodekaeder, sofern man die entsprechenden Werte für b (kurze Seitenlänge), n (Anzahl der Begrenzungsflächen) sowie t (Kosinus des kleineren Zentriwinkels) einsetzt und ferner beachtet, dass O = n·A und V = 1/3·O·ρ ist.

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Pentagonikositetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Pentagonikositetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen