Triakistetraeder

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3D-Ansicht eines Triakistetraeders (Animation)

Das Triakistetraeder ist ein konvexes Polyeder, das sich aus zwölf gleichschenkligen Dreiecken zusammensetzt und zu den Catalanischen Körpern zählt. Es ist dual zum Tetraederstumpf und hat acht Ecken sowie 18 Kanten.

Entstehung[Bearbeiten]

Vierfach geschnittener Würfel

Werden auf alle vier Begrenzungsflächen eines Tetraeders (mit Kantenlänge a) Pyramiden mit der Flankenlänge b aufgesetzt, entsteht ein Triakistetraeder, sofern die Bedingung \tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2} erfüllt ist.

  • Für den zuvor genannten minimalen Wert von b haben die aufgesetzten Pyramiden die Höhe 0, sodass lediglich das Tetraeder mit der Kantenlänge a übrig bleibt.
  • Das spezielle Triakistetraeder mit gleichen Flächenwinkeln entsteht, wenn b = \tfrac{3}{5}a ist.
  • Nimmt b den o. g. maximalen Wert an, entartet das Triakistetraeder zu einem Würfel mit der Kantenlänge b (s. Grafik links); dieser vierfach geschnittene Würfel – mit einem gedachten Tetraeder im Kern – ist topologisch gleichwertig zum Triakistetraeder.
  • Überschreitet b den maximalen Wert, so ist das Polyeder nicht mehr konvex und entartet zu einem Sternkörper.

Formeln[Bearbeiten]

Allgemein \tfrac{a}{3}\sqrt{3}<b<\tfrac{a}{2}\sqrt{2}[Bearbeiten]

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlängen a, b
Volumen V = \frac{a^2}{12} \left(a\sqrt{2}+4\sqrt{3b^2-a^2}\right)
Oberflächeninhalt A_O = 3a \sqrt{4b^2-a^2}
Pyramidenhöhe k = \frac{1}{3}\sqrt{9b^2-3a^2}
Inkugelradius \rho  = \frac{a}{12} \sqrt{\frac{48b^2-14a^2+8a\sqrt{6b^2-2a^2}}{4b^2-a^2}}
Flächenwinkel
 (über Kante a)
 \cos \, \alpha_1 = \frac{5a^2-12b^2-8a \sqrt{6b^2-2a^2}}{9(4b^2-a^2)}
Flächenwinkel
 (über Kante b)
 \cos \, \alpha_2 = \frac{2b^2-a^2}{4b^2-a^2}

Speziell b = \tfrac{3}{5}a[Bearbeiten]

Größen eines Triakistetraeders mit Kantenlänge a
Volumen V = \frac{3}{20}\,a^3 \sqrt{2}
Oberflächeninhalt A_O = \frac{3}{5}\,a^2 \sqrt{11}
Pyramidenhöhe k = \frac{a}{15} \sqrt{6}
Inkugelradius \rho  = \frac{3}{4}\,a\,\sqrt{\frac{2}{11}}
Kantenkugelradius r = \frac{a}{4} \sqrt{2}
Flächenwinkel
 ≈ 129° 31' 16"
 \cos \, \alpha = -\frac{7}{11}

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Triakistetraeder – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Triakistetraeder – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen