Poincaré-Lemma

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Das Poincaré-Lemma ist ein Satz aus der Mathematik und wurde nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannt.

Exakte und geschlossene Differentialformen[Bearbeiten]

  • Eine Differentialform \omega vom Grad k heißt geschlossen, falls \mathrm{d} \omega = 0 gilt. Dabei bezeichnet \mathrm{d} die äußere Ableitung.
  • Außerdem heißt eine Differentialform \omega vom Grad k exakt, falls es eine (k-1)-Differentialform \nu gibt, so dass \omega = \mathrm{d} \nu gilt. Die Form \nu nennt man die Potentialform von \omega.

Aussage[Bearbeiten]

Es besagt, dass in jeder sternförmigen offenen Menge U einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die k-te de-Rham-Kohomologie für alle k > 0 verschwindet, also:

 \mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^k(U) = 0

Anders ausgedrückt: In jeder sternförmigen offenen Menge ist jede geschlossene Differentialform exakt.

Im dreidimensionalen Spezialfall besagt das Poincaré-Lemma in die Sprache der Vektoranalysis überführt, dass ein auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld – beispielsweise das elektrostatische Feld \vec E(\mathbf r) – als Gradient eines Potentialfeldes \Phi(\mathbf r) (k=1), ein quellfreies Vektorfeld – beispielsweise die magnetische Induktion \vec B(\mathbf r, t) – durch Rotation eines Vektorpotentials \vec A(\mathbf r, t) (k=2), und ein skalares Feld als Divergenz eines Vektorfeldes (k=3) dargestellt werden können.

Bemerkung[Bearbeiten]

Das Poincaré-Lemma gibt auch eine solche (k-1)-Form explizit an, und zwar mit folgender Formel: Für beliebige k-Formen, \textstyle \psi^k = \sum \omega_{I} {\rm d}x_{I}\,, lässt sich eine zugehörige „Potentialform“ \eta^{k-1} durch folgende (k-1)-Form-wertige Abbildung definieren:

\psi^k \to P^{k-1}(\psi^k), mit

P^{k-1}(\psi^k)\,:\,=\, \sum_{i_1< \cdots < i_k} \sum_{\alpha = 1}^k (-1)^{\alpha - 1} \Big( \int_0^1 t^{k-1} \omega_{i_1 \cdots i_k} (tx) dt \Big) x^{i_\alpha}{\rm d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \widehat{{\rm d}x^{i_\alpha}} \wedge \cdots \wedge{\rm d}x^{i_k}\,.

Nun zeigt man direkt, dass  :

 \omega^k\equiv \mathrm P^{k}({\rm d}\omega^k) + {\rm d}{\rm P^{k-1}(}\omega^k \mathrm )\,.

Wegen der Voraussetzung {\rm d}\omega^k \equiv 0 ist das bereits die gesuchte Aussage, mit \eta^{k-1}\,:=\,P^{k-1}(\omega^k )\,.

Das so definierte \eta^{k-1} ist nicht die einzige (k-1)-Form, deren äußeres Differential \omega^k ist. Alle anderen unterscheiden sich aber höchstens um das Differential einer (k-2)-Form voneinander: Sind \eta^{k-1}_1 und \eta^{k-1}_2 zwei solche (k-1)-Formen, so existiert eine (k-2)-Form \xi^{k-2} derart, dass

 \eta_1^{k-1} = \eta_2^{k-1} + \mathrm d \xi^{k-2}

gilt (siehe Eichinvarianz).

In der Sprache der homologischen Algebra ist P eine kontrahierende Homotopie.

Anwendung in der Elektrodynamik[Bearbeiten]

Aus der Elektrodynamik ist der Fall eines von einem stationären Strom erzeugten Magnetfeldes bekannt, mit dem sog. Vektorpotential \vec A(\mathbf r )\,. Dieser Fall entspricht k=2, wobei das sternförmige Gebiet der \mathbb R^3 ist. Der Vektor der Stromdichte ist \vec j und entspricht der Stromform \mathbf I :=j_1(x,y,z){\rm d}x_2\wedge {\rm d}x_3+j_2(x,y,z){\rm d}x_3\wedge {\rm d}x_1+j_3(x,y,z){\rm d}x_1\wedge {\rm d}x_2\,. Für das Magnetfeld \vec B gilt Analoges: es entspricht der Magnetflussform \Phi_B:=B_1{\rm d}x_2\wedge {\rm d}x_3 +\dots und lässt sich aus dem Vektorpotential ableiten: \textstyle \vec B = \operatorname{rot} \vec A = \left( \tfrac{\partial A_3}{\partial x_2}-\tfrac{\partial A_2}{\partial x_3} , \tfrac{\partial A_1}{\partial x_3}-\tfrac{\partial A_3}{\partial x_1} ,\tfrac{\partial A_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial A_1}{\partial x_2}\right)^t, oder \Phi_B={\rm d}\mathbf A. Dabei entspricht das Vektorpotential \vec A der Potentialform \mathbf A:=A_1{\rm d}x_1+A_2{\rm d}x_2+A_3{\rm d}x_3\,. Die Geschlossenheit der Magnetflussform entspricht der Quellenfreiheit des Magnetfeldes (\operatorname{div} \vec B \equiv 0\,).

Unter Verwendung der Coulomb-Eichung \operatorname{div} \vec A\stackrel{!}{=}0, gilt dann für i=1,2,3

A_i(\vec r)
=\int \frac{\mu_0 j_i(\vec r^{\,'})\,\, dx_1'dx_2'dx_3'}{4\pi |\vec r -\vec r^{\,'}|}\,,

dabei ist \mu_0 eine Naturkonstante, die sogenannte Magnetische Feldkonstante.

An dieser Gleichung ist u.a. bemerkenswert, dass sie vollständig einer bekannten Formel für das elektrische Feld \vec E entspricht, dem Coulombpotential \,\phi (x_1,x_2, x_3) einer gegebenen Ladungsverteilung mit der Dichte \rho (x_1,x_2,x_3). Man vermutet an dieser Stelle bereits, dass

  • \vec E und \vec B bzw.
  • \rho und \vec j sowie
  • \,\phi und \vec A

zusammengefasst werden können und dass sich die relativistische Invarianz der Maxwellschen Elektrodynamik daraus ergibt, siehe dazu Elektrodynamik.

Wenn man die Bedingung der Stationarität aufgibt, muss auf der linken Seite der obigen Gleichung bei A_i zu den Raumkoordinaten das Zeitargument t hinzugefügt werden, während auf der rechten Seite in j_i' die sog. „retardierte Zeit“ t':=t-\tfrac{|\vec r -\vec r^{\,'}|}{c} zu ergänzen ist. Es wird dabei wie zuvor über die drei Raumkoordinaten  \vec r^{\,'} integriert. Schließlich ist c die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Literatur[Bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Integralrechnung im Rn mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1.
  • John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.