Poincaré-Lemma

Das Poincaré-Lemma ist ein Satz aus der Mathematik und wurde nach dem französischen Mathematiker Henri Poincaré benannt.

Exakte und geschlossene Differentialformen

• Eine Differentialform $\omega$ vom Grad $k$ heißt geschlossen, falls $\mathrm{d} \omega = 0$ gilt. Dabei bezeichnet $\mathrm{d}$ die äußere Ableitung.
• Außerdem heißt eine Differentialform $\omega$ vom Grad $k$ exakt, falls es eine $(k-1)$-Differentialform $\nu$ gibt, so dass $\omega = \mathrm{d} \nu$ gilt. Die Form $\nu$ nennt man die Potentialform von $\omega.$

Aussage

Es besagt, dass in jeder sternförmigen offenen Menge $U$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit die $k$-te de-Rham-Kohomologie für alle $k > 0$ verschwindet, also:

$\mathrm{H}_{\mathrm{dR}}^k(U) = 0$

Anders ausgedrückt: In jeder sternförmigen offenen Menge ist jede geschlossene Differentialform exakt.

Der einfachste Spezialfall besagt, dass ein auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet definiertes wirbelfreies Vektorfeld - beispielsweise das elektrostatische Feld $\vec E(\mathbf r)$ - als Gradient eines Potentialfeldes $\Phi(\mathbf r)$ dargestellt werden kann. Der nächsteinfache Spezialfall ist, dass ein quellenfreies Vektorfeld - beispielsweise die magnetische Induktion $\vec B(\mathbf r, t)$ - durch Rotation eines Vektorpotentials $\vec A(\mathbf r, t)$ erzeugt werden kann.

Bemerkung

Das Poincaré-Lemma gibt auch eine solche $(k-1)$-Form explizit an, und zwar mit folgender Formel: Für beliebige k-Formen, $\psi^k = \sum \omega_{I} {\rm d}x_{I}\,,$ lässt sich eine zugehörige „Potentialform“ $\eta^{k-1}$ durch folgende (k-1)-Form-wertige Abbildung definieren:

$\psi^k \to P^{k-1}(\psi^k)$, mit

$P^{k-1}(\psi^k)\,:\,=\, \sum_{i_1< \cdots < i_k} \sum_{\alpha = 1}^k (-1)^{\alpha - 1} \Big( \int_0^1 t^{k-1} \omega_{i_1 \cdots i_k} (tx) dt \Big) x^{i_\alpha}{\rm d}x^{i_1} \wedge \cdots \wedge \widehat{{\rm d}x^{i_\alpha}} \wedge \cdots \wedge{\rm d}x^{i_k}\,.$

Nun zeigt man direkt, dass  :

$\omega^k\equiv \mathrm P^{k}({\rm d}\omega^k) + {\rm d}{\rm P^{k-1}(}\omega^k \mathrm )\,.$

Wegen der Voraussetzung ${\rm d}\omega^k \equiv 0$ ist das bereits die gesuchte Aussage, mit $\eta^{k-1}\,:=\,P^{k-1}(\omega^k )\,.$

Das so definierte $\eta^{k-1}$ ist nicht die einzige $(k-1)$-Form, deren äußeres Differential $\omega^k$ ist. Alle anderen unterscheiden sich aber höchstens um das Differential einer $(k-2)$-Form voneinander: Sind $\eta^{k-1}_1$ und $\eta^{k-1}_2$ zwei solche $(k-1)$-Formen, so existiert eine $(k-2)$-Form $\xi^{k-2}$ derart, dass

$\eta_1^{k-1} = \eta_2^{k-1} + \mathrm d \xi^{k-2}$

gilt (siehe Eichinvarianz).

In der Sprache der homologischen Algebra ist $P$ eine kontrahierende Homotopie.

Anwendung in der Elektrodynamik

Aus der Elektrodynamik ist der Fall eines von einem stationären Strom erzeugten Magnetfeldes bekannt, mit dem sog. Vektorpotential $\vec A(\mathbf r )\,.$ Dieser Fall entspricht $k=2$, wobei das sternförmige Gebiet der $\mathbb R^3$ ist. Der Vektor der Stromdichte ist $\vec j$ und entspricht der Stromform $\mathbf I :=j_1(x,y,z){\rm d}x_2\wedge {\rm d}x_3+j_2(x,y,z){\rm d}x_3\wedge {\rm d}x_1+j_3(x,y,z){\rm d}x_1\wedge {\rm d}x_2\,.$ Für das Magnetfeld $\vec B$ gilt Analoges: es entspricht der Magnetflussform $\Phi_B:=B_1{\rm d}x_2\wedge {\rm d}x_3 +\dots$ und lässt sich aus dem Vektorpotential ableiten: $\textstyle \vec B ={\rm rot\,\,}\vec A =\left( \tfrac{\partial A_3}{\partial x_2}-\tfrac{\partial A_2}{\partial x_3} , \tfrac{\partial A_1}{\partial x_3}-\tfrac{\partial A_3}{\partial x_1} ,\tfrac{\partial A_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial A_1}{\partial x_2}\right)^t$, oder $\Phi_B={\rm d}\mathbf A$. Dabei entspricht das Vektorpotential $\vec A$ der Potentialform $\mathbf A:=A_1{\rm d}x_1+A_2{\rm d}x_2+A_3{\rm d}x_3\,.$ Die Geschlossenheit der Magnetflussform entspricht der Quellenfreiheit des Magnetfeldes (${\rm div\,\,}\vec B \equiv 0\,).$

Unter Verwendung der Coulomb-Eichung ${\rm div\,\,}\vec A\stackrel{!}{=}0$, gilt dann für i=1,2,3

$A_i(\vec r) =\int \frac{\mu_0 j_i(\vec r^{\,'})\,\, dx_1'dx_2'dx_3'}{4\pi |\vec r -\vec r^{\,'}|}\,,$

dabei ist $\mu_0$ eine Naturkonstante, die sogenannte Magnetische Feldkonstante.

An dieser Gleichung ist u.a. bemerkenswert, dass sie vollständig einer bekannten Formel für das elektrische Feld $\vec E$ entspricht, dem Coulombpotential $\,\phi (x_1,x_2, x_3)$ einer gegebenen Ladungsverteilung mit der Dichte $\rho (x_1,x_2,x_3)$. Man vermutet an dieser Stelle bereits, dass

• $\vec E$ und $\vec B$ bzw.

• $\rho$ und $\vec j$ sowie

• $\,\phi$ und $\vec A$

zusammengefasst werden können und dass sich die relativistische Invarianz der Maxwellschen Elektrodynamik daraus ergibt, siehe dazu Elektrodynamik.

Wenn man die Bedingung der Stationarität aufgibt, muss auf der linken Seite der obigen Gleichung bei $A_i$ zu den Raumkoordinaten das Zeitargument $t$ hinzugefügt werden, während auf der rechten Seite in $j_i'$ die sog. „retardierte Zeit“ $t':=t-\tfrac{|\vec r -\vec r^{\,'}|}{c}$ zu ergänzen ist. Es wird dabei wie zuvor über die drei Raumkoordinaten $\vec r^{\,'}$ integriert. Schließlich ist $c$ die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum.

Literatur

• Otto Forster: Analysis. Band 3: Integralrechnung im Rⁿ mit Anwendungen. 4. Auflage. Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 2007, ISBN 978-3-528-37252-1.
• John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds (= Graduate Texts in Mathematics 218). Springer-Verlag, New York NY u. a. 2003, ISBN 0-387-95448-1.