Algebra (Mengensystem)
In der Mathematik ist eine (Mengen-)Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und komplementstabil ist (Ereignissystem).
Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Körpers in der Zahlentheorie eine Mengenalgebra „Körper“, in Analogie zu seiner Bezeichnung „Ring“ für einen Mengenverband.[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, außerdem unterscheidet sich dieser Begriff des Körpers wesentlich von dem eines Körpers im Sinne der Algebra.
Auch das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra, der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra, also einer anderen speziellen algebraischen Struktur.
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[Bearbeiten] Definition
Sei
eine beliebige Menge. Ein System
von Teilmengen von
heißt eine Mengenalgebra oder Algebra über
, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
(
ist nicht leer).
(Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
(Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Komplement).
[Bearbeiten] Beispiele
- Für jede beliebige Menge
ist
die kleinste und die Potenzmenge
die größte mögliche Mengenalgebra. - Jede σ-Algebra ist eine Mengenalgebra (aber nicht jede Mengenalgebra ist eine σ-Algebra).
[Bearbeiten] Eigenschaften
- Jede Mengenalgebra
über
enthält immer
und auch die leere Menge
, denn
enthält mindestens ein Element
und damit sind
sowie 
- Das 6-Tupel
mit der Mengenalgebra
ist eine boolesche Algebra im Sinne der Algebra, wobei
für alle
(Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt). Die leere Menge
entspricht dabei dem Nullelement und
dem Einselement.
- Ist umgekehrt
ein Mengensystem, so dass
eine boolesche Algebra ist (im Sinne der Algebra), dann ist
offensichtlich auch eine Mengenalgebra.
- Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder endliche Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra
in ihr enthalten ist, d. h. für alle
gilt:
und 
und 
[Bearbeiten] Äquivalente Definitionen
Wenn
ein System von Teilmengen von
ist und wenn
Mengen sind, dann sind wegen
und
folgende zwei Aussagen äquivalent:

und falls
auch 
Bezeichnet darüber hinaus
die symmetrische Differenz von
so sind wegen
und
sowie
äquivalent:
ist eine Mengenalgebra.
ist ein Mengenverband und es gilt: 
ist eine boolesche Algebra im Sinne der Algebra.
ist ein Mengenring und 
ist eine Mengenhalbalgebra und es gilt: 
ist ein unitärer Ring im Sinne der Algebra.
ist ein boolescher Ring im Sinne der Algebra.
und es gilt: 
und es gilt:
und 
und es gilt:
und 
[Bearbeiten] Verwandte Strukturen
- Wenn eine Mengenalgebra sogar bezüglich der Vereinigung abzählbar unendlich vieler ihrer Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man eine σ-(Mengen-)Algebra.
[Bearbeiten] Siehe auch
[Bearbeiten] Einzelnachweise
- ↑ Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. S. 12.
[Bearbeiten] Literatur
- Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Aufl.. W. de Gruyter, Berlin–New York 1992. ISBN 3-11-013626-0
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. ISBN 3-540-15307-1
- Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Aufl.. Bibliographisches Institut, Zürich 1985. ISBN 3-411-03102-6
- Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 3. Inp bis Mon. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 2001. ISBN 3-8274-0435-5 (teilweise sehr fehlerhaft)
(
(Stabilität/
(Stabilität/
die kleinste und die
die größte mögliche Mengenalgebra.
, denn
und damit sind
sowie 
mit der Mengenalgebra
ist eine
für alle
(Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich
gilt:
und 
und 

und falls
auch 



ist ein
und es gilt:
und 