Algebra (Mengensystem)

In der Mathematik ist eine (Mengen-)Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und komplementstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Körpers in der Zahlentheorie eine Mengenalgebra „Körper“, in Analogie zu seiner Bezeichnung „Ring“ für einen Mengenverband. Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, außerdem unterscheidet sich dieser Begriff des Körpers wesentlich von dem eines Körpers im Sinne der Algebra.

Auch das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra, der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra, also einer anderen speziellen algebraischen Struktur.

Definition

Sei $\Omega$ eine beliebige Menge. Ein System $\mathcal A$ von Teilmengen von $\Omega$ heißt eine Mengenalgebra oder Algebra über $\Omega$, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $\mathcal A \neq \emptyset$ ($\mathcal A$ ist nicht leer).
2. $A, B\in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. $A\in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Komplement).

Beispiele

• Für jede beliebige Menge $\Omega$ ist $\{\emptyset, \Omega\}$ die kleinste und die Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ die größte mögliche Mengenalgebra.
• Jede σ-Algebra ist eine Mengenalgebra (aber nicht jede Mengenalgebra ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

• Jede Mengenalgebra $\mathcal A$ über $\Omega$ enthält immer $\Omega$ und auch die leere Menge $\emptyset$, denn $\mathcal A$ enthält mindestens ein Element $A$ und damit sind $\Omega = A \cup (\Omega \setminus A) = A \cup A^{\mathrm c} \in \mathcal A$ sowie $\emptyset = \Omega \setminus \Omega = \Omega^{\mathrm c} \in \mathcal A.$
• Das 6-Tupel $(\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c})$ mit der Mengenalgebra $\mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega)$ ist eine boolesche Algebra im Sinne der Verbandstheorie, wobei $A \cap B = (A^{\mathrm c} \cup B^{\mathrm c})^{\mathrm c} \in \mathcal A$ für alle $A,B \in \mathcal A$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Durchschnitt). Die leere Menge $\emptyset$ entspricht dabei dem Nullelement und $\Omega$ dem Einselement.

Ist umgekehrt $\mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega)$ ein Mengensystem, so dass $(\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c})$ eine boolesche Algebra ist, dann ist $\mathcal A$ offensichtlich auch eine Mengenalgebra.

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder endliche Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra $\mathcal A$ in ihr enthalten ist, d. h. für alle $n \in \mathbb N$ gilt:

$A_1, \dots, A_n \in \mathcal A \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal A$ und $A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal A,$

$\bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal A$ und $\bigcap\emptyset = \Omega \in \mathcal A.$

Äquivalente Definitionen

Wenn $\mathcal A$ ein System von Teilmengen von $\Omega$ ist und wenn $A,B$ Mengen sind, dann sind wegen $A \cap B = A \setminus (A \setminus B)$ und $A \setminus B = A \setminus (A \cap B)$ folgende zwei Aussagen äquivalent:

• $A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A.$
• $A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cap B \in \mathcal A$ und falls $B \subseteq A$ auch $A \setminus B \in \mathcal A.$

Bezeichnet darüber hinaus $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)$ die symmetrische Differenz von $A,B,$ so sind wegen $A \setminus B = A \cap B^{\mathrm c}$ und $A \setminus B = A \triangle (A \cap B)$ sowie $A \cup B = (A^{\mathrm c} \cap B^{\mathrm c})^{\mathrm c}$ äquivalent:

• $\mathcal A$ ist eine Mengenalgebra.
• $\mathcal A$ ist ein Mengenverband und es gilt: $A\in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A$.
• $(\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c})$ ist eine boolesche Algebra.
• $\mathcal A$ ist ein Mengenring und $\Omega \in \mathcal A$.
• $\mathcal A$ ist eine Mengenhalbalgebra und es gilt: $A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A$.
• $(\mathcal A, \triangle, \cap, \Omega)$ ist ein unitärer Ring im Sinne der Algebra mit Addition $\triangle$, Multiplikation $\cap$ und Eins $\Omega$.
• $(\mathcal A, \triangle, \cap, \Omega)$ ist ein boolescher Ring.
• $(\mathcal A, \triangle, \cap, \Omega, \cdot)$ mit der Skalarmultiplikation $\cdot\colon \mathbb{F}_2 \times \mathcal A \to \mathcal A, (0, A) \mapsto \emptyset, (1, A) \mapsto A$ ist eine unitäre Algebra im Sinne der Algebra über dem Körper $\mathbb{F}_2$.
• $\Omega \in \mathcal A$ und es gilt: $A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A$.
• $\mathcal A \neq \emptyset$ und es gilt: $A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A$ und $A^{\mathrm c} \in \mathcal A$.
• $\mathcal A \neq \emptyset$ und es gilt: $A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cap B \in \mathcal A$ und $A^{\mathrm c} \in \mathcal A$.

Verwandte Strukturen

• Die Mengenalgebren sind genau die Mengenringe, die die Grundmenge $\Omega$ enthalten. Fasst man Mengenringe als Ring im Sinne der Algebra mit der symmetrischen Differenz als Addition und dem Durchschnitt als Multiplikation auf, so sind die Mengenalgebren gerade die unitären Ringe (d. h. mit Eins-Element) dieser Gestalt.
• Wenn eine Mengenalgebra sogar bezüglich der Vereinigung abzählbar unendlich vieler ihrer Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man eine σ-(Mengen-)Algebra.

Siehe auch

• Mengenlehre

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2., überarbeitete Auflage. W. de Gruyter, Berlin u. a. 1992, ISBN 3-11-013626-0.
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 7., korrigierte und aktualisierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2011, ISBN 978-3-642-17904-4, doi:10.1007/978-3-642-17905-1.
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2., überarbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1985, ISBN 3-411-03102-6.