Satz von Cauchy (Gruppentheorie)

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Der Satz von Cauchy ist ein mathematischer Satz der Gruppentheorie, die Existenz von Elementen in einer endlichen Gruppe mit bestimmten Ordnungen nachweist. Der Satz ist nach dem französischen Mathematiker Augustin-Louis Cauchy benannt, der ihn 1845 bewiesen hat.[1]

Aussage[Bearbeiten]

Der Satz von Cauchy besagt:[2][3]

Wenn eine Primzahl p die Gruppenordnung einer endlichen Gruppe G teilt, dann enthält G ein Element der Ordnung p.

Einordnung[Bearbeiten]

Der Satz ist eine teilweise Umkehrung des Satzes von Lagrange, der besagt, dass die Ordnung einer beliebigen Untergruppe einer endlichen Gruppe G die Ordnung von G teilt: Zu jedem Primteiler p der Gruppenordnung, so ließe sich der Satz von Cauchy auch formulieren, existiert (wenigstens) eine Untergruppe der Ordnung p.

Man kann den Satz auch als Spezialfall des 1. Sylow-Satzes betrachten, der besagt, dass es zu jedem Teiler n der Gruppenordnung, der eine Primzahlpotenz n=p^r ist, eine Untergruppe der Ordnung n, also eine p-Untergruppe von G gibt. Die Sylow-Sätze wurden von Peter Ludwig Mejdell Sylow erheblich später als der Satz von Cauchy, im Jahr 1872 bewiesen und für den induktiv geführten Beweis des 1. Satzes wird die Aussage des Satzes von Cauchy als Induktionsanfang benötigt.

Beweisidee[Bearbeiten]

Der hier angedeutete Beweis findet sich im Lehrbuch von Hungerford[4] und geht auf den Mathematiker J. H. McKay[5] zurück. Sei G eine endliche Gruppe und p ein Primteiler ihrer Gruppenordnung. Man betrachtet die Menge M aller p-Tupel (g_1, g_2,\ldots g_p)\in G^p mit der Eigenschaft, dass das Produkt g_1\cdot g_2\cdots g_p=e, also gleich dem neutralen Element e von G ist. Auf dieser Menge operiert die zyklische Gruppe mit p Elementen C_p durch zyklische Vertauschung. M enthält genau |G|^{p-1} Elemente, denn bei beliebiger Vorgabe der ersten p-1 Gruppenelemente im Tupel gibt es immer genau ein letztes Element, so dass das Tupel in M liegt – das inverse Element des vorgegebenen Produkts. Ein Element von M wird durch diese Operation von C_p genau dann fixiert, wenn es als Einträge p mal dasselbe Gruppenelement g hat. Sicher ist das Tupel, das p mal das Einselement g=e von G enthält, ein solches Fixelement, also existieren solche Fixelemente. Aus der Bahnformel folgt nun, dass für jede Bahn in M, die Anzahl n ihrer Elemente ein Teiler der Ordnung von C_p, also von p ist. Da p eine Primzahl ist, kann also nur n=1 oder n=p gelten. Die Menge M zerfällt nun in solche Bahnen, daher muss die Anzahl der Fixelemente (n=1) ein Vielfaches von p sein, da auch |M|=|G|^{p-1} wie |G| nach Voraussetzung von p geteilt wird.

Folgerung[Bearbeiten]

Nach dem Satz von Cayley ist jede endliche Gruppe isomorph zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe S_n. Man kann sich nun fragen, wie groß n für eine solche (treue!) Darstellung als Permutationsgruppe mindestens sein muss. Ist m die Ordnung der Gruppe G, dann kann man explizit eine Darstellung mit n=m angeben, aber dieser Wert ist nur in wenigen Spezialfällen minimal. Ein Element von Primzahlpotenzordnung n=p^r kann nur treu auf einer Menge operieren, die wenigstens n=p^r Elemente enthält. Die Existenz eines solchen Elementes kann aus der Ordnung von G allein nur im Fall r=1 gefolgert werden – und dass eben ist Cauchys Spezialfall des ersten Sylowsatzes.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Thomas W. Hungerford: Algebra. 5 Auflage. Springer, New York 1989, ISBN 0-387-90518-9, I.5, S. 93.
  •  Martin Hertweck, Universität Stuttgart (Hrsg.): Skript zur Vorlesung Theorie der endlichen Gruppen. 2008, 6, S. 20 (http://www.igt.uni-stuttgart.de/LstDiffgeo/Hertweck/preprints/GT_Stgt08.pdf PDF_Datei des Skriptes, abgerufen am 20. März 2013).
  •  Hans Wussing: Die Genesis des abstrakten Gruppenbegriffs. Ein Beitrag zur Entstehungsgeschichte der abstrakten Gruppentheorie. VEB Verlag Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1969 (Zur Geschichte des Satzes).
  •  James McKay: Another proof of Cauchy's group theorem. In: American Mathematical Monthly. Nr. 66, 1959, S. 119 (Beweis des Satzes).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wussing (1969)
  2. Hertweck (2008), Satz 6.11,
  3. Hungerford (1989) Satz 5.2
  4. Hungerford (1989), S. 93
  5. McKay (1959)