Schiefe (Statistik)

Die Schiefe (Englischer Fachausdruck: Skew bzw. Skewness) beschreibt die „Neigungsstärke“ einer statistischen Verteilung $X$. Sie zeigt an, ob und wie stark die Verteilung nach rechts (positive Schiefe) oder nach links (negative Schiefe) geneigt ist. Jede nicht symmetrische Verteilung heißt schief.

Definition

Die Schiefe v(X) einer Zufallsvariablen X ist das zentrale Moment 3. Ordnung µ₃(X) normiert auf die Varianz σ_X:

$\operatorname{v}(X) := \frac{\mu_3(X)}{\sigma^3(X)} = \operatorname{E} \left[ \left( \frac{X - m_X}{\sigma_X} \right)^3 \right] = \frac{\operatorname{E}\left(X^3\right)-3\operatorname{Var}(X)\operatorname{E}(X)-\operatorname{E}(X)^3}{\operatorname{Var}(X)^{\frac{3}{2}}}$.

mit dem Erwartungswert m_X := E(X).

• Bei negativer Schiefe, v < 0, spricht man von linksschief, die Verteilung fällt auf der linken Seite flacher ab als auf der Rechten; es gibt relativ wenig niedrige Werte. Modus > Erwartungswert.
• Bei positiver Schiefe, v > 0, spricht man von rechtsschief, die Verteilung fällt umgekehrt auf der rechten Seite flacher ab, als auf der Linken; es gibt relativ wenig hohe Werte. Modus < Erwartungswert.

Die Schiefe ist invariant unter linearer Transformation mit a > 0:

$\operatorname{v}(aX+b)=\operatorname{v}(X)$

Empirische Schiefe

Zur Berechnung der Schiefe einer empirischen Häufigkeitsverteilung wird die folgende Formel benutzt:

$v = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3$

Damit die Schiefe unabhängig von der Maßeinheit der Variablen ist, werden die Meßwerte mit Hilfe des arithmetischen Mittelwertes $\bar{x}$ und der Standardabweichung $s$ der Beobachtungswerte $x_i$

$z_i = \frac{x_i-\bar{x}}{s}$

standardisiert. Durch die Standardisierung gilt

$\bar{z}=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i = 0$ und $s_z=\frac1n\sum_{i=1}^n z_i^2 = 1$.

Schätzung der Schiefe einer Grundgesamtheit

Zur Schätzung der unbekannten Schiefe $\nu$ einer Grundgesamtheit mittels Stichprobendaten $x_1,\ldots,x_n$ ($n$ der Stichprobenumfang) müssen der Erwartungswert und die Varianz aus der Stichprobe geschätzt werden, d.h. die theoretischen durch die empirischen Momente ersetzt werden:

$\hat{\nu} = \frac1n \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3$

mit $\bar{x}$ der Stichprobenmittelwert und $s$ die Stichprobenstandardabweichung. Dieser Schätzer ist jedoch nicht erwartungstreu im Gegensatz zu

$\hat{\nu}' = \frac{n}{(n-1)(n-2)} \sum_{i=1}^n \left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3$.

Quantilskoeffizient der Schiefe

Der Quantilskoeffizient der Schiefe beschreibt die normierte Differenz zwischen der Entfernung des $\alpha-$ und des $(1-\alpha)$-Quantils zum Median. Er wird also wie folgt berechnet:

$QS = \frac{(x_{1-\alpha} - x_{0.5}) - ({x_{0.5} - x_{\alpha}})}{x_{1-\alpha} - x_{\alpha}}$, $\alpha\in (0,0.5)$

Dabei kann der Quantilskoeffizient Werte zwischen -1 und 1 annehmen. Eine vollständig symmetrische Verteilung besitzt Quantilskoeffizienten von 0; eine rechtssteile (linkssteile) Verteilung besitzt in der Regel einen negativen (positiven) Quantilskoeffizienten. Für $\alpha=0.25$ ergibt sich der Quartilskoeffizient.

Deutung

Beispiel von experimentellen Daten mit einer positiven Schiefe

Ist $\operatorname{v}>0$, so ist die Verteilung rechtsschief, ist $\operatorname{v}<0$, ist die Verteilung linksschief (auch genannt rechtssteil). Bei rechtsschiefen (oder linkssteilen) Verteilungen sind Werte, die kleiner sind als der Mittelwert, häufiger zu beobachten, so dass sich der Gipfel (Modus) links vom Mittelwert befindet; der rechte Teil des Graphs ist flacher als der linke. Gilt $\operatorname{v}=0$, so ist die Verteilung auf beiden Seiten ausgeglichen. Bei symmetrischen Verteilungen ist immer $\operatorname{v}=0$. Umgekehrt müssen Verteilungen mit $\operatorname{v}=0$ nicht streng symmetrisch sein.

Die Schiefe ist ein Maß für die Asymmetrie einer Wahrscheinlichkeitsverteilung zum Mittelwert. Da die Gaußsche Normalverteilung symmetrisch ist, d.h. eine Schiefe von Null besitzt, ist die Schiefe eine mögliche Maßzahl, um eine Verteilung mit der Normalverteilung zu vergleichen. (Für einen Test dieser Eigenschaft siehe z. B. den Kolmogorow-Smirnow-Test.)

Nicht nur die Normalverteilung weist eine Schiefe von Null auf. Auch beliebige andere in Bezug auf den Mittelwert gänzlich symmetrische Verteilungen weisen eine Schiefe von Null auf. Ein Beispiel stellt eine bimodale und symmetrische Verteilung dar.

Interpretation der Schiefe

Rechtsschiefe Verteilungen findet man z. B. häufig beim Pro-Kopf-Einkommen. Hier gibt es einige wenige Personen mit extrem hohem Einkommen und sehr viele Personen mit eher niedrigem Einkommen. Durch die 3. Potenz erhalten die wenigen sehr extremen Werte ein hohes Gewicht und es entsteht ein Schiefemaß mit positivem Vorzeichen. Es gibt verschiedene Formeln, um die Schiefe zu berechnen. Die gängigen Statistikpakete wie SPSS, SYSTAT, Stata etc. nutzen besonders im Falle einer kleinen Fallzahl von obiger, momentbasierter Berechnungsvorschrift abweichende Formeln.

Siehe auch

• Wölbung (Statistik)

Literatur

• W. H. Press et al.: Numerical Recipes in C. 2. Auflage. Cambridge University Press, 1992, Kapitel 14.1.