Basler Problem

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Das Basler Problem ist ein mathematisches Problem, das für längere Zeit ungelöst war und mit dem sich anfangs vor allem Basler Mathematiker befassten. Es handelt sich um die Frage nach der Summe der reziproken Quadratzahlen, also nach dem Wert der Reihe

\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2} = \frac1{1^2}+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\cdots=1+\frac14+\frac19+\frac1{16}+\cdots.

Es wurde 1735 durch Leonhard Euler gelöst, der den Reihenwert \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644934 fand.

Lösungsversuche[Bearbeiten]

1644 fragte sich der Italiener Pietro Mengoli, ob diese Summe konvergiere, und wenn ja, gegen welchen Wert, konnte diese Frage aber nicht beantworten. Etwas später erfuhr der Basler Mathematiker Jakob Bernoulli von diesem Problem, fand jedoch auch keine Lösung (1689). Daraufhin versuchten sich mehrere Mathematiker an der Fragestellung, waren aber alle erfolglos. 1726 begann Leonhard Euler, ebenfalls Basler Mathematiker und Schüler von Jakob Bernoullis Bruder Johann, sich mit dem Problem zu befassen. 1735 fand er die Lösung und veröffentlichte sie in seinem Werk "De Summis Serierum Reciprocarum".

Eulers Lösung[Bearbeiten]

Für seine ursprüngliche Lösung betrachtete Euler die Taylorreihe der Kardinalsinusfunktion, also

 \mathrm{sinc}(x) = \frac{\sin(x)}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + - \cdots

und setzte sie mit der Produktdarstellung jener Funktion gleich.

 \frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \left( 1 - \frac{x^2}{\pi^2 n^2} \right) = \left(1 - \frac{x^2}{\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{4\pi^2} \right)\left(1 - \frac{x^2}{9\pi^2} \right) \cdots = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + - \cdots

Durch Ausmultiplizieren und Sortieren nach  x^2 erhält man:

  -x^2 \left(\frac{1}{\pi^2} + \frac{1}{2^2\pi^2} + \frac{1}{3^2\pi^2} + \frac{1}{4^2\pi^2} + \cdots  \right) = - \frac{x^2}{3!} = - \frac{x^2}{6}

und daraus folgerte Euler seine Lösung:

 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} \approx 1{,}644934 \ldots

Auch verallgemeinerte Euler das Problem. Er untersuchte dafür die später riemannsche ζ-Funktion genannte Funktion

\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty\frac1{n^s} = \frac{1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots

und fand einen allgemeinen geschlossenen Ausdruck für alle geradzahligen natürlichen Argumente s = 2k, nämlich

 \zeta(2k) = (-1)^{k-1} \frac{(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} B_{2k},

wobei  B_{2k} die  2k -te Bernoulli-Zahl darstellt. Eine allgemeine Formel für ungeradzahlige natürliche Argumente s (siehe z.B. Apery-Konstante) ist bisher unbekannt.

Weblinks[Bearbeiten]