Ungleichung

Eine Ungleichung ist ein Gegenstand der Mathematik, mit dem Größenvergleiche formuliert und untersucht werden können. Jede Ungleichung besteht aus zwei Termen, die durch eines der Vergleichszeichen < (Kleinerzeichen), ≤ (Kleinergleichzeichen), ≥ (Größergleichzeichen) oder > (Größerzeichen) verbunden sind.

Sind $T_{1}$ und $T_{2}$ zwei Terme, dann ist beispielsweise $T_{1}<T_{2}$ eine Ungleichung. Man spricht „$T_{1}$ kleiner (als) $T_{2}$“. Wie bei einer Gleichung heißt $T_{1}$ die linke Seite und ${T_{2}}$ die rechte Seite der Ungleichung.

Die in den beiden Termen auftretenden Werte sind meist reelle Zahlen. Die durch das Vergleichszeichen angesprochene Ordnungsrelation bezieht sich dann auf die natürliche Anordnung der reellen Zahlen.

Formen von Ungleichungen

Folgende fünf Formen von Ungleichungen sind möglich:

(1) ${T_{1}}<{T_{2}}$ (${T_{1}}$ kleiner ${T_{2}}$)

(2) ${T_{1}}\leq {T_{2}}$ (${T_{1}}$ kleiner oder gleich ${T_{2}}$)

(3) ${T_{1}}>{T_{2}}$ (${T_{1}}$ größer ${T_{2}}$)

(4) ${T_{1}}\geq {T_{2}}$ (${T_{1}}$ größer oder gleich ${T_{2}}$)

(5) ${T_{1}}\neq {T_{2}}$ (${T_{1}}$ ungleich ${T_{2}}$)

Die Form (5) entsteht durch Negation einer Gleichung. Sie wird daher in der Mathematik in der Regel nicht eigens thematisiert.

Ungleichungen sind Aussageformen. Die auf den beiden Seiten einer Ungleichung vorkommenden funktionalen Terme beinhalten in der Regel Variablen, welche stellvertretend für Elemente aus dem Definitionsbereich der jeweiligen Terme stehen. Werden diese Variablen durch feste Elemente der jeweiligen Definitionsbereiche ersetzt (Einsetzen), so entstehen Aussagen, welche entweder wahr oder falsch sind.

Umformung von Ungleichungen

Ähnlich wie bei Gleichungen ist es auch bei Ungleichungen möglich diese in äquivalente Ungleichungen umzuformen. Äquivalente Ungleichungen haben die gleichen Lösungsmengen, daher ist das Umformen von Ungleichungen wichtig zum Lösen von Ungleichungen, worauf der hierauf folgende Abschnitt eingehen wird. Die folgenden Gesetze werden für die Vergleichszeichen < und > dargestellt, sie gelten ganz analog auch für die Vergleichszeichen ≤, ≥ und ≠.

Umkehrbarkeit

Ungleichungen können umgekehrt werden:

$({T_{1}}\leq {}{T_{2}})\Leftrightarrow ({T_{2}}\geq {}{T_{1}})\,.$

Monotoniegesetze

Addition und Subtraktion

Invarianz der Kleiner-Relation bei der Addition mit einer Zahl auf beiden Seiten der Ungleichung

Für beliebige Terme $T_{1}$, $T_{2}$ und $T_{3}$ gilt:

• Es ist $T_{1}<T_{2}$ genau dann, wenn $T_{1}+T_{3}<T_{2}+T_{3}$.
• Es ist $T_{1}<T_{2}$ genau dann, wenn $T_{1}-T_{3}<T_{2}-T_{3}$.

Es dürfen also auf beiden Seiten einer Ungleichung die gleichen Terme addiert oder subtrahiert werden, ohne dass sich die Lösungsmenge der Ungleichung ändert. Beispielsweise vereinfacht sich die Ungleichung $5x<4x+7$ durch Subtraktion des Terms $4x$ auf beiden Seiten zu der äquivalenten Ungleichung $x<7$.

Multiplikation und Division

Die Regel $a>0\land x<y\Rightarrow ax<ay$

Die Regel $a<0\land x<y\Rightarrow ax>ay$

Für beliebige Terme $T_{1}$, $T_{2}$ und $T_{3}$ gilt:

• Aus $T_{1}<T_{2}$ folgt $-T_{1}>-T_{2}$.
• Aus $0<T_{1}<T_{2}$ folgt $0<1/T_{2}<1/T_{1}$.
• Aus $T_{3}>0$ und $T_{1}<T_{2}$ folgt $T_{1}T_{3}<T_{2}T_{3}$ und $T_{1}/T_{3}<T_{2}/T_{3}$.
• Aus $T_{3}<0$ und $T_{1}<T_{2}$ folgt $T_{1}T_{3}>T_{2}T_{3}$ und $T_{1}/T_{3}>T_{2}/T_{3}$.

Hier gilt demnach folgende Merkregel:

Bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl > 0 bleiben die Vergleichszeichen erhalten, während sie sich bei Punktrechnung mit einer reellen Zahl < 0 umkehren.

So sind zum Beispiel die Ungleichungen $-3x<12$ und $x>-4$ äquivalent, wie man mit Hilfe von Division durch $-3$ sieht.

Anwenden einer Funktion

Durch Anwenden einer streng monotonen Funktion auf beide Seiten einer Ungleichung erhält man wieder eine Ungleichung mit derselben Lösungsmenge wie die Ausgangs-Ungleichung.

Ähnlich wie bei den Monotoniegesetzen allerdings muss auch hier unter Umständen das Vergleichszeichen gedreht werden. Wendet man nämlich eine streng monoton wachsende Funktion auf beide Seiten an, ändert sich das Vergleichszeichen dadurch nicht, wohl aber, wenn man eine streng monoton fallende Funktion benutzt: In diesem Fall muss das Vergleichszeichen < dann durch das entsprechend umgekehrte Zeichen > ersetzt werden, analog das Vergleichszeichen ≤ durch das ≥-Zeichen und umgekehrt.

Beispiele

Der natürliche Logarithmus $\ln$ und die Wurzelfunktion ${\sqrt {\,}}$ sind streng monoton wachsende Funktionen und können daher, ohne dass man dabei die Vergleichszeichen drehen müsste, zur Umformung von Ungleichungen verwendet werden. Seien $T_{1},T_{2}$ zwei Terme, gilt dann dementsprechend zum Beispiel

$0<T_{1}<T_{2}\Leftrightarrow \ln(T_{1})<\ln(T_{2})\Leftrightarrow {\sqrt {T_{1}}}<{\sqrt {T_{2}}}\,.$

Vorsicht dagegen ist geboten, wenn es sich um Exponentialfunktionen handelt, die je nach ihrer Basis $a$ streng monoton steigend, aber auch fallend sein können:

$0<T_{1}<T_{2}\Leftrightarrow a^{T_{1}}<a^{T_{2}}\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a>1,\ aber:}}\quad a^{T_{1}}>a^{T_{2}}\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a<1}}.$

Gleiches gilt für Logarithmen beliebiger Exponenten:

$0<T_{1}<T_{2}\Leftrightarrow \log _{a}(T_{1})<\log _{a}(T_{2})\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a>1,\ aber:}}\quad \log _{a}(T_{1})>\log _{a}(T_{2})\quad {\mathtt {f{\ddot {u}}r\ a<1}}.$

Zum Beispiel:

$0<0,8^{n}\leq 0,05\quad {\mathtt {aber:}}\quad n\,\geq \,{\frac {\ln(0,05)}{\ln(0,8)}}\approx 13,43$

Lösen von Ungleichungen

→ Hauptartikel: Lösen von Ungleichungen

Eine Frage beim Umgang mit Ungleichungen ist - ähnlich wie bei der Lösung von Gleichungen - die Frage nach der Lösungsmenge der Ungleichung. Hier ist die Frage zu beantworten, ob und wenn ja welche Elemente der Definitionsbereiche beim Einsetzen in die beiden Terme eine wahre oder falsche Aussage liefern. Eine wichtige Technik zum Finden der Lösungsmenge ist das Umformen der Ungleichung in eine einfachere Form.

Bekannte Ungleichungen

In allen mathematischen Teilgebieten gibt es Sätze zur Gültigkeit von Ungleichungen. Das heißt, gewisse mathematische Aussagen sichern unter bestimmten Umständen die Richtigkeit einer vorgegebenen Ungleichung für eine gewisse Definitionsmenge. Im Folgenden werden einige wichtige Ungleichungen kurz erwähnt.

Dreiecksungleichung

→ Hauptartikel: Dreiecksungleichung

Nach der Dreiecksungleichung ist im Dreieck die Summe der Längen zweier Seiten $a$ und $b$ stets mindestens so groß wie die Länge der dritten Seite $c$. Das heißt formal $c\leq a+b$.

Diese Ungleichung kann für viele mathematische Objekte verallgemeinert werden. Beispielsweise ist die Ungleichung

$|a+b|\leq |a|+|b|$

für die Betragsfunktion eine Verallgemeinerung der zuvor genannten Ungleichung und gilt für alle reellen Zahlen. Sie trägt ebenfalls den Namen Dreiecksungleichung. Diese Ungleichung kann auch für Betrag komplexer Zahlen oder für Integrale verallgemeinert werden (siehe Minkowski-Ungleichung).

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

→ Hauptartikel: Cauchy-Schwarzsche Ungleichung

Sei $V$ Prähilbertraum also ein Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ und seien $x$ und $y$ Elemente aus $V$, dann gilt immer die Ungleichung

$|\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle \,.$

Gleichheit gilt genau dann, wenn $x$ und $y$ linear abhängig sind. Vektorräume mit Skalarprodukt treten in vielen mathematischen Teilgebieten auf. Daher ist die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auch in vielen Teildisziplinen der Mathematik von Bedeutung, beispielsweise wird sie in der linearen Algebra, der Integrationstheorie und in der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet.

Weitere Ungleichungen

• Bernoullische Ungleichung
• Bonferroni-Ungleichungen
• Jensensche Ungleichung
• Markow-Ungleichung
• Mittel-Ungleichung
• Tschebyschow-Ungleichung
• Unterschiedliche Ungleichungen, die nach Young benannt sind

Erweiterung des Begriffes

Bis jetzt wurden in diesem Artikel nur Ungleichungen betrachtet, deren Terme Werte in den reellen Zahlen annehmen. Der Ungleichungsbegriff wird gelegentlich – jedoch nicht einheitlich – zum Beispiel auf komplexe Zahlen, Vektoren oder Matrizen erweitert. Um Ungleichungen für diese Objekte betrachten zu können, müssen zuerst die vier Vergleichszeichen <, ≤, > und ≥ - im Folgenden auch Relationen genannt - für diese Objekte definiert werden.

Komplexe Zahlen

Die Menge der komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ ist zusammen mit der üblichen Addition und Multiplikation ein Körper, jedoch ist es nicht möglich eine Relation ≤ so zu wählen, dass $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ zu einem geordneten Körper wird. Das heißt, es ist nicht möglich, dass eine Relation auf $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ sowohl das Trichotomie-, das Transitivitäts- und das Monotoniegesetz erfüllt. Jedoch wird manchmal eine Relation, die durch

$x<y:\Leftrightarrow \operatorname {Re} (x)<\operatorname {Re} (y)\lor \left(\operatorname {Re} (x)=\operatorname {Re} (y)\land \operatorname {Im} (x)<\operatorname {Im} (y)\right)$

definiert ist, betrachtet. Hierbei bezeichnen $x,y$ komplexe Zahlen und $\operatorname {Re}$ den Realteil beziehungsweise $\operatorname {Im}$ den Imaginärteil einer komplexen Zahl. Diese Definition der Relation erfüllt das Trichotomie- und das Transitivitätsgesetz.

Spaltenvektoren

Auch für Spaltenvektoren ist es möglich Relationen zu definieren. Seien $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ zwei Spaltenvektoren mit $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{T}$ und $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{T}$ wobei $x_{i}$ and $y_{i}$ reelle Zahlen sind. Relationen auf $\mathbb {R} ^{n}$ kann man dann beispielsweise durch

$x<y:\Leftrightarrow i=1,\ldots ,n:\ x_{i}<y_{i}$

und durch

$x\leq y:\Leftrightarrow i=1,\ldots ,n:\ x_{i}\leq y_{i}$

definieren. Analog kann man auch die Relationen ≥ und > erklären. Hier ist es allerdings nicht möglich, alle Elemente miteinander zu vergleichen. Beispielsweise kann keines der vier Vergleichszeichen ein Verhältnis zwischen den Elementen $x:=(2,5)^{T}$ und $y:=(3,4)^{T}$ beschreiben.

Weitere Beispiele

• Ist $A\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, so definiert man $A>0$ genau dann, wenn $A$ positiv definit ist. Sind $A,B\in \mathbb {R} ^{n\times n}$, so gilt $A>B$ genau dann, wenn $A-B>0$. Ähnlich können auch $<$ oder $\leq ,\geq$ (semidefinit) definiert werden.
• Sei $(E,\|\cdot \|)$ ein reeller Banachraum und $K\subseteq E$ ein Kegel. Sind $x,y\in E$, so gilt $x\leq y$ genau dann, wenn $y-x\in K$.

Literatur

• Walter Gellert, Herbert Kästner, Siegfried Neuber (Hrsg.): Fachlexikon ABC Mathematik. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/ Main 1978, ISBN 3-87144-336-0. 

• Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, George Polya: Inequalities. Reprint [of the 2. ed. 1952]. Cambridge University Press, Cambridge 1988, ISBN 0-521-35880-9. 

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 16. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 978-3-8351-0131-9.