Parallelogramm

Ein Parallelogramm (von altgriechisch παραλληλό-γραμμος paralleló-grammos „von zwei Parallelenpaaren begrenzt“) oder Rhomboid (rautenähnlich) ist ein konvexes ebenes Viereck, bei dem gegenüberliegende Seiten parallel sind.

Parallelogramme sind spezielle Trapeze und zweidimensionale Parallelepipede. Rechteck, Raute (Rhombus) und Quadrat sind Spezialfälle des Parallelogramms.

Eigenschaften

Ein Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

• Gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und keine zwei gegenüberliegende Seiten schneiden sich (kein überschlagenes Viereck, sogenanntes Antiparallelogramm).
• Zwei Seiten sind parallel und gleich lang.
• Gegenüber liegende Winkel sind gleich groß.
• Je zwei benachbarte Winkel ergeben zusammen 180°.
• Die Diagonalen halbieren einander.
• Die Summe der Flächen der Quadrate über den vier Seiten ist gleich der Summe der Flächen der Quadrate über den zwei Diagonalen (Parallelogrammgleichung).
• Es ist punktsymmetrisch (zweizählig drehsymmetrisch).

Für jedes Parallelogramm gilt:

• Jede Diagonale teilt es in zwei gleichsinnig kongruente Dreiecke.
• Sein Symmetriezentrum ist der Schnittpunkt der Diagonalen.
• Die Mittelpunkte der über seinen Seiten errichteten Quadrate bilden ein Quadrat (Satz von Thébault-Yaglom).

Alle Parallelogramme, die mindestens eine Symmetrieachse besitzen, sind Rechtecke oder Rauten.

Formeln

Mathematische Formeln zum Parallelogramm
Flächeninhalt	$A=a\cdot h_{a}=b\cdot h_{b}=\left|\left|{\overrightarrow {AB}}\times {\overrightarrow {AD}}\right|\right|$ $A=a\cdot b\cdot \sin(\alpha )=a\cdot b\cdot \sin(\beta )={\frac {e\cdot f\cdot \sin(\theta )}{2}}$ Über Transformation in ein Rechteck mit der Determinante: $A=\det {\begin{pmatrix}a_{x}&&b_{x}\\a_{y}&&b_{y}\end{pmatrix}}=a_{x}\cdot b_{y}-b_{x}\cdot a_{y}$
Umfang	$U=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot (a+b)$
Innenwinkel	$\alpha =\gamma ,\quad \beta =\delta ,\quad \alpha +\beta =180^{\circ }$
Höhe	$h_{a}=b\cdot \sin(\alpha )$
	$h_{b}=a\cdot \sin(\beta )$
Länge der Diagonalen (siehe Kosinussatz)	${\begin{array}{ccl}e&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\end{array}}$
	${\begin{array}{ccl}f&={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\alpha )}}\\&={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2\cdot a\cdot b\cdot \cos(\beta )}}\end{array}}$
Parallelogrammgleichung	$e^{2}+f^{2}=2\cdot (a^{2}+b^{2})$

Beweis der Flächenformel für ein Parallelogramm

Vom großen Rechteck werden sechs Teilflächen abgezogen

Animation zur Berechnung des Flächeninhalts eines Parallelogramms. Der Flächeninhalt ist gleich dem Produkt der Länge einer Grundseite $b$ mit der zugehörigen Höhe $h$.

Den Flächeninhalt $A$ des nebenstehenden schwarzen Parallelogramms kann man erhalten, indem man von der Fläche des großen Rechtecks die sechs kleinen Flächen mit bunten Kanten abzieht. Wegen der Symmetrie und der Vertauschbarkeit der Multiplikation kann man auch vom großen Rechteck das Doppelte der drei kleinen Flächen unterhalb des Parallelogramms abziehen. Es ist also:

${\begin{array}{cccl}A&=&&(\color {YellowOrange}a_{x}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {black})\cdot (\color {red}a_{y}\color {black}+\color {blue}b_{y}\color {black})-2\cdot (\color {YellowOrange}a_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\color {black}/2+\color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {blue}b_{y}\color {black}/2)\\&=&&\color {YellowOrange}a_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\color {black}+\color {YellowOrange}a_{x}\color {black}\cdot \color {blue}b_{y}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\color {black}+\color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {blue}b_{y}\\&&\color {black}-&\color {YellowOrange}a_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\color {black}\quad \quad \quad -2\cdot \color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\color {black}-\color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {blue}b_{y}\\&=&&\quad \quad \quad \quad \color {YellowOrange}a_{x}\color {black}\cdot \color {blue}b_{y}\color {black}-\color {ForestGreen}b_{x}\color {black}\cdot \color {red}a_{y}\end{array}}$

Konstruktion eines Parallelogramms

Ein Parallelogramm, bei dem die Seitenlängen $a$ und $b$ sowie die Höhe $h_{a}$ gegeben ist, ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Parallelogramm mit den gegebenen Seitenlängen $a$ und $b$ sowie der Höhe $h_{a}$. Für die Konstruktion des rechten Winkels ist der Punkt $E$ frei wählbar. Animation mit einer Pause von 10 s am Ende.

Verallgemeinerungen

Parallelepiped

Eine Verallgemeinerung auf $n$ Dimensionen ist das Parallelotop, erklärt als die Menge $\{\alpha _{1}\cdot p_{1}+\alpha _{2}\cdot p_{2}+\dotsb +\alpha _{n}\cdot p_{n}\mid 0\leq \alpha _{i}\leq 1\}$ sowie deren Parallelverschiebungen. Die $p_{i}$ sind dabei $n$ linear unabhängige Vektoren. Parallelotope sind punktsymmetrisch.

Das dreidimensionale Parallelotop ist das Parallelepiped. Seine Seitenflächen sind sechs paarweise kongruente und in parallelen Ebenen liegende Parallelogramme. Ein Parallelepiped hat zwölf Kanten, von denen je vier parallel verlaufen und untereinander gleich lang sind, und acht Ecken, in denen diese Kanten in maximal drei verschiedenen Winkeln zueinander zusammenlaufen.

Verwendung in der Technik

Parallelogramme finden sich häufig in der Mechanik. Durch vier Gelenke kann eine bewegliche, parallelentreue Lagerung hergestellt werden, die sogenannte Parallelogrammführung. Beispiele:

• 
  Schaltparallelogramm einer Kettenschaltung
• 
  Parallel-Scheibenwischer
• 
  Hubarbeitsbühne
• 
  Pantograph

Literatur

• F. Wolff: Lehrbuch der Geometrie. Vierte verbesserte Auflage, Druck und Verlag von G. Reimer, Berlin 1845 (Online-Kopie).
• P. Kall: Lineare Algebra für Ökonomen. Springer Fachmedien, Wiesbaden 1984, ISBN 978-3-519-02356-2.
• Wilhelm Killing: Lehrbuch Der Analytischen Geometrie. Teil 2, Outlook Verlagsgesellschaft, Bremen 2011, ISBN 978-3-86403-540-1.

Weblinks

Commons: Parallelogramm – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Parallelogramm – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Rhomboid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Eric W. Weisstein: Parallelogram. In: MathWorld (englisch).
• Flächen- und Umfangsberechnung von allgemeinen und speziellen Parallelogrammen. (Memento vom 11. Januar 2015 im Internet Archive). Abgerufen am 18. November 2016.
• Einführung in das Thema Parallelogramm. (PDF; 920 kB). Abgerufen am 18. November 2016.
• Parallelogramm und Raute. (Memento vom 19. November 2016 im Internet Archive; PDF; 225 kB). Abgerufen am 18. November 2016.