Spezifischer Widerstand

Physikalische Größe
Name	spezifischer Widerstand
Formelzeichen	$\rho$
Größen- und Einheitensystem Einheit Dimension SI Ω·mm2·m−1 Gauß, esE (cgs) s T emE (cgs) abΩ·cm L2·T−1
Siehe auch: elektrische Leitfähigkeit

Der spezifische Widerstand (kurz für spezifischer elektrischer Widerstand oder auch Resistivität) ist eine temperaturabhängige Materialkonstante mit dem Formelzeichen $\rho$ (griechisch rho). Er wird vor allem zur Berechnung des elektrischen Widerstandes einer (homogenen) elektrischen Leitung oder einer Widerstands-Geometrie genutzt. Die abgeleitete SI-Einheit für diesen Zweck ist $[\rho ]=\mathrm {\tfrac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}$. Für wissenschaftliche Zwecke wird üblicherweise die Einheit $[\rho ]=\Omega \mathrm {m}$ (dimensionengekürzt) genutzt.

Der Kehrwert des spezifischen Widerstands ist die elektrische Leitfähigkeit.

Ursache und Temperaturabhängigkeit

Verantwortlich für den spezifischen elektrischen Widerstand in reinen Metallen sind zwei Anteile, die sich gemäß der Matthiessenschen Regel überlagern:

• Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Gitterschwingungen (Phononen); dieser Anteil ist von der Temperatur abhängig, und
• Stöße der Ladungsträger (hier Elektronen) mit Verunreinigungen, Fehlstellen und Gitterbaufehlern; dieser Anteil ist nicht von der Temperatur, sondern von der Konzentration der Gitterfehler abhängig.

Der temperaturabhängige Anteil am spezifischen Widerstand ist bei allen Leitern in einem jeweils begrenzten Temperaturbereich näherungsweise linear:

$\rho (T)=\rho (T_{0})\cdot (1+\alpha \cdot (T-T_{0}))$

wobei α der Temperaturkoeffizient, T die Temperatur und T₀ eine beliebige Temperatur, z. B. T₀ = 293,15 K = 20 °C, bei der der spezifische elektrische Widerstand ρ(T₀) bekannt ist (siehe Tabelle unten).

Je nach Vorzeichen des linearen Temperaturkoeffizienten unterscheidet man zwischen Kaltleitern (engl.: positive temperature coefficient of resistance, PTC) und Heißleitern (engl.: negative temperature coefficient of resistance, NTC). Die lineare Temperaturabhängigkeit gilt nur in einem begrenzten Temperaturintervall. Dieses kann bei reinen Metallen vergleichsweise groß sein. Darüber hinaus muss man Korrekturen anbringen (siehe auch: Kondo-Effekt).

Reine Metalle haben einen positiven Temperaturkoeffizienten des spezifischen elektrischen Widerstandes von etwa 0,36 %/K bis über 0,6 %/K. Bei Platin (0,385 %/K) nutzt man das, um Platin-Widerstandsthermometer zu bauen.

Der spezifische elektrische Widerstand von Legierungen ist nur gering von der Temperatur abhängig, hier überwiegt der Anteil der Störstellen. Ausgenutzt wird dies beispielsweise bei Konstantan oder Manganin, um einen besonders geringen Temperaturbeiwert bzw. einen temperaturstabilen Widerstandswert zu erhalten.

Spezifischer Widerstand als Tensor

Bei den meisten Materialien ist der elektrische Widerstand richtungsunabhängig (isotrop). Für den spezifischen Widerstand genügt dann eine einfache skalare Größe, also eine Zahl mit Einheit.

Anisotropie beim elektrischen Widerstand findet man bei Einkristallen (oder Vielkristallen mit Vorzugsrichtung) mit weniger als kubischer Symmetrie. Die meisten Metalle haben kubische Kristallstruktur und sind schon daher isotrop. Zusätzlich hat man oft eine viel-kristalline Form ohne ausgeprägte Vorzugsrichtung (Textur). Ein Beispiel für anisotropen spezifischen Widerstand ist Graphit als Einkristall oder mit Vorzugsrichtung. Der spezifische Widerstand ist dann ein Tensor 2. Stufe, der die elektrische Feldstärke ${\vec {E}}$ mit der elektrischen Stromdichte ${\vec {j}}$ verknüpft.

${\vec {E}}=\rho \cdot {\vec {j}}$

Zusammenhang mit dem elektrischen Widerstand

Der elektrische Widerstand eines Leiters mit einer über seine Länge konstanten Querschnittsfläche (Schnitt senkrecht zur Längsachse eines Körpers) beträgt:

Widerstand mit Kontakten an beiden Enden

$R=\rho \cdot {\frac {l}{A}}$

wobei R der elektrische Widerstand, ρ der spezifische Widerstand, l die Länge und A die Querschnittsfläche des Leiters ist.

Folglich kann man $\rho$ aus der Messung des Widerstandes eines Leiterstückes bekannter Geometrie bestimmen:

$\rho ={R}\cdot {\frac {A}{l}}$

Die Querschnittsfläche A eines runden Leiters (zum Beispiel eines Drahtes) errechnet sich aus dem Durchmesser d zu:

$A=\pi \cdot {\frac {d^{2}}{4}}$

Die Voraussetzung für die Gültigkeit dieser Formel für den elektrischen Widerstand R ist eine konstante Stromdichteverteilung über den Leiterquerschnitt A, das heißt, an jedem Punkt des Leiterquerschnitts ist die Stromdichte J gleich groß. Näherungsweise ist das gegeben, wenn die Länge des Leiters groß im Vergleich zu den Abmessungen seines Querschnitts ist und der Strom ein Gleichstrom oder niederfrequent ist. Bei hohen Frequenzen führen der Skin-Effekt und bei inhomogenen hochfrequenten Magnetfeldern und Geometrien der Proximity-Effekt zu einer inhomogenen Stromdichteverteilung.

Weitere aus dem spezifischen Widerstand ableitbare Kenngrößen sind:

• der Flächenwiderstand (Schichtwiderstand einer Widerstandsschicht); Einheit $\Omega$ oder $\Omega /\Box$
• der Widerstand pro Länge eines Drahtes oder Kabels; Einheit $\Omega$/m

Einteilung von Materialien

Bei elektrischen Leitern wird der spezifische Widerstand statt in $\Omega \mathrm {m}$ oft in der für Drähte anschaulicheren Form $\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}$ angegeben. Weiterhin ist auch $\Omega \cdot \mathrm {cm}$ üblich.

Es gilt:

$\mathrm {1\,{\frac {\Omega \,mm^{2}}{m}}=10^{-6}\,\Omega \,m}$

$\mathrm {1\,\Omega \,m=100\,\Omega \,cm}$

Der spezifische Widerstand eines Materials wird häufig für die Einordnung als Leiter, Halbleiter oder Isolator verwendet. Die Unterscheidung erfolgt anhand des spezifischen Widerstands:

• Leiter: $\rho <100\,\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}$
• Halbleiter: $\rho =100{\text{ bis }}10^{12}\,\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}$
• Isolatoren oder Nichtleiter: $\rho >10^{12}\,\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}$

Anzumerken ist, dass diese Einteilung keine festen Grenzen kennt und daher nur als Richtwert zu betrachten ist. Daher finden sich in der Literatur auch Angaben, die um bis zu zwei Größenordnungen abweichen können. Ein Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands, vor allem bei Halbleitern. Eine Einteilung anhand der Lage des Fermi-Niveaus ist hier sinnvoller.

Spezifischer Widerstand verschiedener Materialien

Spezifischer Widerstand ausgewählter Materialien bei 20 °C
Die Daten hängen teilweise erheblich vom Reinheitsgrad ab

Material	Spezifischer Widerstand in Ω · mm2/m	Linearer Widerstands- Temperaturkoeffizient in 1/K
Akkusäure	1.5e4
Aluminium	2.65e-2	3.9e-3
Aluminiumoxid	1e18
Bernstein	1e22
Blei	2.08e-1	4.2e-3
Blut	1.6e6
Edelstahl (1.4301, V2A)	7.2e-1
Eisen	1.0e-1 bis 1.5e-1	5.6e-3
Fettgewebe	3.3e7
Germanium (Fremdanteil < 10−9)	5e5
Glas	1e16 bis 1e21
Glimmer	1e15 bis 1e18
Gold	2.214e-2	3.9e-3
Graphit	8e0	-2e-4
Gummi (Hartgummi) (Werkstoff)	1e19
Holz (trocken)	1e10 bis 1e16
Kochsalzlösung (10 %)	7.9e4
Kohlenstoff	3.5e1	-2e-4
Konstantan	5e-1	5e-5
Kupfer (rein, „IACS“)	1.721e-2	3.9e-3
Kupfer (Elektro-Kabel)	1.69e-2 bis 1.75e-2
Kupfersulfatlösung (10 %)	3e5
Magnesium	4.39e-2
Messing	7e-2	1.5e-3
Muskelgewebe	2e6
Nickel	6.93e-2	6.7e-3
NickelChrom (Legierung)	1,32	bis 1e-6
Papier	1e15 bis 1e17
Platin	1.05e-1	3.8e-3
Polypropylenfolie	1e11
Porzellan	1e18
Quarzglas	7.5e23
Quecksilber	9.412e-1 (0 °C) 9.61e-1 (25 °C)	8.6e-4
Salzsäure (10 %)	1.5e4
Schwefel	1e21
Schwefelsäure (10 %)	2.5e4
Silber	1.587e-2	3.8e-3
Stahl	1e-1 bis 2e-1	5.6e-3
Titan	8e-1
Wasser (reinst)	1e12
Wasser (typ. Leitungswasser)	2e7
Wasser (typ. Meerwasser)	5e5
Wolfram	5.28e-2	4.1e-3
Zinn	1.09e-1	4.5e-3

Beispiel

Es sei die Länge eines unbekannten Metalldrahtes $l=2\,\mathrm {m}$, dessen Querschnitt $A=0{,}01\,\mathrm {mm} ^{2}$, die Testspannung betrage $U=2\,\mathrm {V}$ und der Strom sei zu $I=0{,}57\,\mathrm {A}$ gemessen worden.

Gesucht ist der spezifische elektrische Widerstand $\rho$ des Draht-Materials.

Es gilt

$R={\rho }\cdot {\frac {l}{A}}={\frac {U}{I}}$

Nach $\rho$ umgestellt, ergibt sich

${\rho }={\frac {R\cdot A}{l}}={\frac {U\cdot A}{I\cdot l}}$

und mit den Werten wird

$\rho ={\frac {3{,}5\,\Omega \cdot 0{,}01\,\mathrm {mm} ^{2}}{2\,\mathrm {m} }}=0{,}0175\,\mathrm {\frac {\Omega \cdot mm^{2}}{m}}$

Der so bestimmte spezifische Widerstand des untersuchten Drahtes deutet darauf hin, dass es sich wohl um Kupfer handeln könnte.

Literatur

Als Standardwerk für tabellarische Daten zum spezifischen (elektrischen) Widerstand empfiehlt sich:

• David R. Lide: CRC Handbook of Chemistry and Physics: A ready-reference book of chemical and physical data. 90. Auflage. CRC Taylor & Francis, Boca Raton FL 2009, ISBN 978-1-4200-9084-0. 
• Kohlrausch - Tabelle 8.26 Spezifischer el. Widerstand von Metallen bei 0 °C, Temperaturkoeffizient 0-100 °C (PDF)

Weblinks

• Virtuelles Experiment zum Spezifischen Widerstand
• Conductivity and Resistivity Values for Iron & Alloys. (PDF; 116 kB) Collaboration for NDT Education, März 2002 (Tabelle mit spezifischem Widerstand vieler Legierungen).