Temperaturkoeffizient

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Ein Temperaturkoeffizient (deutsch: Temperaturbeiwert) beschreibt die relative Änderung einer jeweils bestimmten physikalischen Größe bei Änderung der Temperatur gegenüber einer festgelegten Referenztemperatur. Die interessierende Größe ist meist, aber nicht immer eine Materialeigenschaft.

Temperaturkoeffizienten gibt es für die Länge, das Volumen (siehe Ausdehnungskoeffizient), den Druck, den elektrischen Widerstand, die Spannung an einer Halbleiterdiode und andere Größen. Ein linearer Zusammenhang liegt im Allgemeinen nur in einem begrenzten Temperaturintervall vor.

Grundlagen[Bearbeiten]

Ist die interessierende Größe \xi hysteresefrei und ohne Sprungstellen von der Temperatur  T abhängig, also eineindeutig, kann ihre Temperaturabhängigkeit ausgehend von der Referenztemperatur T0 beschrieben werden. Im einfachsten Fall genügt eine Näherungsfunktion mit einem einzigen Temperaturkoeffizienten:

\xi(T) = \xi(T_0) \cdot \left[1 + \alpha_{T_0}\,\left(T - T_0\right)\right]

Als Bezugstemperatur wird oft 20 °C gewählt.

\xi(T) = \xi(20\,^{\circ}\mathrm{C}) \cdot
  \left[1 + \alpha_{20}\,\left(T-20\,^{\circ}\mathrm{C}\right)\right]

Allgemein kann jede Temperaturkennlinie durch eine Taylorreihe beschrieben werden:

\xi(T) = \xi(T_0 + \Delta T) = \xi(T_0) \cdot 
  (1 + \alpha_{T_0}\cdot{\Delta T} +
  \beta_{T_0} \cdot {\Delta T}^2 + \gamma_{T_0} \cdot {\Delta T}^3 +
  \dots + k_{n, T_0}\cdot {\Delta T}^n + \dots)

Angenähert durch ein Taylorpolynom n-ten Grades ergibt sich die Approximation:

\xi(T) = \xi(T_0 +  \Delta T) =
  \xi(T_0) \cdot (1 + \alpha_{T_0} \cdot {\Delta T} +
  \beta_{T_0} \cdot {\Delta T}^2 + \gamma_{T_0} \cdot {\Delta T}^3 +
  \dots + k_{n, T_0} \cdot {\Delta T}^n)

Für n=1 ergibt sich die meist verwendete lineare Approximation:

\xi(T) = \xi(T_0 + \Delta T) =
  \xi(T_0) \cdot (1 + \alpha_{T_0} \cdot \Delta T)

Dabei ist

  • \Delta T die Temperaturdifferenz zur Referenztemperatur (T - T_0)
  • \alpha_{T_0} der Temperaturkoeffizienten 1. Ordnung an der Referenztemperatur
  • \beta_{T_0} der Temperaturkoeffizienten 2. Ordnung an der Referenztemperatur
  • \gamma_{T_0} der Temperaturkoeffizienten 3. Ordnung an der Referenztemperatur
  • k_{n, {T_0}} der Temperaturkoeffizient n-ter Ordnung an der Referenztemperatur

Die Temperaturkoeffizienten können wie folgt durch Ableitung der bekannten Funktion \xi(\tau) berechnet werden:

\alpha_{T_0} = \frac{1}{1\,\xi(T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau}\right|_{\tau = T_0}
\beta_{T_0}  = \frac{1}{2!\,\xi(T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}^2\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau^2}\right|_{\tau = T_0}
\gamma_{T_0} = \frac{1}{3!\,\xi( T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}^3\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau^3}\right|_{\tau = T_0}
k_{n, T_0} = \frac{1}{n!\,\xi(T_0)} \cdot \left.\frac{\mathrm{d}^n\xi(\tau)}{\mathrm{d}\tau^n}\right|_{\tau = T_0}

Es ist zu beachten, dass die Temperaturkoeffizienten von der Bezugstemperatur abhängen.

Beispiele[Bearbeiten]

Temperaturkoeffizienten beim idealen Gas[Bearbeiten]

Für das ideale Gas sind die Temperaturkoeffizienten für Druckänderung und Volumenänderung gleich \frac1{273{,}15} \mathrm K^{-1}.

Bei den idealisierenden Annahmen sind Druckänderung und Volumenänderung linear.

Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands[Bearbeiten]

Die Temperaturabhängigkeit des elektrischen Widerstands von Bauelementen (Leitungen, Widerständen) muss bei der Konstruktion von Baugruppen und der Auslegung von Schaltungen immer einkalkuliert werden. Andererseits wird diese Eigenschaft auch genutzt, z. B. bei Widerstandsthermometern.

Da der Temperaturkoeffizient des elektrischen Widerstands streng genommen nicht konstant ist, gibt es Polynome zur Berechnung des Widerstands aus der vorliegenden Temperatur, zum Beispiel genormt für das Pt100. Für regelungstechnische Anwendungen sind oft lineare Funktionen erwünscht. Der lineare Temperaturkoeffizient \alpha gibt die relative Änderung des Widerstandswertes pro Änderung der Temperatur zu einer Bezugstemperatur an; diese wird statt 20 °C oft zu 0 °C oder 25 °C gewählt. Bei den in der Elektrotechnik wichtigen Leitermaterialien Kupfer und Aluminium kann im Temperaturbereich 0 bis 50 °C für Abschätzungen mit dem Wert 0,4 % pro Kelvin gerechnet werden.

Lineare Widerstands-Temperaturkoeffizienten einiger Stoffe bei 20 °C
Reine Metalle \alpha in K−1 Legierungen \alpha in K−1 Nichtmetalle \alpha in K−1
Aluminium (99,5 %) 4,0 · 10−3[1] Aldrey (AlMgSi) 3,6 · 10−3[1] Kohlenstoff −0,5 · 10−3[2]
Blei 4,2 · 10−3[1] Berylliumbronze (SnBe4Pb) 0,5 · 10−3 Graphit −0,2 · 10−3
Eisen (rein) 6,57 · 10−3[3] Manganin (Cu84Ni4Mn12) ±0,04 · 10−3 Lichtbogen-Kohle 0,5 · 10−3[4]
Gold 3,7 · 10−3[1] Konstantan ±0,01 · 10−3[1] Germanium −48 · 10−3[2]
Kupfer (99,9 %) 3,93 · 10−3[1] Isaohm ±0,003 · 10−3[5] Silizium −75 · 10−3[2]
Nickel 6,0 · 10−3[1] Messing (CuZn37) 1,6 · 10−3[1]
Platin 3,92 · 10−3[6] Weicheisen (4 % Si) 0,9 · 10−3[4]
Quecksilber 0,9 · 10−3[1] Stahl C15 5,7 · 10−3
Silber 3,8 · 10−3[1]
Tantal 3,3 · 10−3[1]
Wolfram 4,4 · 10−3[1]

Weitere Beispiele[Bearbeiten]

Der Temperaturkoeffizient eines Schwingquarzes beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Eigenfrequenz.

Der Temperaturkoeffizient eines Kernreaktors beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Reaktivität (siehe auch Reaktivitätskoeffizient).

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. a b c d e f g h i j k l Friedrich Tabellenbuch Elektrotechnik/Elektronik. 582. Auflage. Bildungsverlag EINS, Köln 2007
  2. a b c Spezifische Widerstände und Temperaturkoeffizienten. Archiviert vom Original am 21. Januar 2005, abgerufen am 27. Dezember 2011.
  3. Tabellenbuch Elektrotechnik. Europa Lehrmittel, Wuppertal 1966
  4. a b H. H. Gobbin: Naturkonstanten. Wittwer, Stuttgart 1962
  5. isabellenhuette.de: Isaohm (PDF; 371 kB)
  6.  Frank Bernhard: Technische Temperaturmessung. Springer, 2004, ISBN 3-642-18895-8, S. 609 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).