(LF)-Raum

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

(LF)-Räume sind eine in der Mathematik betrachtete Klasse von Vektorräumen. Abstrahiert man die Konstruktion gewisser Räume aus der Distributionstheorie, so wird man zwanglos auf den Begriff des (LF)-Raums geführt. Dabei handelt es sich um die Vereinigung einer aufsteigenden Folge von Fréchet-Räumen, was man auch als induktiven Limes von Fréchet-Räumen bezeichnet, woher der Name (LF)-Raum rührt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein (LF)-Raum ist ein lokalkonvexer Raum , für den es eine Folge von Fréchet-Räumen gibt, so dass Folgendes gilt:

  1. für alle
  2. Für jedes trägt die durch gegebene Teilraumtopologie.
  3. ist die Vereinigung aller .
  4. trägt die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen stetig macht.

In dieser Situation nennt man eine darstellende Folge von Fréchet-Räumen für . Kann man sogar eine darstellende Folge aus Banachräumen finden, so nennt man den Raum einen (LB)-Raum.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Fréchet-Raum ist ein (LF)-Raum, als darstellende Folge kann man die konstante Folge wählen.

Sei der Folgenraum aller endlichen Folgen. Identifiziert man mit dem Raum aller Folgen, die ab der -ten Stelle nur noch Nullen haben, so ist eine darstellende Folge für den (LF)-Raum , der sogar ein (LB)-Raum ist. Die Topologie auf ist die feinste lokalkonvexe Topologie, d. h. die durch alle Halbnormen definierte Topologie.

Die folgende Konstruktion stammt aus der Distributionstheorie. Ist kompakt, so sei der Raum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit Träger in . Ist offen, so nennt den Raum den Raum der Testfunktionen auf . trage dabei die feinste lokalkonvexe Topologie, die alle Inklusionen stetig macht. Dann ist ein (LF)-Raum. Als darstellende Folge von Fréchet-Räumen kann man jede Folge nehmen, wobei eine Folge von kompakten Teilmengen in ist, so dass jedes im Inneren von liegt und die Vereinigung dieser ist. Die Topologie auf ist unabhängig von der Wahl dieser Folge kompakter Mengen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beschränkte Mengen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für beschränkte Mengen in einem (LF)-Raum mit darstellender Folge gilt folgender Satz:

  • Eine Menge ist genau dann beschränkt, wenn es ein gibt, so dass und in beschränkt ist.

Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Stetigkeit von linearer Operatoren von einem (LF)-Raum mit darstellender Folge in einen anderen lokalkonvexen Raum lässt sich wie folgt charakterisieren:

  • Ein linearer Operator ist genau dann stetig, wenn alle Einschränkungen stetig sind.

Vollständigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach einem auf Gottfried Köthe zurückgehenden Satz sind alle (LF)-Räume vollständig.

Beziehungen zu anderen Räumen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

(LF)-Räume sind tonneliert, ultrabornologisch und haben ein Gewebe. Damit verallgemeinern sich die drei klassischen aus der Theorie der Banachräume bekannten Sätze auf (LF)-Räume:

Satz von Banach-Steinhaus: Ist eine Familie stetiger linearer Operatoren zwischen lokalkonvexen Vektorräumen, wobei (LF)-Raum sei, und ist für jedes beschränkt, so ist gleichstetig, d. h. zu jeder Nullumgebung gibt es eine Nullumgebung , so dass für alle .

Satz über die offene Abbildung: Eine lineare, stetige und surjektive Abbildung zwischen (LF)-Räumen ist offen.

Satz vom abgeschlossenen Graphen: Eine lineare Abbildung zwischen (LF)-Räumen mit abgeschlossenem Graphen ist stetig.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Distributionstheorie definiert man eine Distribution auf einer offenen Menge als lineare Abbildung , so dass folgende Stetigkeitsbedingung gilt: Ist kompakt und ist eine Folge in , so dass jedes Träger in hat und so dass gleichmäßig in allen Ableitungen, so ist .

Bei dieser Definition ist zunächst nicht klar, ob es sich bei der Stetigkeitsbedingung überhaupt um Stetigkeit bzgl. einer Topologie handelt. Es genügt in der Tat, Folgenstetigkeit zu betrachten, denn ist als (LF)-Raum bornologisch. Dann bedeutet die angegebene Bedingung nichts anderes, als dass alle Einschränkungen von auf , kompakt, stetig sind. Nach der oben genannten Eigenschaft zur Stetigkeit linearer Operatoren auf (LF)-Räumen folgt tatsächlich die Stetigkeit bzgl. der (LF)-Raum-Topologie auf .

Mit den hier vorgestellten Begriffsbildungen kann man eine Distribution als stetiges lineares Funktional auf dem (LF)-Raum definieren.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • K. Floret, J. Wloka: Einführung in die Theorie der lokalkonvexen Räume, Lecture Notes in Mathematics 56, 1968
  • F. Treves: Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels, Dover 2006, ISBN 0-486-45352-9