Antisymmetrische Funktion

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Dieser Artikel behandelt antisymmetrische Funktionen mehrerer Variablen; zur Achsen- und Punktsymmetrie reeller Funktionen einer Variablen siehe gerade und ungerade Funktionen.

Eine antisymmetrische Funktion oder schiefsymmetrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion mehrerer Variablen, bei der die Vertauschung zweier Variablen das Vorzeichen der Funktion umkehrt. Wichtige Spezialfälle antisymmetrischer Funktionen sind antikommutative Verknüpfungen und alternierende Multilinearformen. In der Quantenmechanik sind Fermionen genau diejenigen Teilchen, deren Wellenfunktion antisymmetrisch bezüglich des Austauschs der Teilchenpositionen ist. Das Gegenstück zu den antisymmetrischen Funktionen sind symmetrische Funktionen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und zwei Vektorräume (meist über den reellen oder komplexen Zahlen), dann heißt eine multivariate Funktion antisymmetrisch, wenn für alle Permutationen und alle Vektoren

gilt, wobei das Signum der Permutation ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konkrete Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Subtraktion

ist antisymmetrisch, denn durch Vertauschung der beiden Operanden und kehrt sich das Vorzeichen des Ergebnisses um. Antisymmetrische Funktionen dreier Variablen sind beispielsweise

oder

.

Allgemeinere Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Kriterien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Nachweis der Antisymmetrie einer Funktion müssen nicht alle möglichen Permutationen der symmetrischen Gruppe überprüft werden. Nachdem sich jede Permutation als Hintereinanderausführung von Transpositionen der Form schreiben lässt, ist eine Funktion bereits genau dann antisymmetrisch, wenn sich der Funktionswert durch die Vertauschung zweier beliebiger Variablen und umkehrt, also

für mit ist. Für weitere mögliche Kriterien zum Nachweis der Antisymmetrie siehe Symmetrische Funktion#Weitere Kriterien, die jeweils mit Vorzeichenwechsel angewandt werden müssen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die antisymmetrischen Funktionen bilden einen Untervektorraum im Vektorraum aller Funktionen von nach (mit der komponentenweisen Addition und Skalarmultiplikation), das heißt

  • ein skalares Vielfaches einer antisymmetrischen Funktion ist wieder eine antisymmetrische Funktion und
  • die Summe zweier antisymmetrischer Funktionen ist ebenfalls wieder antisymmetrisch,

wobei die Nullfunktion trivialerweise antisymmetrisch ist.

Antisymmetrisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Antisymmetrisierung, das heißt durch eine gewichtete Summation über alle möglichen Permutationen der Form

lässt sich jeder nicht antisymmetrischen Funktion eine zugehörige antisymmetrische Funktion zuordnen. Der Antisymmetrisierungsoperator führt dabei eine Projektion auf den Untervektorraum der antisymmetrischen Funktionen durch. Wenn ein Produkt von Funktionen ist, die jeweils nur von einer einzigen Variable abhängen (in der Quantenchemie wird eine solche Funktion Hartree-Produkt genannt), kann man auch als Slaterdeterminante schreiben.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]