Anuk Brändli entstammt einer skibegeisterten Familie. Sowohl ihr Grossvater väterlicherseits wie auch ihr Vater und drei von dessen Geschwistern war beziehungsweise sind patentierte Skilehrer. Ihre Tante Barbara Kuppelwieser-Brändli wurde 1978 Bündner-Meisterin in der Alpinen Kombination.[2] Onkel Thedy Brändli bestritt Mitte der 1990er-Jahre unter anderem einige Weltcuprennen für das kanadische Ski-Team.[3]
Anuk Brändli absolvierte das Sport-Gymnasium Davos[4] und startet für den Skiclub Arosa. Am 14. November 2019 bestritt sie im Alter von 16 Jahren auf der Diavolezza ihre ersten FIS-Rennen. Am 10. März 2022 gewann sie in Engelberg ihren ersten FIS-Bewerb. Am 29. November 2022 debütierte sie in Mayrhofen im Europacup, konnte sich aber nur vereinzelt in den Punkterängen klassieren. Bei den Juniorenweltmeisterschaften im Januar 2023 in St. Anton belegte sie sowohl im Slalom als auch im Riesenslalom den 7. Rang. Zudem wurde sie zusammen mit Malorie Blanc Sechste in der Alpinen Team Kombination.
2022 und 2023 wurde Brändli Schweizer Junioren-Meisterin im Slalom. Ihren bisher grössten Erfolg feierte sie am 25. März 2023 in Verbier mit dem Gewinn der Schweizer Meisterschaft 2023 im Slalom. Bei den Juniorenweltmeisterschaften 2024 gewann sie zusammen mit Malorie Blanc die Goldmedaille in der Team-Kombination, hinzu kam die Silbermedaille im Slalom.