Beschleunigung (Spezielle Relativitätstheorie)

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Beschleunigungen in der speziellen Relativitätstheorie (SRT) folgen, wie in der Newtonschen Mechanik, durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. Da aufgrund der Lorentz-Transformation und Zeitdilatation der Zeitbegriff in der SRT jedoch komplexer wird, folgen daraus auch komplexere Definitionen der Beschleunigung. Dabei ist zu beachten, dass die SRT als Theorie der „flachen“ Minkowski-Raumzeit auch bei Anwesenheit von Beschleunigungen gültig bleibt. Die Allgemeine Relativitätstheorie wird erst benötigt bei Auftreten einer Raumzeitkrümmung aufgrund des Energie-Impuls-Tensors (welcher hauptsächlich durch die Masse bestimmt ist). Da die Raumzeitkrümmung aufgrund der Erdmasse nicht sonderlich hoch ist, bleibt die SRT auf der Erde für die meisten praktischen Anwendungen in ausreichender Näherung gültig, wie bei Experimenten in Teilchenbeschleunigern.[1]

Es können Transformationsformeln für gewöhnliche Beschleunigungen in drei Dimensionen aus Sicht eines externen Inertialsystems (Dreierbeschleunigung oder Koordinatenbeschleunigung) hergeleitet werden, sowie auch für den Fall der mit einem mitbewegten Beschleunigungssensor gemessenen Eigenbeschleunigung. Ein anderer nützlicher Formalismus ist die Viererbeschleunigung, deren Komponenten in verschiedenen Inertialsystemen durch Lorentztransformationen verbunden sind. Es können auch Bewegungsgleichungen formuliert werden, die Beschleunigung und Kraft miteinander verbinden. Gleichungen für verschiedene Beschleunigungsarten und ihre gekrümmten Weltlinien folgen aus diesen Formeln durch Integration. Bekannte Fälle sind die Hyperbelbewegung für konstante longitudinale Eigenbeschleunigung, und gleichförmige Kreisbewegung für konstante transversale Eigenbeschleunigung. Darüber hinaus ist es möglich, diese Bewegungen in beschleunigten Bezugssystemen im Rahmen der SRT zu beschreiben, worin Effekte auftreten die analog zu homogenen Gravitationsfeldern sind (welche formell eine gewisse Ähnlichkeit mit den realen, inhomogenen Gravitationsfeldern der gekrümmten Raumzeit der ART haben). Für die Hyperbelbewegung sind dies beispielsweise die Rindler-Koordinaten, für die gleichförmige Kreisbewegung beispielsweise die Born- oder Langevinkoordinaten.

Die relativistischen Gleichungen zur Beschreibung von Beschleunigungen wurden bereits in der Frühzeit der SRT aufgestellt, und in Lehrbüchern von Max von Laue (1911, 1921)[2] oder Wolfgang Pauli (1921)[3] dargestellt. Was die Entwicklung im Einzelnen betrifft, finden sich Bewegungsgleichungen und Beschleunigungstransformationen in den Arbeiten von Hendrik Antoon Lorentz (1899, 1904),[H 1][H 2] Henri Poincaré (1905),[H 3][H 4] Albert Einstein (1905),[H 5] Max Planck (1906).[H 6] Viererbeschleunigung, Eigenbeschleunigung, Hyperbelbewegung, Kreisbewegung, beschleunigte Bezugssysteme, Bornsche Starrheit wurden analysiert von Einstein (1907),[H 7] Hermann Minkowski (1907, 1908),[H 8][H 9] Max Born (1909),[H 10] Gustav Herglotz (1909),[H 11][H 12] Arnold Sommerfeld (1910),[H 13][H 14] von Laue (1911),[H 15][H 16] Friedrich Kottler (1912, 1914),[H 17] siehe Abschnitt zur Geschichte.

Dreierbeschleunigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sowohl in der Newtonschen Mechanik als auch der SRT ist die gewöhnliche Dreierbeschleunigung oder Koordinatenbeschleunigung die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Koordinatenzeit (die Zeit die von dauerhaft in einem Inertialsystem ruhenden und miteinander synchronisierten Uhren angezeigt wird) oder die zweite Ableitung des Ortes nach der Koordinatenzeit:

.

Die Theorien unterscheiden sich jedoch scharf in ihren Vorhersagen bezüglich der Transformation der Dreierbeschleunigung eines Objekts zwischen verschiedenen Inertialsystemen. In der Newtonschen Mechanik ist die Zeit absolut mit in Übereinstimmung mit der Galilei-Transformation, weswegen auch die davon abgeleitete Dreierbeschleunigung in allen Inertialsystemen gleich ist:[4]

.

Im Gegensatz dazu hängen in der SRT sowohl als auch von der Lorentz-Transformation ab, weswegen auch die Dreierbeschleunigung und ihre Komponenten in verschiedenen Inertialsystemen unterschiedlich ausfallen. Wenn die Relativgeschwindigkeit der Inertialsysteme in die x-Richtung zeigt mit und wenn der Lorentzfaktor ist, dann hat die Lorentz-Transformation bekanntlich die Form

 
 
 (1a)
 

oder für beliebige Geschwindigkeiten mit der Norm :[5]

 
 
 (1b)
 

Um daraus die Transformation der Dreierbeschleunigung zu finden, werden die räumlichen Koordinaten und der Lorentztransformation nach und abgeleitet, woraus die Transformation der Dreiergeschwindigkeit (auch bekannt als relativistische Geschwindigkeitsaddition) zwischen und folgt, und schließlich durch eine weitere Ableitung nach und folgt die Transformation der Dreierbeschleunigung zwischen und . Beginnend mit (1a ), erhält man so die Transformation für den Fall, dass die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind:[6][7][8][9][H 4][H 15]

 
 
 (1c)
 

oder beginnend mit (1b ) gibt dieser Vorgang das Resultat für den allgemeinen Fall von beliebigen Richtungen der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen:[10][11]

 
 
 (1d)
 

Das bedeutet, wenn zwei Inertialsysteme und mit der Relativgeschwindigkeit gegeben sind, dann wird in die Beschleunigung eines Objekts mit der augenblicklichen Geschwindigkeit gemessen, wohingegen dasselbe Objekt in die Beschleunigung und die augenblickliche Geschwindigkeit besitzt. Ebenso wie die Geschwindigkeitsaddition sorgen auch diese Beschleunigungstransformationen dafür, dass die resultierende Geschwindigkeit eines beschleunigten Objekts aus Sicht irgendeines Inertialsystems niemals die Lichtgeschwindigkeit erreichen oder überschreiten kann.

Viererbeschleunigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Relativitätstheorie ist es oft vorteilhaft, Vierervektoren statt Dreiervektoren zu benutzen, wobei hier die Ableitung nicht nach der Koordinatenzeit erfolgt, sondern nach der Eigenzeit (also der Zeit die von einer mit dem Objekt mitbewegten Uhr gemessen wird). Ausgehend von der Viererposition erhält man durch Ableitung die Vierergeschwindigkeit , und durch eine weitere Ableitung die Viererbeschleunigung :[12][13][14]

 
 
 (2)
 

wo die Dreierbeschleunigung des Objekts und seine augenblickliche Geschwindigkeit mit der Norm ist und der entsprechende Lorentzfaktor. Wenn nur der räumliche Teil betrachtet wird, wenn die Geschwindigkeit in die x-Richtung zeigt, und die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind, denn vereinfacht sich dieser Ausdruck zu:[15][16]

Im Gegensatz zur oben diskutierten Dreierbeschleunigung ist es nicht notwendig, eine neue Transformation der Viererbeschleunigung einzuführen, denn wie bei allen Vierervektoren sind auch die Komponenten von durch gewöhnliche Lorentz-Transformationen miteinander verbunden. Durch Ersetzen von mit in (1a ) folgt:[17]

oder durch Ersetzen von mit in (1b ) für beliebige Richtungen von :

,

Andererseits ist das Betragsquadrat mit der Signatur und ihre Norm invariant, also:[16][13][18]

 
 (3)
 

Eigenbeschleunigung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In infinitesimalen Zeitabständen ist immer ein Inertialsystem vorhanden, das augenblicklich dieselbe Geschwindigkeit wie der beschleunigte Körper hat, und in welchem die Lorentz-Transformation gültig ist. Die in solchen momentanen Inertialsystemen auftretende Dreierbeschleunigung kann direkt von einem mitbewegten Beschleunigungssensor abgelesen werden, und wird als Eigenbeschleunigung[19][H 14] oder Ruhebeschleunigung[20][H 12] bezeichnet. Die Beziehung zwischen in einem momentanen Inertialsystem und in einem externen Inertialsystem folgt aus (1c , 1d ) durch Setzen von , , und . Wenn die Geschwindigkeit in die x-Richtung mit zeigt und die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind, folgt aus (1c ):[12][20][19][H 1][H 2][H 14][H 12]

 
 
 (4a)
 

Verallgemeinert im Sinne von (1d ) für beliebige Geschwindigkeiten mit der Norm :[21][22][18]

Es liegt auch eine enge Beziehung zur Norm der Viererbeschleunigung vor: Da sie invariant ist, kann sie auch in einem momentan mitbewegten Inertialsystem bestimmt werden, worin gilt , und mit folgt :[20][12][23][H 16]

 
 (4b)
 

Die Norm der Viererbeschleunigung entspricht also der Norm der Eigenbeschleunigung. Es kann daher eine Verbindung mit (3 ) hergestellt werden, wodurch eine alternative Methode zur Bestimmung des Zusammenhangs zwischen in und in gegeben ist[13][18]

woraus wieder (4a ) folgt wenn die Geschwindigkeit in die x-Richtung mit zeigt und die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind.

Beschleunigung und Kraft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Viererkraft als Funktion der Dreierkaft ist mit gegeben. Diese Viererkraft, die Viererbeschleunigung gemäß (2 ), und die invariante Masse sind darüber hinaus verbunden gemäß der Newtonschen Formel , also[24][25]

.

Daraus folgt die Beziehung zwischen der Dreierkraft und Dreierbeschleunigung für beliebige Richtungen der Geschwindigkeit mit:[26][27][24]

 
 
 (5a)
 

Wenn die Geschwindigkeit in die x-Richtung zeigt mit , und die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind, dann folgt daraus:[28][27][24][H 2][H 6]

 
 
 (5b)
 

Deswegen ist die Newtonsche Definition der Masse als das Verhältnis von Dreierkraft zur Dreierbeschleunigung in der SRT unvorteilhaft, denn diese Masse würde sowohl von der Geschwindigkeit als auch von der Richtung abhängen. Deswegen finden sich folgende Massendefinitionen nur mehr in älteren Lehrbüchern:[28][29][H 2]

als „longitudinale Masse“,
als „transversale Masse“.

Gleichung (5a ) zwischen Dreierbeschleunigung und Dreierkraft kann auch aus der bekannten relativistischen Bewegungsgleichung gewonnen werden:[30][26][H 2][H 6]

 
 
 (5c)
 

wobei der Dreierimpuls ist. Die entsprechende Transformation der Dreierkraft zwischen in und in (wenn die Geschwindigkeit in die x-Richtung mit zeigt und die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind) folgt durch Substitution der Transformationsformeln für , , , , oder aus den lorentztransformierten Komponenten der Viererkraft, mit dem Resultat:[30][31][25][H 3][H 15]

 
 
 (6a)
 

Oder verallgemeinert für beliebige Richtungen von und mit der Norm :[32][33]

 
 
 (6b)
 

Eigenbeschleunigung und Eigenkraft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die mit einer mitbewegten Federwaage gemessene Kraft im momentanen Inertialsystem kann als Eigenkraft bezeichnet werden.[34][35] Sie folgt aus (6a , 6b ) durch Setzen von und als auch und . Also gemäß (6a ) wenn die Geschwindigkeit in die x-Richtung mit zeigt und die Beschleunigungen entweder parallel (x-Richtung) oder senkrecht (y-, z-Richtung) zur Geschwindigkeit sind:[36][34][35]

 
 
 (7a)
 

Verallgemeinert gemäß (6b ) für beliebige Richtungen von mit der Norm :[36][37]

Da im momentan mitbewegten Inertialsystem gilt, kann die Newtonsche Beziehung benutzt werden (das folgt auch aus obiger Beziehung , da im momentanen Ruhesystem und ), weswegen (4a , 5b , 7a ) zusammengefasst werden können:[38]

 
 
 (7b)
 

Dadurch löst sich auch der scheinbare Widerspruch in den historischen Definitionen der transversalen Masse auf.[39] Einstein (1905) beschrieb nämlich das Verhältnis von Dreierbeschleunigung und Eigenkraft[H 5]

,

während Lorentz (1899, 1904) und Planck (1906) das Verhältnis von Dreierbeschleunigung und Dreierkraft beschrieben[H 2]

.

Gekrümmte Weltlinien[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Durch Integration obiger Bewegungsgleichungen erhält man die gekrümmten Weltlinien beschleunigter Körper (wobei der Ausdruck Krümmung sich hier auf die Form der Weltlinien in Minkowski-Diagrammen bezieht, was nichts mit der gekrümmten Raumzeit der ART zu tun hat). Das steht im Zusammenhang mit der sogenannten Uhrenhypothese:[40][41] Die Eigenzeit einer bewegten Uhr ist unabhängig von der Beschleunigung, somit hängt die Zeitdilatation dieser Uhren aus Sicht anderer Inertialsysteme nur von der augenblicklichen Relativgeschwindigkeit zu diesen Systemen ab (siehe experimentelle Bestätigungen der Uhrenhypothese). Zwei einfache Fälle von gekrümmten Weltlinien folgen durch Integration von Gleichung (4a ) für die Eigenbeschleunigung:

a) Hyperbelbewegung: Die konstante, longitudinale Eigenbeschleunigung gemäß (4a ) führt zur Weltlinie[12][19][20][26][42][43][H 10][H 15]

 
 
 (8)
 

Diese Weltlinie entspricht der Hyperbelgleichung . Diese Gleichungen werden häufig für die Berechnung verschiedener Szenarien wie dem Zwillingsparadoxon, Bellsches Raumschiffparadoxon, oder der Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung benutzt.

b) Die konstante, transversale Eigenbeschleunigung gemäß (4a ) kann als Zentripetalbeschleunigung aufgefasst werden,[13] was zur Weltlinie eines Körpers in gleichförmiger Kreisbewegung führt:[44][45]

wobei die Tangentialgeschwindigkeit ist, der Orbitalradius, die Winkelgeschwindigkeit als Funktion der Koordinatenzeit und als Funktion der Eigenzeit.

Eine Klassifikation von gekrümmten Weltlinien folgt aus der Differentialgeometrie von Kurven im Sinne der Frenet-Serret-Formeln für die Minkowski-Raumzeit.[46] Dabei zeigt sich, dass die Hyperbelbewegung und die gleichförmige Kreisbewegung Spezialfälle von Bewegungen mit konstanter Krümmung und Torsion sind.[47] Diese Körper genügen auch der Bedingung der Bornschen Starrheit, bei der der raumzeitliche Abstand zwischen den Weltlinien ihrer infinitesimal separierten Bestandteile während der Beschleunigung konstant bleibt.[H 11][H 17]

Beschleunigte Bezugssysteme in der SRT[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

An Stelle der inertialen Koordinaten können diese beschleunigten Bewegungen und gekrümmten Weltlinien auch durch beschleunigte bzw. krummlinige Koordinaten beschrieben werden. Dadurch können Eigenbezugssysteme (manchmal als Fermi-Koordinaten oder Eigen-Koordinaten bezeichnet) definiert werden, in denen die Eigenzeit des beschleunigten Beobachters als Koordinatenzeit des gesamten Systems benutzt wird.[48][49] Im Ruhesystem eines Beobachters in Hyperbelbewegung können hyperbolische Koordinaten (manchmal als Rindler-Koordinaten bezeichnet) benutzt werden, oder für gleichförmige Kreisbewegung können rotierende Zylinderkoordinaten (manchmal als Born-oder Langevin-Koordinaten bezeichnet) benutzt werden. Im Sinne das Äquivalenzprinzips können die in diesen beschleunigten Bezugssystemen auftretenden Effekte in Analogie zu den Effekten in einem homogenen, fiktiven Gravitationsfeld gedeutet werden. Hier zeigt sich also, dass die Benutzung von beschleunigten Bezugssystemen bereits in der SRT wichtige mathematische Zusammenhänge liefert, die dann später bei der Beschreibung realer, inhomogener Gravitationsfelder im Sinne der gekrümmten Raumzeit der ART eine fundamentale Bedeutung bekommen.

Geschichte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für weitere Informationen siehe von Laue,[2] Pauli,[3] Miller,[50] Zahar,[51] Gourgoulhon,[49] und die historischen Quellen in Geschichte der speziellen Relativitätstheorie.


1899: Hendrik Lorentz[H 1] leitet die korrekten (bis auf einen unbestimmten Faktor ) Relationen für die Beschleunigungen, Kräfte und Massen zwischen einem ruhenden elektrostatischen Teilchensystem (in einem ruhenden Äther), und einem System das aus dem anderen durch eine Translation hervorgeht, wobei der Lorentzfaktor ist:

, , für gemäß (7a );
, , für gemäß (4a );
, , für , also longitudinale und transversale Masse gemäß (5b );

Lorentz erklärte, dass er kein Mittel habe den Wert von zu bestimmen. Hätte er ihn gleich gesetzt, so würden seine Ausdrücke die exakte relativistische Form annehmen.


1904: Lorentz[H 2] leitete die vorherigen Relationen etwas detaillierter ab, nämlich bezüglich der Eigenschaften von Teilchen die in einem System ruhen und einem relativ bewegten System :

für als Funktion von gemäß (7a );
für als Funktion von gemäß (7b );
für als Funktion von gemäß (4a );
longitudinale und transversale Masse als Funktion der Ruhemasse (5b , 7b ).

Diesmal konnte Lorentz zeigen, dass , wodurch seine Formeln die exakte relativistische Form erhalten. Er formulierte auch die Bewegungsgleichung

with

was Gleichung (5c ) entspricht mit , , , , , , und als elektromagnetische Ruhemasse. Er führte auch aus, dass diese Gleichungen nicht nur für Kräfte und Massen elektrisch geladener Teilchen, sondern auch für andere Prozesse gelten sollen, sodass die Bewegung der Erde durch den Äther unentdeckbar bleibt.


1905: Henri Poincaré[H 3] fand die Transformation der Dreierkraft (6a ):

mit , und als Lorentzfaktor, die Ladungsdichte. Oder in moderner Notation: , , , und . Wie Lorentz setzte auch er .


1905: Albert Einstein[H 5] leitete die Bewegungsgleichungen auf Basis seiner SRT ab, welche die Beziehungen zwischen gleichberechtigten Inertialsystemen darstellt, ohne einen mechanischen Äther annehmen zu müssen. Einstein nahm zuerst an, dass in einem momentanen Inertialsystem die Bewegungsgleichungen ihre Newtonsche Form beibehalten

.

Das entspricht , wegen und und . Durch Transformation in ein relativ bewegtes System erhielt er die Gleichungen für die elektrischen und magnetischen Komponenten in diesem System

.

Das entspricht (5b ) mit , weil und und und . Daraufhin leitete Einstein die longitudinale und transversale Masse ab, wobei er letztere jedoch definierte als das Verhältnis zwischen der Eigenkraft im momentanen Ruhesystem, die von einer mitbewegten Federwaage gemessen wird, und der Dreierkraft im System :[39]

Das entspricht (7b ) mit .


1905: Poincaré[H 4] führt die Transformation der Dreierbeschleunigung (1c ) ein:

wo und und und .

Zusätzlich führte er die Viererkraft ein in der Form:

wo und und .


1906: Max Planck[H 6] leitete die Bewegungsgleichungen ab

mit

and

und

Diese Gleichungen entsprechen (5c ) mit , und und und , in Übereinstimmung mit denen von Lorentz (1904).


1907: Einstein[H 7] analysierte ein gleichförmig beschleunigtes Bezugssystem und erhielt die Formeln für die koordinatenabhängige Lichtgeschwindigkeit und Zeitdilatation, analog zu denen der Kottler-Møller-Rindler-Koordinaten.


1907: Hermann Minkowski[H 9] definierte die Beziehung zwischen der Viererkraft (die er als bewegende Kraft bezeichnete) und der Viererbeschleunigung.

entsprechend .


1908: Minkowski[H 8] bezeichnet die zweite Ableitung von nach der Eigenzeit als Beschleunigungsvektor (Viererbeschleunigung). Er zeigte, dass ihre Norm an einem beliebigen Punkt der Weltlinie den Wert hat, wo die Norm eines Vektors ist, der vom Zentrum der entsprechenden Krümmungshyperbel nach gerichtet ist.


1909: Max Born[H 10] bezeichnet die Bewegung mit konstanter Norm der Viererbeschleunigung als Hyperbelbewegung, und zwar im Zusammenhang mit seiner Studie der Bornschen Starrheit. Er setzte (heute als proper velocity oder celerity bezeichnet) und als Lorentzfaktor und als Eigenzeit, und die Transformationsformeln

.

welche (8 ) entsprechen mit und . Durch Elimination von erhielt Born die Hyperbelgleichung , und definierte die Norm dieser Beschleunigung mit . Er bemerkte, dass dies auch als Transformation in ein hyperbolisch beschleunigtes Bezugsystem aufgefasst werden kann.


1909: Gustav Herglotz[H 11] erweiterte Borns Untersuchung auf alle möglichen Fälle von starr beschleunigten Bewegungen, einschließlich gleichförmiger Kreisbewegung.


1910: Arnold Sommerfeld[H 13] brachte Borns Formeln für die Hyperbelbewegung in eine klarere Form mit als imaginärer Zeitkoordinate und als imaginärem Winkel:

Er bemerkte, dass wenn variabel und konstant ist, dann beschreiben sie die Weltlinie eines geladenen Körpers in Hyperbelbewegung. Wenn aber konstant und variabel ist, dann beschreiben sie die Transformation in das Ruhesystem.


1911: Sommerfeld[H 14] benutzte erstmals explizit den Ausdruck "Eigenbeschleunigung" für die Größe in , was (4a ) entspricht, als die Beschleunigung im momentanen Inertialsystem.


1911: Herglotz[H 12] benutzte erstmals explizit den Ausdruck „Ruhbeschleunigung“ statt Eigenbeschleunigung. Er schrieb sie in der Form und was (4a ) entspricht, wo der Lorentzfaktor ist und oder sind longitudinale und transversale Masse.


1911: Max von Laue[H 15] leitete in der ersten Ausgabe von „Das Relativitätsprinzip“ die Transformation der Dreierbeschleunigung ab

in Übereinstimmung mit (1c ) und Poincaré (1905/6). Daraus leitete die die Transformation für die Ruhebeschleunigung (äquivalent mit 4a ) ab und erhielt schließlich die Formeln für die Hyperbelbewegung gemäß (8 ):

also

,

und die Transformation in ein hyperbolisches Bezugssystem mit imaginärer Zeit und Winkel:

.

Er schreib auch die Transformation der Dreierkraft als

in Übereinstimmung mit (6a ) und Poincaré (1905).


1912-1914: Friedrich Kottler[H 17] erzielte die allgemeine Kovarianz der Maxwellschen Gleichungen, und benutzte vierdimensionale Frenet-Serret-Formeln für die Analyse der Born-starren Bewegungen gemäß Herglotz (1909). Er erhielt damit die Eigenbezugssysteme für die Hyperbelbewegung und gleichförmige Kreisbewegung.


1913: von Laue[H 16] ersetzte in der zweiten Edition seines Buches die Transformation der Dreierbeschleunigung durch Minkowskis Beschleunigungsvektor, für die er erstmals den Ausdruck „Viererbeschleunigung“ gebrauchte. Sie ist gegeben mit wobei die Vierergeschwindigkeit ist. Er zeigte, dass die Norm der Viererbeschleunigung der Ruhebeschleunigung entspricht

,

in Übereinstimmung mit (4b ). Danach leitete er dieselben Formeln für die Transformation der Ruhebeschleunigung, Hyperbelbewegung, und dem hyperbolisch bewegten Bezugssystem ab wie in 1911.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Misner & Thorne & Wheeler (1973), p. 163: "Accelerated motion and accelerated observers can be analyzed using special relativity."
  2. a b von Laue (1921)
  3. a b Pauli (1921)
  4. Sexl & Schmidt (1979), p. 116
  5. Møller (1955), p. 41
  6. Tolman (1917), p. 48
  7. French (1968), p. 148
  8. Zahar (1989), p. 232
  9. Freund (2008), p. 96
  10. Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), S. 141
  11. Rahaman (2014), S. 77
  12. a b c d Pauli (1921), p. 627
  13. a b c d Freund (2008), pp. 267-268
  14. Ashtekar & Petkov (2014), p. 53
  15. Sexl & Schmidt (1979), p. 198, Solution to example 16.1
  16. a b Ferraro (2007), p. 178
  17. Sexl & Schmidt (1979), p. 121
  18. a b c Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), p. 137
  19. a b c Rindler (1977), pp. 49-50
  20. a b c d von Laue (1921), pp. 88-89
  21. Rebhan (1999), p. 775
  22. Nikolić (2000), eq. 10
  23. Rindler (1977), p. 67
  24. a b c Sexl & Schmidt (1979), solution of example 16.2, p. 198
  25. a b Freund (2008), p. 276
  26. a b c Møller (1955), pp. 74-75
  27. a b Rindler (1977), pp. 89-90
  28. a b von Laue (1921), p. 210
  29. Pauli (1921), p. 635
  30. a b Tolman (1917), pp. 73-74
  31. von Laue (1921), p. 113
  32. Møller (1955), p. 73
  33. Kopeikin & Efroimsky & Kaplan (2011), p. 173
  34. a b Shadowitz (1968), p. 101
  35. a b Pfeffer & Nir (2012), p. 115, “In the special case in which the particle is momentarily at rest relative to the observer S, the force he measures will be the proper force”.
  36. a b Møller (1955), p. 74
  37. Rebhan (1999), p. 818
  38. siehe Lorentz’s 1904-Gleichungen und Einstein’s 1905-Gleichungen im Abschnitt für Geschichte
  39. a b Mathpages (siehe Weblinks), "Transverse Mass in Einstein’s Electrodynamics", eq. 2,3
  40. Rindler (1977), p. 43
  41. Koks (2006), section 7.1
  42. Fraundorf (2012), section IV-B
  43. PhysicsFAQ (2016), siehe Weblinks.
  44. Pauri & Vallisneri (2000), eq. 13
  45. Bini & Lusanna & Mashhoon (2005), eq. 28,29
  46. Synge (1966)
  47. Pauri & Vallisneri (2000), Appendix A
  48. Misner & Thorne & Wheeler (1973), Section 6
  49. a b Gourgoulhon (2013), entire book
  50. Miller (1981)
  51. Zahar (1989)

Historische Arbeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c Hendrik Antoon Lorentz: Simplified Theory of Electrical and Optical Phenomena in Moving Systems. In: Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. 1, 1899, S. 427–442.
  2. a b c d e f g Hendrik Antoon Lorentz: Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light. In: Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences. 6, 1904, S. 809–831.
  3. a b c Henri Poincaré: Sur la dynamique de l’électron. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des sciences. 140, 1905, S. 1504–1508.
  4. a b c Henri Poincaré: Sur la dynamique de l’électron. In: Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. 21, 1906/1905, S. 129–176.
  5. a b c Albert Einstein: Zur Elektrodynamik bewegter Körper. In: Annalen der Physik. 322, Nr. 10, 1905, S. 891–921.; See also: English translation.
  6. a b c d Max Planck: Das Prinzip der Relativität und die Grundgleichungen der Mechanik. In: Verhandlungen Deutsche Physikalische Gesellschaft. 8, 1906, S. 136–141.
  7. a b Albert Einstein: Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen. In: Jahrbuch der Radioaktivität und Elektronik. 4, 1908 /1907, S. 411–462. bibcode:1908JRE.....4..411E.; English translation On the relativity principle and the conclusions drawn from it at Einstein paper project.
  8. a b Hermann Minkowski: Raum und Zeit. Vortrag, gehalten auf der 80. Naturforscher-Versammlung zu Köln am 21. September 1908. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. , Leipzig1909/1908.
  9. a b Hermann Minkowski: Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern. In: Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse. 1908 /1907, S. 53–111.
  10. a b c Max Born: Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips. In: Annalen der Physik. 335, Nr. 11, 1909, S. 1–56. doi:10.1002/andp.19093351102.
  11. a b c G. Herglotz: Über den vom Standpunkt des Relativitätsprinzips aus als starr zu bezeichnenden Körper. In: Annalen der Physik. 336, Nr. 2, 1910/1909, S. 393–415. doi:10.1002/andp.19103360208.
  12. a b c d G. Herglotz: Über die Mechanik des deformierbaren Körpers vom Standpunkte der Relativitätstheorie. In: Annalen der Physik. 341, Nr. 13, 1911, S. 493–533. doi:10.1002/andp.19113411303.
  13. a b Arnold Sommerfeld: Zur Relativitätstheorie II: Vierdimensionale Vektoranalysis. In: Annalen der Physik. 338, Nr. 14, 1910, S. 649–689. doi:10.1002/andp.19103381402.
  14. a b c d Arnold Sommerfeld: Über die Struktur der gamma-Strahlen. In: Sitzungsberichte der mathematematisch-physikalischen Klasse der K. B. Akademie der Wissenschaften zu München. Nr. 1, 1911, S. 1–60.
  15. a b c d e Max von Laue: Das Relativitätsprinzip. Vieweg, Braunschweig 1911.
  16. a b c Max von Laue: Das Relativitätsprinzip, 2. Ausgabe. Auflage, Vieweg, Braunschweig 1913.
  17. a b c Friedrich Kottler: Über die Raumzeitlinien der Minkowski’schen Welt. In: Wiener Sitzungsberichte 2a, Band 121, 1912, S. 1659-1759, hdl:2027/mdp.39015051107277 Friedrich Kottler: Relativitätsprinzip und beschleunigte Bewegung. In: Annalen der Physik. 349, Nr. 13, 1914a, S. 701-748. doi:10.1002/andp.19143491303. Friedrich Kottler: Fallende Bezugssysteme vom Standpunkte des Relativitätsprinzips. In: Annalen der Physik. 350, Nr. 20, 1914b, S. 481-516. doi:10.1002/andp.19143502003.