Cap-Produkt

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In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, definiert das Cap-Produkt eine Verknüpfung zwischen Kohomologie und Homologie eines Raumes.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein topologischer Raum, sei die -te singuläre Kettengruppe, also die freie abelsche Gruppe über der Menge aller stetigen Abbildungen des Standard--Simplexes nach und . Man bezeichne mit beziehungsweise die Inklusionen des Standard-- beziehungsweise -Simplexes als "vordere -dimensionale Seite" beziehungsweise "hintere -dimensionale Seite" in den Standard--Simplex.

Für und einen singulären Simplex (mit ) definiert man

und setzt dies linear zu einer Abbildung

fort.

Allgemeiner sei ein Ring und sei . Dann erhält man eine Abbildung

.

Aus der Relation

folgt, dass das Cup-Produkt eine wohldefinierte Abbildung

definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für stetige Abbildungen gilt

mit , .

Das Cap-Produkt hängt mit dem Cup-Produkt über die folgende Gleichung zusammen:

für , ,

Anwendung: Poincaré-Dualität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Poincaré-Dualität

Sei eine geschlossene, orientierbare -Mannigfaltigkeit und

die Fundamentalklasse. Dann realisiert das Cap-Produkt mit einen Isomorphismus

für .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]