Charaktertafel

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Eine Charaktertafel enthält Informationen über die irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe. In der Chemie kann man mit ihrer Hilfe Aussagen über Eigenschaften von Molekülen basierend auf der zugehörigen Punktgruppe machen.

Die eigentliche Charaktertafel einer Gruppe ist eine quadratische Tabelle mit komplexen Zahlen als Einträgen. Die Zeilen entsprechen den irreduziblen Darstellungen von , die Spalten den Konjugationsklassen in . Der Tabelleneintrag zur Darstellung und Konjugationsklasse ist der Wert des zu gehörenden Charakters, ausgewertet auf einem beliebigen Element von .

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jede irreduzible Darstellung einer endlichen Gruppe in die Gruppe der invertierbaren n×n-Matrizen definiert den zugehörigen irreduziblen Charakter

,

wobei die Spurabbildung ist. Dabei sind zwei irreduzible Darstellungen genau dann äquivalent, wenn die zugehörigen irreduziblen Charaktere gleich sind. Sind konjugiert, so ist für ein und daher folgt nach den Eigenschaften der Spur für einen Charakter

,

das heißt, Charaktere sind auf Konjugationsklassen konstant. Daher ist ein Charakter bereits dadurch bestimmt, dass der Wert auf allen Konjugationsklassen angegeben wird. Weiter kann man zeigen, dass es genauso viele irreduzible Charaktere gibt wie Konjugationsklassen. Daher kann man alle Charaktere durch ein quadratisches Schema beschreiben. Die Spalten dieses Schemas sind die Konjugationsklassen , die Zeilen die Charaktere . In der i-ten Zeile und j-ten Spalte steht der Wert von auf der Konjugationsklasse , das ist , wobei mit ein Vertreterelement der Konjugationsklasse gewählt sei.

Unter den Charakteren gibt es ein ausgezeichnetes Element, nämlich den Charakter zur trivialen Darstellung, der auf allen Konjugationsklassen den Wert 1 annimmt, den man auch den trivialen Charakter nennt. Ferner gibt es eine triviale Konjugationsklasse, die aus dem neutralen Element 1 besteht. Der Wert eines jeden Charakters auf der trivialen Konjugationsklasse ist die Spur der Einheitsmatrix und damit gleich der Dimension der i-ten irreduziblen Darstellung.

Man ordnet nun die Charaktere so an, dass der triviale Charakter und die triviale Konjugationsklasse ist. Für die weiteren Daten liegt keine Anordnung fest, viele Autoren wählen die erste Spalte aufsteigend sortiert. Die Spaltenbeschriftung besteht aus der Konjugationsklasse oder einem Vertreterelement, oft gibt man auch noch die Mächtigkeit der Konjugationsklasse an. Das führt zu folgender Übersicht, die man Charaktertafel nennt:

Diese Charaktertafel enthält wichtige Gruppendaten. Zwar kann man daraus nicht die Gruppe rekonstruieren, doch enthält sie genügend Informationen, wichtige Eigenschaften der Gruppe zu entscheiden. Oft gelingt es, Daten der Charaktertafel zu ermitteln, ohne die Gruppe genau zu kennen. Dazu dienen verschiedene Sätze, wie zum Beispiel die Tatsache, dass

und vor allem die schurschen Orthogonalitätsrelationen.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zyklische Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die zyklische Gruppe mit Elementen. Die Elemente werden seien mit bezeichnet. Sei . Dann erhält man folgende Charaktertafel:[1]

Es ist .

Kleinsche Vierergruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die kleinsche Vierergruppe. Da und da man zeigen kann, dass die Charaktere eines direkten Produktes von Gruppen die Produkte der Charaktere der Faktoren dieses Produktes sind, kann man die Charaktertafel aus derjenigen von gewinnen. Man erhält:[2]

Symmetrische Gruppe S3[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die symmetrische Gruppe S3 muss neben dem trivialen Homomorphismus und der Signumfunktion mindestens einen weiteren irreduziblen Charakter haben und mindestens einen mit Dimension größer als 1, da die Gruppe sonst abelsch wäre. Da die Summe der Quadrate der Dimensionen gleich der Gruppenordnung ist, bleibt nur und mittels der Orthogonalitätsrelationen sind auch die beiden anderen Werte von festgelegt. Man erhält:[3][4]

Nichtabelsche 8-elementige Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allein aus der Kenntnis, dass eine Gruppe 8 Elemente hat und nicht abelsch ist, lässt sich die Charaktertafel konstruieren. Da eine 2-Gruppe ist, kann das Zentrum nicht trivial sein und hat 2 oder 4 Elemente und kann nicht zyklisch sein, da sonst abelsch wäre. Als muss sein. Da es wegen höchstens irreduzible Charaktere der Dimension 2 geben kann und da es mit dem trivialen Charakter immer einen der Dimension 1 gibt und da die Summe der Quadrate der Dimensionen 8 ergeben muss, bleibt nur die Möglichkeit von 5 irreduziblen Charakteren der Dimensionen 1,1,1,1,2. Also muss es auch 5 Konjugationsklassen geben, deren Vertreter wir mit bezeichnen. Mittels , und Orthogonalitätsrelationen kann man zeigen, dass notwendig folgende Charaktertafel vorliegen muss:

Da es mit der Diedergruppe D4 und der Quaternionengruppe zwei nicht-isomorphe nichtablesche Gruppen der Ordnung 8 gib, zeigt dieses Beispiel, dass sich die Gruppe nicht aus der Charaktertafel rekonstruieren lässt.[5]

Alternierende Gruppe A4[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die alternierende Gruppe A4 ist nichtabelsch und hat 4 Konjugationsklassen. Für die Dimensionen der Darstellungsräume bleibt dann nur noch die Folge 1,1,1,3 und es ergibt sich[6]

Alternierende Gruppe A5[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Überlegungen für die Charaktertafel der alternierenden Gruppe A5 fallen schon etwas komplizierter aus. Daher soll hier nur das Ergebnis angegeben werden:[7]

Symmetrische Gruppe S5[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schließlich soll mit der symmetrischen Gruppe noch ein etwas größeres Beispiel angegeben werden:[8]

Eigenschaften der Charaktertafel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie das Beispiel der nichtabelschen Gruppen der Ordnung 8 zeigt, kann man die Gruppe im Allgemeinen nicht aus der Charaktertafel rekonstruieren. Dennoch lassen sich gewisse Gruppeneigenschaften ablesen.

Eine Gruppe ist genau dann abelsch (kommutativ), wenn alle irreduziblen Darstellungen eindimensional sind, das heißt, wenn die erste Spalte der Gruppentafel nur Einsen enthält.

Man kann zeigen, dass für jeden irreduziblen Charakter ein Normalteiler ist und jeder andere Normalteiler Durchschnitt solcher ist.[9]

Insbesondere ist eine Gruppe genau dann einfach, wenn in jeder ab der zweiten Zeile der Wert der ersten Spalte dieser Zeile, das ist die Dimension des zugehörigen Darstellungsraums, kein zweites Mal vorkommt. Man liest daher leicht ab, dass einfach ist. Die zweite Zeile der Charaktertafel der zeigt, dass diese Gruppe nicht einfach ist.

Da man mit den die Normalteiler und deren Teilmengenbeziehungen kennt, kann man auch Verfahren angeben, mit denen man Auflösbarkeit und mit etwas mehr Aufwand auch Nilpotenz ablesen kann.[10]

Anwendung in der Chemie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schließt man nun aus den Symmetrieelementen oder unter Zuhilfenahme des Schoenflies-Schemas auf die Punktgruppe eines Moleküls, kann man mit Hilfe der Charaktertafel auf bestimmte Eigenschaften des Stoffes schließen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Charaktertafel der -Punktgruppe (kleinsche Vierergruppe, hier in der Schoenflies-Symbolik bezeichnet) wird wie folgt mit chemisch relevanten Informationen erweitert

Die erste Bezeichnung ist die Punktgruppe, in der ersten Zeile stehen die Symmetrieelemente R, die in ihr enthalten sind. Kommt ein Symmetrieelement n-mal vor, dann schreibt man oder stellt wie oben eine weitere Zeile mit den Anzahlen voran. In diesem Fall sind alle Anzahlen gleich 1. Die Symmetrieelemente bilden eine Klasse mit der Ordnung . Die Gesamtzahl der Symmetrieelemente ist die Ordnung der Gruppe. In der ersten Spalte stehen die irreduziblen Darstellungen . In den folgenden Spalten stehen die Werte der Charaktere (hier: -1 und +1). In den letzten beiden Spalten stehen die Basen der irreduziblen Darstellungen, bzw. Orbitale, die sich wie eine irreduzible Darstellung transformieren. Man sagt z. B. die Drehung um die z-Achse transformiert wie .

Rotationen und Schwingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Angaben , und beziehen sich auf Molekülrotationen in x-, y- und z-Richtung, die wie die irreduziblen Darstellungen transformieren. z. B. transformiert bei einem Molekül der Punktgruppe die Rotation um die z-Achse wie .

Die Eigenschwingungen des Moleküls transformieren ebenfalls wie eine der irreduziblen Darstellungen der Punktgruppe des Moleküls.

Orbitale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Symmetrie der Basis-Orbitale eines Moleküls lassen sich ebenfalls einer irreduziblen Darstellung der Punktgruppe zuordnen. Hat ein Charakter bei einer bestimmten Darstellung und einem bestimmten Symmetrieelement z. B. den Charakter „+1“, dann ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion bei Anwendung dieses Symmetrieelements nicht. Ist er „-1“ dann ändert es sich.

Beispiel (Fortsetzung)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Molekül gehöre zur Punktgruppe (siehe Charaktertafel oben). Zu seinem Basissatz gehöre das -Orbital, das auf der x-Achse liegt und wie transformiert. Spiegelung an der xz-Spiegelebene bewirkt keine Änderung des Orbitals, es wird auf sich selbst abgebildet, der Charakter ist „+1“. Spiegelt man das x-Orbital dagegen an der yz-Ebene, ändert sich das Vorzeichen der Wellenfunktion, der Charakter ist also „-1“, wie aus der Charaktertafel erkennbar.

Reduzible und irreduzible Darstellungen, ausreduzieren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine irreduzible Darstellung besitzt nur und als invariante Unterräume. Alle anderen Unterräume mixen. Eine reduzible Darstellung zerfällt in verschiedene Unterräume.

Wenn eine Darstellung vollständig reduzibel ist, kann sie als direkte Summe von irreduziblen Darstellungen betrachtet werden. Nicht jede reduzible Darstellung ist vollständig reduzibel.

Bei vollständig reduziblen Darstellungen können die Anteile der irreduziblen Darstellungen in einer reduziblen Darstellung durch Raten oder folgende Formel ermittelt werden:

ist die Ordnung der Gruppe, die Ordnung der Klasse, der Charakter der jeweiligen irreduziblen Darstellung und der Charakter der reduziblen Darstellung .

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • J. H. Conway: Atlas of Finite Groups, Maximal Subgroups and Ordinary Characters for Simple Groups. Clarendon Press, Oxford 1985, ISBN 0-198-53199-0.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 1
  2. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 3
  3. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 6
  4. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Beispiel 9.7.1 b
  5. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 8
  6. Kurt Meyberg: Algebra II. Carl Hanser Verlag (1976), ISBN 3-446-12172-2, Beispiel 9.7.1 c
  7. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Beispiel 9
  8. B. Simon: Representations of Finite and Compact Groups, AMS Graduate Studies in Mathematics, Band 10, ISBN 0-8218-0453-7, Kap. V.4 Beispiel S5
  9. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Satz 7
  10. J. L. Alperin, R.B. Bell: Groups and Representations, Springer-Verlag (1995), ISBN 0-387-94525-3, Kap. 6, Korollare 9 und 14