Diagonalisierbare Matrix

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Als diagonalisierbare Matrix bezeichnet man im mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra eine quadratische Matrix, die sich vermittels eines Basiswechsels (also der Konjugation mit einer regulären Matrix) in eine Diagonalmatrix (also eine Matrix, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonale Null sind) transformieren lässt. [1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diagonalmatrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Diagonalmatrix

Eine quadratische Matrix über einem Körper , deren Elemente mit alle gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. Häufig schreibt man dafür

.

Diagonalisierbare Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine quadratische -dimensionale Matrix heißt diagonalisierbar oder diagonalähnlich, wenn es eine Diagonalmatrix gibt, zu der sie ähnlich ist, das heißt, es existiert eine reguläre Matrix , so dass gilt bzw. .

Weitere Charakterisierungen der Diagonalisierbarkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine -dimensionale Matrix mit Einträgen aus einem Körper . Jede der folgenden drei Bedingungen wird genau dann erfüllt, wenn diagonalisierbar ist.

  1. Das Minimalpolynom zerfällt vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren: mit
  2. Das charakteristische Polynom zerfällt vollständig in Linearfaktoren und die geometrische Vielfachheit entspricht der algebraischen Vielfachheit für jeden Eigenwert .
  3. Es gibt eine Basis für , die aus Eigenvektoren für besteht.

Sind und mit den gewünschten Eigenschaften gefunden, so gilt, dass die Diagonaleinträge von , nämlich , Eigenwerte von zu gewissen Einheitsvektoren sind. Dann ist . Die sind also Eigenvektoren von , und zwar jeweils zum Eigenwert .

Da invertierbar sein soll, ist zudem linear unabhängig.

Zusammenfassend ergibt sich daraus die notwendige Bedingung, dass eine -dimensionale diagonalisierbare Matrix linear unabhängige Eigenvektoren haben muss. Der Raum, auf dem sie operiert, besitzt also eine Basis aus Eigenvektoren der Matrix. Diese Bedingung ist aber auch hinreichend, denn aus gefundenen Eigenvektoren von mit den dazugehörigen Eigenwerten lassen sich geeignete und ganz direkt konstruieren.

Das Problem reduziert sich damit auf das Auffinden von linear unabhängigen Eigenvektoren von .

Eine notwendige aber nicht hinreichende Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass das charakteristische Polynom vollständig in Linearfaktoren zerfällt: so ist nicht diagonalisierbar, obwohl . Eine hinreichende aber nicht notwendige Bedingung für Diagonalisierbarkeit ist, dass vollständig in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfällt: so ist diagonalisierbar, obwohl .

Eigenschaften einer diagonalisierbaren Matrix[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Matrix diagonalisierbar, so ist die geometrische Vielfachheit ihrer Eigenwerte gleich der jeweiligen algebraischen Vielfachheit. Das bedeutet, die Dimension der einzelnen Eigenräume stimmt jeweils mit der algebraischen Vielfachheit der entsprechenden Eigenwerte im charakteristischen Polynom der Matrix überein.

Die Matrixpotenz einer diagonalisierbaren Matrix lässt sich berechnen durch

Die Potenz einer Diagonalmatrix erhält man durch Potenzieren der Diagonalelemente.

Diagonalisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Matrix diagonalisierbar, existiert eine Diagonalmatrix , für die die Ähnlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Zur Diagonalisierung dieser Matrix berechnet man die Diagonalmatrix und eine zugehörige Basis aus Eigenvektoren. Dies geschieht in drei Schritten:

  1. Es werden die Eigenwerte der Matrix bestimmt. (Einzelne Eigenwerte können dabei mehrfach vorkommen.)
  2. Es werden die Eigenräume zu allen Eigenwerten berechnet, also folgendes Gleichungssystem gelöst:
  3. Weil die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit jedes Eigenwerts ist, können wir zu jeder maximalen Menge übereinstimmender Eigenwerte eine Basis von finden.
  4. Nun ist die Diagonalform der Matrix bezüglich der Basis :

Simultane Diagonalisierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gelegentlich will man auch zwei Matrizen mit derselben Transformation diagonalisieren. Falls das gelingt, gilt und und da und Diagonalmatrizen sind,

.

Also müssen die Endomorphismen miteinander kommutieren. In der Tat gilt auch die Umkehrung: Kommutieren zwei diagonalisierbare Endomorphismen, so können sie simultan diagonalisiert werden. In der Quantenmechanik gibt es für zwei solche Operatoren dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenzuständen.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei die zu diagonalisierende Matrix.

Die Eigenwerte von lassen sich durch die Nullstellen des charakteristischen Polynoms bestimmen:

Also . Der Eigenwert 2 hat algebraische Vielfachheit , da er doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms ist.

Zum Bestimmen der Eigenräume setze man die Eigenwerte in ein.

Um alle mit zu erhalten, fassen wir die erweitere Koeffizientenmatrix als LGS mit unendlichen Lösungen auf.

Für erhalten wir , durch Gaußsches Eliminationsverfahren erhalten wir und somit als Lösungsmenge den Eigenraum: .

Für erhalten wir , daraus und somit als Lösungsmenge den Eigenraum:

.

Die Eigenvektoren erhalten wir aus den Basen der Eigenräume, sie bilden eine Basis von .

Wenn wir normieren erhalten wir mit und eine Orthonormalbasis, da symmetrisch und die Eigenvektoren der halbeinfachen Eigenwerte orthogonal zueinander sind (in dem Fall ).

Es gilt also . Daraus erhalten wir unter der Nutzung der Eigenschaften von Orthonormalbasen die Inverse .

bestimmt sich durch .

Somit erhalten wir für :

.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Uwe Storch, Hartmut Wiebe: Lehrbuch der Mathematik, Band 2: Lineare Algebra. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1990, ISBN 3-411-14101-8.