Diskussion:Erwartungswert

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Produkt[Quelltext bearbeiten]

Ich habe den Erwartungswert des Produkts von 2 Zufallsvariablen

durch den Erwartungswert des Produkts von 2 unabhängigen Zufallsvariablen ersetzt, denn es bringt ja nicht viel einfach den Verschiebungssatz für die Kovarianz umzuformen. Dann steht auf beiden Seiten der Gleichung der Erwartungswert eines Produkts und man hat nichts gewonnen. --Gowilei 19:16, 18. Jun 2004 (CEST)

allgemeinere Beschreibung[Quelltext bearbeiten]

Fehlt nicht eine allgemeinere Beschreibung des Erwartungswertes? Da ja eigentlich der Erwartungswert definiert ist als Integral von -oo bis +oo über das Produkt einer Funktion g(x) und der Dichtefunktion der Zufallsvariable f(x). Und für den fall dass g(x) = x ist spricht man vom 1. Moment bez. dem arithmetischen Mittelwert. -- 11:26, 30. Jan 2005 (falsch signierter Beitrag von 217.93.132.132 (Diskussion) 11:26, 30. Jan. 2005 (CET))

Nein. Wie im Artikel beschrieben, ist der Erwartungswert nur bei einer stetig verteilten Zufallsvariablen so gegeben. Im Allgemeinen ist der Erwartungswert als Integral über der Zufallsvariablen bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben (steht auch im Artikel). (nicht signierter Beitrag von 84.58.9.86 (Diskussion) 16:30, 5. Feb. 2005 (CET))

Mittelwert der Grundgesamtheit[Quelltext bearbeiten]

Wenn man das mal anhand von Sozial- oder Wirtschaftsstatistik erklärt, ist der Erwartungswert X der Mittelwert der Grundgesamtheit. Da Ausprägungen der Zufallsvariablen in Form von Grundgesamtheiten aber selten erhoben werden können, muss auf die Stichprobe und deren Mittelwert x zurückgegriffen und von diesem dann auf den Erwartungswert mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit statistisch geschlossen werden. --Trainspotter 16:50, 14. Mär 2005 (CET)

Arithmetisches Mittel[Quelltext bearbeiten]

Erwartungswert = Mittelwert? --Abdull 23:16, 12. Jul 2005 (CEST)

Erwartungswert ist das arithmetische Mittel einer Zufallsvariablen. Dann gibt es noch das arithmetische Mittel der Stichprobe. :--Philipendula 23:56, 13. Jul 2005 (CEST)
Auch wenns lange her ist... der Erwartungswert ist dann und nur dann das "arithmetische Mittel einer Zufallsvariablen", wenn diese ZV der endlichen Gleichverteilung genügt. Der EW ist das gewichtete Mittel mit den Wkt. als Gewichten. Während der EW ein Begriff der Wahrscheinlichkeitstheorie ist, gehört der Mittelwert zum Fachgebiet der Statistik, sie teilen einige Wesenszüge sind aber nicht identisch.
Liebe Grüße -- 2A02:8109:9400:474:35AE:4621:1336:58A4 08:52, 5. Mai 2017 (CEST)

Zum quantemechanischen Ortserwartungswert[Quelltext bearbeiten]

sollte es nicht heissen: comments: get_spam(at)gmx.net 1.11.05 (unkonventionell signierter Beitrag von 80.129.19.41 (Diskussion) 18:02, 1. Nov. 2005 (CET))

Bin irritiert[Quelltext bearbeiten]

Ich hatte doch an dieser Stelle mal einen ganz anderen Artikel gesehen ... ein viel hübscheren, der auch mal erklärt hat, was ein Erwartungswert eigentlich *ist*. Da stand bspw. drin, was E({k}) = 0 bedeutete, und erklärte den Zusammenhang zwischen Wahrscheinlichkeit aus Stichprobe bestimmen und Stichproben aufgrund der Wahrscheinlichkeit abschätzen.

Ich find das aber bei "versionen" nicht. Wo ist es hin? --84.185.43.234 09:31, 15. Feb 2006 (CET)

Ich stimme zu - mir erscheint der Artikel etwas sehr mathematisch ausgerichtet. Was dort steht mag alles richtig sein, aber kann man derartige Zusammenhänge in einer Enzyklopädie nicht auch (ergänzend) verbal beschreiben? --Raubfisch 13:32, 12. Mai 2006 (CEST)

Definition[Quelltext bearbeiten]

Zur Definition des Erwartungswertes (2006)[Quelltext bearbeiten]

Die allgemeine Definition ist nicht mit den engeren Definitionen zuvor konsistent. Wenn die Zufallsvariable quasiintegrierbar ist, so existiert der Erwartungswert nicht im Sinn der sonst im Artikel angegebenen Definitionen. Man kann allerdings den Erwartungswert, z. B. Billingsley folgend, auch allgemeiner auffassen. Er kann dann auch oder sein, falls die entsprechenden Integrale uneigentlich als oder existieren. Es ist dann zu unterscheiden zwischen (a) der Erwartungswert existiert und (b) der Erwartungswert (existiert und) ist endlich. (nicht signierter Beitrag von 141.30.93.98 (Diskussion) 18:20, 8. Mär. 2006 (CET))

Definition (2012)[Quelltext bearbeiten]

MMn sollte die Definition zuerst die Faelle diskreter und kontinuierlicher Zufallsvariablen zeigen, und erst danach die ganz, ganz allgemeine Form. Nijdam 18:27, 16. Jan. 2012 (CET)

Ja, stimme voll zu. --Sigbert 19:32, 16. Jan. 2012 (CET)
Finde ich gut. Ich habe gleich mal noch die allgemeine Form etwas einfacher formuliert. --HilberTraum 21:14, 16. Jan. 2012 (CET)
Sollte man das Beispiel in den Definitionen nicht entweder zu den Beispielen weiter unten verschieben oder zur Definition des Erwartungswertes wenn man eine Dichtefunktion hat? --Sigbert 16:54, 17. Jan. 2012 (CET)
Ja, ich denke auch, dass das Beispiel zu den anderen Beispielen sollte. Und dann wohl konsequenterweise noch den Fall mit zweidim. Dichte vor den den allgemeinen Fall, oder? -- HilberTraum 18:13, 17. Jan. 2012 (CET)
Fände ich nicht so gut, die allgemeine Definition soll ja nicht erst am Ende des Artikels auftauchen. --Erzbischof 22:01, 17. Jan. 2012 (CET)
Aber die jetzige Reihenfolge (eindim. Dichte, allgemeiner Fall, zweidim. Dichte) ist doch auch irgendwie seltsam. Dann doch wieder die allgemeinen Def. nach vorne? Mir persönlich ist's eigentlich egal. -- HilberTraum 21:44, 18. Jan. 2012 (CET)

Die allgemeine Definition ist nur von theoretischer Bedeutung, und hat kaum eine Beziehung zur vorher gezeigte Motivation. Was soll ein interessierte Leser, der bestimmt keine Experte ist in der Masstheorie, mit der allgemeine Definition?? Nijdam 12:31, 19. Jan. 2012 (CET)

Die Annahme halte ich fuer falsch. Eine Menge anderer Artikel beruhen auf der allgemeinen Definition, Bedingter Erwartungswert, oder selbst Markow-Ungleichung. --Erzbischof 13:23, 19. Jan. 2012 (CET)
Was ist mit einer Struktur wie
2.1 Allgemeine mathematische Definition
2.2 Spezielle Definitionen
2.2.1 Für eine diskrete reelle Zufallsvariable
2.2.2 Für eine reelle Zufallsvariable mit Dichtefunktion
2.2.3 Für zwei reelle stetige Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion
Ich denke da wie Nijdam. Die meisten Nutzer haben die maßtheoretische Definition niemals zu Gesicht bekommen. Die Definition a la reelle Zufallsvariablen dürften schon mehr gesehen haben und die sollten sich auch wiederfinden können in dem Artikel. --Sigbert 07:48, 21. Jan. 2012 (CET)
Mit der Reihenfolge sind wir dann wieder so wie's am Anfang war, nur besser gegliedert, aber ich finde es so ok. Wichtig wäre halt mMn eine Erklärung/Motivation, wie die verschiedenen Definitionen zusammenhängen. -- HilberTraum 19:26, 23. Jan. 2012 (CET)

man sollte es so definieren wie in guten Formelsammlungen zB(Formelsammlung binomi verlag)auch: stiftet sonst bei anfängern verwirrung wenn später zB verwendet wird!!! (nicht signierter Beitrag von 78.52.123.128 (Diskussion) 15:25, 25. Jun. 2012 (CEST))

Bedeutung des Begriffs[Quelltext bearbeiten]

Neben der mathematisch-statistischen Behandlung des Begriffs sollte m.E. auch eine verbale Darstellung der Bedeutung des Erwartungswertes in den Artikel aufgenommen werden.

Welche Rolle spielt der Erwartungswert für Entscheidungen? Rationale Entscheidungen im Bereich Risikomanagement sollten von einem tieferen Verständnis dessen, was der Erwartungswert ausdrückt, geprägt sein. Hierzu leistet der Artike in seiner jetzigen Form nur einen geringen Beitrag! --Raubfisch 13:44, 12. Mai 2006 (CEST)

Bild[Quelltext bearbeiten]

Kann jemand mir erklaeren was das Bild vorstellt?Nijdam 23:57, 18. Jul 2006 (CEST)

Was soll das heißen?[Quelltext bearbeiten]

Das Gesetz der großen Zahlen sichert in den meisten Fällen zu, dass der streng definierte Begriff mit der heuristischen Erläuterung übereinstimmt.

Was ist die heuristische Erläuterung?

Darüber hinaus wäre ich für ein Beispiel mit Stichprobe und Grundgesamtheit dankbar--Chrisqwq 11:00, 6. Nov. 2006 (CET)

Vorschlag einer Ersatzformulierung: "Das Gesetz der großen Zahlen sichert in den vielen Fällen zu, dass der Stichprobenmittelwert bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergiert." --NeoUrfahraner 07:16, 7. Nov. 2006 (CET)
viel besser --Chrisqwq 08:51, 7. Nov. 2006 (CET)

Anderes erklärendes Beispiel[Quelltext bearbeiten]

Ich finde dass bei denn Beispielen auch das Ausrechnen des Erwartungswertes konkret auch an einem Beispiel mit einer nicht-diskreten Zufallsvariable gezeigt werden soll. Das könnte das Verständnis sicher erleichtern. (nicht signierter Beitrag von 84.56.64.129 (Diskussion) 17:58, 12. Mai 2007 (CEST))

Guckstu hier. --Philipendula 20:56, 12. Mai 2007 (CEST)

Was genau ist x_i[Quelltext bearbeiten]

Immer wieder wird in der Formel x_i verwedenet. Ist dies nun die "Zählvariable" der Summe oder der Wert der das Ereignis hat? Also was ist wenn ich vier Ereignisse habe, wobei jedes mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit entweder eintritt (zb Kopf bei einer Münze) oder nicht (Zahl der Münze). Muss ich dann x_1, x_2, x_3, x_4 jeweils auf 1 setzen oder aber x_1 = 1, x_2 = 2 x_3 = 3 e.t.c.

p_i=50% wäre die Wahrscheinlichkeit Kopf zu werfen. Ich tendiere zu ersterem, dann wäre dies aber vergleichbar mit einer Berechnung des Durchschnitts, also E(X) = 0,5. Es wäre schön wenn dies etwas klarer beschrieben würde, da insbesondere bei dem Würfelbeispiel (x_i = i) beides passen könnte. TTL 21:18, 3. Jun. 2007 (CEST)

i ist die "Zählvariable", x_i der Wert des Ereignisses i. Beim normalen Würfel ist das tatsächlich verwirrend, weil auf den sechs Seiten die Zahlen 1 bis 6 stehen, also wirklich x_i=i gesetzt wird (Genausogut könnte man auch jede andere Reihenfolge wie z.B. x_1=5, x_2=1, x_3=6, x_4=3, x_5=2, x_6=4 schreiben). Anders sieht es z. B. beim Backgammon-Dopplerwürfel aus, dort steht ja 2,4,8,16,32,64 auf den Seiten. Dann nimmt man x_1=2, x_2=4, x_3=8,x_4=16, x_5=32, x_6=64. Bei 4 Ereignissen, also z.B. Wurf mit je einer österreichischen 1 und 2 Euro Münze, gibt's die 4 Werte (Mozart, Bertha), (Mozart,2), (1, Bertha), (1,2). Denen kannst Du irgendwelche "Gewinne" zuorden, also z.B. (Mozart, Bertha)=5, (Mozart, 2)=2, (1, Bertha)=1, (1,2)=0. Zur Berechnung des Erwartungsertes setzt Du dann x_1=5, x_2=2, x_3=1, x_4=0. Alles klar? --NeoUrfahraner 22:18, 3. Jun. 2007 (CEST)

Zusammenhang zwischen Erwartungswert und Erwartungstreue[Quelltext bearbeiten]

Sollte der nicht noch in den Artikel rein? --qwqch 17:17, 23. Jul. 2007 (CEST)

Das gehört meines Erachtens primär zu "Erwartungstreue". --NeoUrfahraner 20:18, 23. Jul. 2007 (CEST)

St. Petersburger Spiel[Quelltext bearbeiten]

Das St. Petersburger Spiel absolut unkorrekt dargestellt! Es ist von großer Bedeutung, dass klar wird, dass pro gesetzter Runde, der Erwartungswert genau um 1 steigt, aber dies rechnerisch den geleisteten Einsatz gerade deckt. Wie wäre die Formulierung:"theorethisch ist ein unendlich großer Gewinn möglich, dessen Auftretenswarschinlichkeit jedoch 1/unendlich ist"??? Denken sie daran, der Erwartungswert hat mit der eigentlichen Ziehung nichts zu tun!

Welcher 6st Klässler hat bitte diese Formeln verbrochen? Das ist ja echt die Spitze vom Eisberg!

Ich mache mir nicht die Mühe es richtig zu stellen, denn irgendein Schlaumeier kommt ja eh, und erfindet die Mathematik neu. Der Artikel ist inhaltlich ne Lachnummer!
(nicht signierter Beitrag von 84.168.113.8 (Diskussion) 22:43, 14. Nov. 2008 (CET))

Ich weiß nicht, in welche Klasse du gehst, aber das St. Petersburger Spiel ist korrekt dargestellt. Zunächst einmal ist der Erwartungswert der Zufallsvariablen "Gewinn" eine feste Größe, er kann nicht pro gesetzter Runde ... genau um 1 steigen. Und er ist nun mal, wie die absolut korrekte Formel zeigt, unendlich. (Der Erwartungswert ist in diesem einfachen diskreten Fall die Summe der Produkte aus den möglichen Werten der Zufallsvariablen und deren Eintritts-Wahrscheinlichkeiten.) -- Jesi 05:45, 27. Nov. 2008 (CET)
Mal was anderes: Wenn man die Berechnung des Erwartungswertes des Spielgewinns als Summe schreiben wuerde, wuerde diese nicht konvergieren (sieht man ja auch am Ergebnis). Dann von Erwartungswert zu sprechen steht aber im Widerspruch zu der Definition des Erwartungswertes ein Stueck hoeher im Artikel: "Nimmt die Zufallsvariable X abzählbar unendlich viele Werte an, dann liegt eine unendliche Reihe vor. In diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn die Konvergenzbedingung". (nicht signierter Beitrag von 136.187.37.157 (Diskussion) 03:31, 16. Mär. 2009 (CET))
Die Beschreibung des Paradoxons ist inkorrekt weil sie keine Verlustmöglichkeit enthält. Folglich wäre es nur logisch, einen unendlich hohen Einsatz zu riskieren. Außerdem wird von "2 Euro" Gewinn gesprochen, ohne dass der Einsatz definiert wurde.

Integral[Quelltext bearbeiten]

Warum die technische Bemerkung über Integrale? Das gehrt nich hier im Artikel. Nijdam 09:43, 29. Dez. 2009 (CET)

Erscheint mir auch nicht sinnvoll; ich habe auf die Version von 10. Dezember 2009 um 17:51 revertiert. --NeoUrfahraner 12:25, 29. Dez. 2009 (CET)
Der Artikel ist in der aktuellen Form ziemlich inkonsistent, was Existenz von Erwartungswerten angeht. In der Einleitung steht, dass der Erwartungswert unendliche Werte annehmen kann. Die späteren Existenzbedingungen schließen gerade das aus.
Ich hatte eine ganze Reihe von Änderungen durchgeführt, um in diesem Durcheinander etwas Ordnung zu schaffen. Mit der technischen Bemerkung am Anfang ging es mir konkret darum, darauf hinzuweisen, dass die Frage der Existenz letztendlich auf Konvention beruht. Lebesguesche Integrationstheorie ist sicherlich sinnvollste Ansatz, um Erwartungswerte zu definieren, aber prinzipiell wären natürlich auch andere Konstruktionen, etwa durch Gesetz der großen Zahlen (Monte-Carlo-Integration) oder geeignetes Abschneiden möglich und würden zu anderen Bedingungen führen.--RSchlicht 15:33, 29. Dez. 2009 (CET)
Aber in der Praxis wird der Erwartungswert immer über das Lebesgue-Integral definiert (was u.U. äquivalent zum Riemann-Integral ist). Andere Definitionen sind natürlich möglich aber in der Praxis nicht üblich und brauchen deshalb eigentlich nicht erwähnt werden. --Beben 15:40, 29. Dez. 2009 (CET)
Das ist richtig. Mein eigentlicher Grund für die Änderungen war die Tatsache, dass die im Artikel aufgeführten Existenzbedingungen unendliche Erwartungswerte grundsätzlich ausschließen. Ich würde die Formulierung "Ein endlicher Erwartungswert existiert genau dann, wenn..." bevorzugen. Unendliche Erwartungswerte kommen in der Mathematik häufiger vor, allein schon in Bedingungen wie .--RSchlicht 15:57, 29. Dez. 2009 (CET)
Ich habe einfach die Existenzaussage für den allgemeinen Fall ergänzt, für die Spezialfälle diskret/stetig stehen schon Existenzbedingungen da. Allerdings ist der Artikel gerade im unteren Abschnitt nicht konsistent zur allgemeinen Definition und tut so als wäre Riemann-Integral gleich dem Lebesgue-Integral... --Beben 17:07, 29. Dez. 2009 (CET)

Jetzt sind wir bei dem Problem gelandet, dass aus dem Gedächtnis "Trivialitäten" hingeschrieben werden, ohne zu überlegen, welche Definition wirklich stimmt. Nach meiner Erinnerung bedeutet "X hat einen Erwartungswert", dass dieser wirklich endlich ist. Ist ja IMHO auch sinnvoll, da die meisten Sätze ja nur in diesem Fall gelten. Wie lautet denn sonst die saubere Voraussetzung für ? WP:Q beachten, auch bei "Trivialitäten"! Was sagt denn die Literatur dazu? Welches Fachbuch verwendet die Konvention, dass der Erwartungswert auch dann existiert, wenn er bestimmt divergent ist? --NeoUrfahraner 07:16, 30. Dez. 2009 (CET)

Genug, so ziemlich jedes Buch was sich mit Wahrscheinlichkeitstheorie beschäftigt. Bsp. "Maß und Wahrscheinlichkeit" (K.D. Schmidt), "Wahrscheinlichkeitstheorie" (A. Klenke), "Versicherungsmathematik"(Schmidt), ... Allerdings muss man mit dem Begriff bestimmt divergent vorsichtig umgehen, nicht jede Zufallsvariable, bei der das (uneigentliche) Riemannintegral für den Erwartungswert existiert (also konvergiert) besitzt einen Erwartungswert. Das liegt am unterschied zwischen dem (uneigentlichen) Riemannintegral und dem Lebesgue-Integral. --Beben 10:29, 30. Dez. 2009 (CET)
Nur ist dann blöderweise der Erwartungswert kein linearer Operator mehr. --NeoUrfahraner 10:59, 30. Dez. 2009 (CET)
Naja bedingt, er ist linear für reelle Koeffizienten. Also für gilt
.
aber nicht für --Beben 11:10, 30. Dez. 2009 (CET)
Es gilt nicht mehr E(X-Y)=EX-EY. --NeoUrfahraner 11:16, 30. Dez. 2009 (CET)
Ja, natürlich auch für E(X+Y) --Beben 11:43, 30. Dez. 2009 (CET)
Genau. Bei E(aX+b)=b+aE(X) gibt es auch Probleme bei a=0. Mit anderen Worten, wenn Du Erwartungswert unendlich erlaubst, musst Du hier im Artikel sowie in allen anderen WP Artikeln sicherstellen, dass dort, wo nötig, auf endlichen Erwartungswert eingeschränkt wird. Hab kurz auf google-Books bei K.D. Schmidt nachgesehen, der macht es anscheinend sauber. --NeoUrfahraner 12:16, 30. Dez. 2009 (CET)
Es gilt E(X+Y) = E(X)+E(Y) immer dann, wenn die rechte Seite definiert ist (nicht (+∞)+(-∞) oder (-∞)+(+∞)); in diesem Fall ist X+Y eine fast sicher definierte Zufallsvariable. E(aX) = aE(X) gilt für reelles a, wenn E(X) definiert ist. Explizit stehen solche Aussagen wahrscheinlich am ehesten in Integrationstheorie-Büchern aus den 60er Jahren. Einige, vor allem neuere Bücher verwenden die Voraussetzung "integrierbar oder nicht-negativ" in der Definition von Erwartungswerten, d.h. unendliche Erwartungswerte sind nur für Zufallsvariablen mit Werten >= 0 erlaubt. Dann kann es passieren, dass E(X) definiert ist, aber E(X-1) nicht.--RSchlicht 12:45, 30. Dez. 2009 (CET)
Ich finde, dass neuere Bücher sich eher darauf stützen, dass die Zufallsvariable quasiintegrierbar ist (auch auch bsp. bei 'K.D.Schmidt'), also quasiintegrierbare Zufallsvariabaln wirklich immer Erwartungswerte aus annehmen. Es stimmt aber, dass E(aX+b)=b+aE(X) bei a=0 Probleme bereiten kann, das hängt von den Konventionen ab. In der Integrationstheorie ist es jedoch üblich, das gilt. Die ganze moderne Lebesgue-Integrationstheorie stützt sich auf diese Aussage und somit auch die W-Theorie. Allerdings muss das genau geklärt sein, das betrifft die ganze Wiki. Was den Erwartungswert in anderen Artikeln angeht, so muss wirklich jede Aussage zum Erwartungswert bezüglich seiner Endlichkeit kontrolliert werden. Artikel wie Varianz und Kovarianz tuen die ähnlich wie der Erwartungswert-Artikel meist nur in Ansätzen. --Beben 13:16, 30. Dez. 2009 (CET)
gilt natürlich auch nicht immer. Nimm X mit EX unendlich und E (1/X)=0. Dann müßte E(1/X) * E(X^2) gleich unendlich sein. --NeoUrfahraner 13:45, 30. Dez. 2009 (CET)
nein, gerade da ist die definition nützlich, denn E(1/X)*E(X^2)= 0 * unendlich = 0 --Beben 14:02, 30. Dez. 2009 (CET)
X_1, X_2 ua wie X verteilt. 0 = E(1/X_1)*E(X_2^2) = E( X_2^2/X_1). Wieso ist der Erwartungswert von X_2^2/X_1 immer Null? --NeoUrfahraner 15:15, 30. Dez. 2009 (CET)
Besseres Beispiel: X cauchyverteilt, X_1 = |X|, X_2 = sign X. X_2 ist ua von X_1. EX_1 ist +unendlich, EX_2 = 0, E(X_1*X_2) nicht existent. --NeoUrfahraner 16:06, 30. Dez. 2009 (CET)

Mir ist es letztlich egal, welche Konvention verwendet wird, aber korrekt soll es sein, und das ist es derzeit nicht. Besser jedenfalls eine weniger allgemeine Version, die korrekt ist, als eine allgemeinere Version, die nicht sauber durchgehalten wird und damit fehlerhaft ist. --NeoUrfahraner 13:36, 30. Dez. 2009 (CET)

Ich denke aber schon, dass die wiki den anspruch erheben sollte Sachen auch allgemein zu beschreiben, wenn sie allgemein beschreibbar sind, was es ja auch ist. Was den Erwartungswert angeht stimmt es dass die Seite und einige verwandte wie Varianz, Kovarianz, Moment überarbeitet/kontrolliert werden müssen. Jedoch ist die Anzahl der Seiten gut überschaubar, da es (zum Glück) die meisten Seiten mit Verteilungen (bsp. Normalverteilung) nicht betrifft. --Beben 14:02, 30. Dez. 2009 (CET)
Und wer wird das überarbeiten/kontrollieren? Bis jetzt ist aber nicht einmal der Artikel Erwartungswert korrekt. --NeoUrfahraner 15:15, 30. Dez. 2009 (CET)

O.K., ich habe jetzt in mehreren Büchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie nachgesehen. Die allgemeine Definition , sofern und nicht beide unendlich, ist recht häufig zu finden, vgl. z.B. Loève, S.119-120. Jedenfalls besteht einige Berechtigung, diese Definition den Existenzaussagen im Artikel zugrundezulegen. Die Formel ist in der Maßtheorie standard, man fasst ∞ immer als Limes einer gegen unendlich konvergierenden Folge auf, weil das am besten zu den Konvergenzsätzen (mon. Konvergenz) passt. Das Cauchy-Beispiel zeigt, dass die Formel E(XY)=E(X)E(Y) für unabhängige Zufallsvariablen dann nur noch unter zusätzlichen Voraussetzungen gilt.--RSchlicht 17:33, 30. Dez. 2009 (CET)

Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole: wer schreibt jetzt endlich diese zusätzlichen Voraussetzungen in die Artikel? --NeoUrfahraner 17:50, 30. Dez. 2009 (CET)

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen[Quelltext bearbeiten]

Dieser Abschnitt ist komplett irrelevant und bringt dem Leser keinen zusätzlichen Nutzen. Er zählt genau die Sachverhalte nochmal auf, welche oben bereits beschrieben sind, nur mit der Änderung, dass nicht , sondern betrachtet wird, was jedoch nur eine ganz normale Transformation der Zufallsvariable ist, falls messbar ist. Es ändert sich nichts an den Gesetzmäßigkeiten, die Berechnung des Erwartungswertes wird weder einfacher noch komplizierter. Ich plädiere für das Löschen des Abschnittes. --Beben 10:45, 30. Dez. 2009 (CET)

Doch: wenn Y=g(X), gilt:
andererseits gilt auch:
Nijdam 17:48, 30. Dez. 2009 (CET)

Gewichtete Zufallswerte[Quelltext bearbeiten]

Mich hat die einleitende Definition überrascht, ich kenne den Erwartungswert als Summe der gewichteten Zufallswerte (was en.wikipedia "weighted average of all possible value" nennt) (nicht signierter Beitrag von 79.229.68.124 (Diskussion) 21:00, 20. Mär. 2011 (CET))

Motivation[Quelltext bearbeiten]

hinweis an leser: der nachfolgende abschnitt ist nicht mehr nachvollziehbar, ohne die history im zeitraum 2011-12 bis 2012-01 zu durchforsten. -- seth 23:08, 15. Jul. 2012 (CEST)

Ich möchte diesen Abschnitt erweitern, aber bitte um Hilfe beim formulieren im Deutsch:

Siehe unten

Ist zufällig, genauer unabhängige Ausprägungen nicht verwirrend? "Ziehen ohne Zurücklegen" ist doch zufällig, aber trotzdem abhängig?

Sollte man nicht einfach mit einem Urnenmodell anfangen? --Sigbert 17:24, 30. Dez. 2011 (CET)
Die Formulierung ist nicht von mir. MMn ist gemeint: zufällige Zahlen, oder genauer gesagt, unabhängige Ausprägungen ... Ich habe den Text nur erweiert, well ich die Uebergang von relativer Hauefigkeit auf Wahrscheinlichkeit nicht gut erklaert worden fand. Wie koennte dMn ein Urnennmodell hierbei behilflich sein? Nijdam 15:39, 31. Dez. 2011 (CET)
Es geht doch darum eine einfache Zufallsstichprobe zu haben; das würde ich in das Urnenmodell verpacken. Also etwa: In einer Urne befinden sich Kugeln mit den Zahlen 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 und 10. Es werden Stichproben von Umfang n (mit Zurücklegen) gezogen. Der Mittelwert der Stichprobe lässt sich schreiben als
...
--Sigbert 20:26, 31. Dez. 2011 (CET)
Alles klar. Schreibe dann einfacher: Es werden zufaelligerweise, mit Zurücklegen, n Kugeln gezogen. Nijdam 17:43, 1. Jan. 2012 (CET)
Finde ich gut, man könnte aber vielleicht noch einfacher das Beispiel mit dem Würfeln von weiter unten verwenden, also die Häufigkeiten der Augenzahlen bei n-maligen Würfeln. Dann bräuchte man auf mit/ohne Zurücklegen gar nicht eingehen. -- HilberTraum 20:41, 2. Jan. 2012 (CET)
Scheint mir auch einfacher zusein. Nijdam 12:30, 13. Jan. 2012 (CET)
So langsam wird mir klar, warum immer so "langweilige" Beispiele in Büchern verwendet werden ... --Sigbert 18:43, 13. Jan. 2012 (CET)
Da ich es verbrochen habe: Ich finde HTs Idee auch gut. --Erzbischof 13:18, 14. Jan. 2012 (CET)
Neuer Vorschlag

Ich mach mal eine Synthese, wie findest du es? --Erzbischof 13:51, 15. Jan. 2012 (CET)

Ich ergänze sie noch folgendermassen. Nijdam 21:20, 15. Jan. 2012 (CET)
Synthese

Im Artikel eingefuegt. Nijdam 11:13, 16. Jan. 2012 (CET)

Einleitung[Quelltext bearbeiten]

Meiner Meinung nach ist in der Einleitung einiges verwirrend bis falsch:

"Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist jener Wert, der sich (in der Regel) bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Experiments als Mittelwert der Ergebnisse ergibt."
Selbst wenn Konvergenz der Mittelwerte vorliegt, "ergibt" sich der EW nicht bei "oftmaligem Wiederholen", sondern i.Allg. nur ein Näherungswert.

"ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung" finde ich völlig nichtssagend: vergleichbar in welcher Hinsicht?

"Ein Erwartungswert muss kein mögliches Ergebnis des zugrunde liegenden Zufallsexperiments sein" ist zumindest sehr seltsam formuliert: Für eine Zufallsvariable wäre für mich ein "Ergebnis des zugrunde liegenden Zufallsexperiments" ein . Dass das nicht E(X) sein kann, ist ja wohl klar. Gemeint dürfte wohl eher sein, dass E(X) keiner der Werte sein muss, die X annehmen kann.

Gibt es Meinungen/Verbesserungsvorschläge? Vor allem: was sollte man als laientaugliche Erklärung schreiben, was der Erwartungswert ist? -- HilberTraum 09:54, 21. Jan. 2012 (CET)

Hast Recht. Vielleicht könnte den ersten Satz wie folgt lauten:

"Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist jener Wert, an dem sich (in der Regel) bei oftmaligem Wiederholen des zugrunde liegenden Experiments der Mittelwert der Ausprägungen annähert."

Der zweite Satz:

"ist vergleichbar mit dem arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung"

Ich weis nicht ob "vergleichbar" noch erklärt werden soll.

Der dritter Satz:

"Ein Erwartungswert muss nicht eine der möglichen Werten der Zufallsvariablen sein"

Nijdam 12:18, 21. Jan. 2012 (CET)

Was ist mit Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen ist ein Lokalisations- oder Lageparameter einer Verteilung, analog zum empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik. Evtl. kann man dann aus der eng. WP noch den Text zu den Berechnungsmethoden übernehmen. --Sigbert 13:48, 21. Jan. 2012 (CET)
Ja, finde ich besser und verständlicher als den Zugang über das Gesetz der großen Zahlen. Die Formulierung aus der en-WP, dass der Erwartungswert das gewichtete Mittel der möglichen Werte ist, die die Zufallsvariable annimmt, gefällt mir auch recht gut, weil das schön auf die Definition hinführt. -- HilberTraum 19:04, 21. Jan. 2012 (CET)
Ich haette gerne eine Einführung die auch die Bedeutung von Wert den man erwartet erklärt. Nijdam 00:17, 23. Jan. 2012 (CET)
Meinste du sowas wie der erwartete Gewinn eines Glücksspiels, was dann auch gleich dem "fairen Einsatz" wäre? Ja das finde ich als Motivation auch sehr nützlich und hilfreich. Sollte man mMn mit in die Einleitung aufnehmen. -- HilberTraum 13:58, 23. Jan. 2012 (CET)

Ich habe jetzt mal versucht einige Vorschläge umzusetzen. -- HilberTraum (Diskussion) 17:23, 2. Mär. 2012 (CET)

MMn muss der Einleitung zwar korrekt sein, aber nicht unbedingt nur mathematische Aspekten zeigen. Ich finde es wichtig das die Einleitung auch eine Erklärung gibt zum besseren Verständnis des Begriffes. Nijdam (Diskussion) 22:31, 2. Mär. 2012 (CET)

Hmm, ich dachte wir wären uns einig, dass sich der Erwartungswert eben nicht als Mittelwert ergibt, wenn man das Experiment oft wiederholt: Ich kann so oft würfeln wie ich will, der Mittelwert wird i.A. nie 3,5 sein (und wenn doch, dann ändert er sich wieder, wenn ich weiterwürfele). -- HilberTraum (Diskussion) 10:31, 3. Mär. 2012 (CET)
Ich habe mal den Gedanken von Nijdam aufgegriffen, es aber ein bisschen anders aufgezogen, was meint ihr? --Erzbischof 11:19, 3. Mär. 2012 (CET)
Vielen Dank, so hört es sich wesentlich besser an. Nijdam (Diskussion) 12:17, 3. Mär. 2012 (CET)

Notation mit spitzen Klammern[Quelltext bearbeiten]

Irgendwo sollte meiner Meinung nach noch erwähnt werden, dass der Erwartungswert auch als geschrieben wird. --PassPort (Diskussion) 23:09, 10. Okt. 2012 (CEST)

(So funktioniert es.) Nijdam (Diskussion) 11:08, 11. Okt. 2012 (CEST)
oh, dann habe ich mich wohl nur vertippt und das nicht bemerkt. Danke! --PassPort (Diskussion) 11:41, 11. Okt. 2012 (CEST)

Mathematische Notation[Quelltext bearbeiten]

  1. Im Artikel wird uneinheitlich und für das Wahrscheinlichkeitsmaß verwendet.
  2. Bei in den Text eingebetteten Formeln erhält man mit ein besseres Schriftbild als mit .
  3. Bei in den Text eingebetteten einzelnen Symbolen, z. B. "für die Zufallsvariablen und gilt", erhält man mit der Verwendung von \scriptstyle besser passende Schriftgrößen, aber eine leider immer noch falsche Adjustierung, z. B. "für die Zufallsvariablen und gilt". Das Schriftbild ist jedenfalls verbessert. Falls die Einbettungen etwas komplexer sind, verbessert sich die Adjustierung, z. B. "für die Zufallsvariablen und gilt".

--Sigma^2 (Diskussion) 14:17, 21. Okt. 2012 (CEST)

Ich habe in meiner Einstellungen bei mathematische Formeln MathJax fuer die Wiedergabe eingestellt. Damit sind viele Tex-Probleme aus der Welt. Nijdam (Diskussion) 22:48, 21. Okt. 2012 (CEST)
+1: Da sollte nicht "per Hand herumgetrickst" werden, sondern solche Probleme sollten durch Verbesserung der softwareseitigen Darstellung gelöst werden, was ja wie gesagt durch die Möglichkeit MathJax zu verwenden teilweise schon geschehen ist. Eine Vereinheitlichung von und in diesem Artikel fände ich aber ok. -- HilberTraum (Diskussion) 09:27, 22. Okt. 2012 (CEST)
Was ist MathJax? Wo kann es eingestellt werden? Danke. --Sigma^2 (Diskussion) 11:50, 22. Okt. 2012 (CEST)
Ganz oben auf "Einstellungen" und dann im Abschnitt "Aussehen" kann man es ganz unten einschalten. Hat noch ein paar Bugs, aber sieht mMn deutlich besser aus. -- HilberTraum (Diskussion) 12:12, 22. Okt. 2012 (CEST)

Bitte Voraussetzungen ergänzen (erledigt)[Quelltext bearbeiten]

Die eingefügte Aussage

gilt natürlich nicht allgemein (sonst könnte ein Erwartungswert nie negativ sein), sondern z.B. nur für Zufallsvariable mit Werten in natürlichen Zahlen. Bitte mit Seitenangabe bei Feller ergänzen.

--Lefschetz (Diskussion) 08:25, 21. Sep. 2015 (CEST)

Die Einschränkung steht im vorhergehenden Satz, diese Aussage ist nur eine Ergänzung. Eigentlich braucht es keine Referenz, das Ergebnis erhält man ja durch einfache Umordnung der Summationsreihenfolge. Aber ich habe es im Feller gelernt, und bei Gelegenheit gucke ich mal die Seitenzahl nach. Wobei natürlich fast der gesamte Artikel ohne Referenzen auskommt..--Duerer38 (Diskussion) 19:28, 21. Sep. 2015 (CEST)
Dass ist Aussage einfach bewiesen werden kann, ist klar. Aber ich finde den Verweis auf die Voraussetzung des Satzes zuvor unglücklich. Zusätzliche Ungklarheit schafft das Symbol aufgrund seiner in Bezug auf die 0 uneinheitlichen Gebrauch, weil bei der von Dir eingefügten Formel ein Wert 0 nicht vorkommen darf, im Satz zuvor aber schon.--Lefschetz (Diskussion) 23:06, 21. Sep. 2015 (CEST)
erledigt (durch Edit 23. Sept. 2015) --Lefschetz (Diskussion) 12:21, 1. Nov. 2015 (CET)

µ[Quelltext bearbeiten]

Sehe ich das richtig : im ganzen Artikel kommt an keiner Stelle µ vor ? Im Artikel My wird auf 'Erwartungswert' verwiesen; Mathebücher der gymnasialen Oberstufe nennen / verwenden µ ... warum ist es im Artikel nicht genannt ? --Neun-x (Diskussion) 11:13, 18. Jan. 2017 (CET)

Unlogisch[Quelltext bearbeiten]

Erwartung einer stochastischer Matrix. Wie heisst der Matrix: Und ihre Erwartungswert: !? Logisch? Laut JonskiC ja. Madyno (Diskussion) 23:45, 6. Aug. 2017 (CEST)