Diskussion:Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

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überarbeitung der einleitung

habe die einleitung komplett neu geschrieben, die alte war in meinen augen aus mehreren gründen ungeeignet:

formulierungen wie "mathematisch gesehen" oder "streng genommen" gehören nicht in einen mathematichen artikel, wenn man mathematik betreibt ist selbstverständlich, dass man es streng nimmt und erst recht mathematisch sieht.

mathematisch waren viele formulierungen nicht sauber. ein intervall um $x$ der länge $dx$ ist so ohne weiteres nicht erklärt, es verwirrt mehr, als dass es hilft.

ebenso verhält es sich mit der schreibweise $P(a<x<b$, sie ist nur eine abkürzung und muss daher erklärt werden. das argument eines wahrscheinlickeitsmaßes muss eine teilmenge von $\Omega$ sein. ich habe weiterhin versucht zu motivieren, warum man den begriff der dichte überhaupt einführt.

zu bemerken bleibt, dass der begriff der wahrscheinlichkeitsdichte vor und nach meiner änderung nur im spezialfall reeller zufallsvariablen geschieht. eine maßtheoretische veralgemeinerung wäre hier wünschenswert, ich kann das leider nicht leisten.

ein konkretes beispiel für eine dichte, vielleicht die einer exponential- oder normalverteilung wäre wünschenswert, ich versuche dies demnächst noch hinzuzufügen. --Leisefuchs 16:57, 12. Mär. 2008 (CET)

schoen, dass du den artikel ueberarbeiten willst. beachte aber bitte, dass wir nicht nur fuer mathematiker schreiben, sondern auch fuer oma. vermeide deshalb lange und vor allem verschachtelte saetze und vernachlaessige bei aller exaktheit nicht die verstaendlichkeit. ich fand z.b. das koerperhoehenbeispiel eigentlich gar nicht so schlecht zur veranschaulichung. -- seth 23:36, 12. Mär. 2008 (CET)

Wäre es auch möglich das Thema etwas "unmathematischer" also auch für Laien zu erklären? matze 15:44, 12.10.2009 (CET)

Man könnte noch den unteren Abschnitt etwas tiefer drücken, hinein in den Tyt. StatistikusMaximus (Diskussion) 18:18, 31. Mär. 2020 (CEST)

Dichtefunktionen und Lebesgue-Maß

Dichtefunktionen gibt es aber doch nicht nur bezüglich des Lebesgue-Maßes! Jede Zufallsgröße hat eine Dichte, die bis auf Nullmengen bezüglich des jweiligen Maßes eindeutig ist! (nicht signierter Beitrag von Lt-Kofi (Diskussion | Beiträge) 19:32, 30. Jun 2008 (CEST))

Das sollte man vielleicht tatsächlich erwähnen, dass es Dichten nicht nur bez. des Lebesgue-Maßes gibt (die Erklärung wird aber relativ kompliziert). Allerdings ist die Existenz einer Dichte keine Eigenschaft einer Zufallsvariablen, sondern eine Eigenschaft eines (Wahrscheinlichkeits-)Maßes (in Bezug auf ein anderes). --Mediocrity 09:18, 1. Jul. 2008 (CEST)

Ich bezog mich auch auf die Diktion im Artikel... Mal schaun, ob ich mal Zeit hab, das dazuzuschreiben (wichtig ist halt, dass es verständlich bleibt). --Lt-Kofi 20:25, 1. Jul. 2008 (CEST)

Hat jede Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Dichtefunktion bezüglich eines geeignet gewählten Maßes?

1. $F_{1}$ sei die Verteilungsfunktion einer Standardnormalverteilung, $F_{2}$ sei die Verteilungsfunktion der Cantorverteilung, dann ist $F=(F_{1}+F_{2})/2$ die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. In welchem Sinn existiert eine Dichtefunktion?
2. $F_{3}$ sei die Verteilungsfunktion einer Poissonverteilung mit dem Parameter $\lambda =1$. Dann ist $F=(F_{1}+F_{3})/2$ die Verteilungsfunktion einer Wahrscheinlichkeitsverteilung. In welchem Sinn existiert eine Dichtefunktion?

--Sigma^2 (Diskussion) 13:22, 17. Aug. 2024 (CEST)

Einleitung

Ich finde die Einleitung des Artikels ganz furchtbar. Der letzte Kommentar von Benutzer:Nori, dass die Stetigkeit von Zufallsvariablen falsch definiert ist, stellt nur eines der Probleme dar. Andere Punkte:

• Die Wahrscheinlichkeitsdichte ist ein Hilfsmittel, mit dem sich die Wahrscheinlichkeit berechnen lässt, dass eine stetige Zufallsvariable zwischen zwei reellen Zahlen a und b liegt. da müsste korrekt "die Werte einer stetigen ZV" stehen (zugegeben, das ist pingelig).
• Einfache zufällige Prozesse lassen sich... Von welchen Prozessen ist denn hier die Rede?
• ...so ist P ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn man... das ist nicht wahr (oder nur teilweise); zusätzlich muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten gleich eins sein.
• Man kann zeigen, dass einzelne Elementarereignisse aus Ω nun keine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben. So wie das hier steht, gibt es jetzt keine Elementarereignisse mehr mit von Null verschiedener Wahrscheinlichkeit. Das ist natürlich nicht wahr; sehr wohl kann es immer noch Elementarereignisse mit positiver Wahrscheinlichkeit geben.
• Eine Abbildung X:\Omega \rightarrow \R wird Zufallsvariable genannt. Es fehlt das Wort "messbar", sonst ist das falsch.

Ich bin daher unbedingt für eine umfassende Änderung dieser Einleitung. (Jaja, ich weiß: "Warum machst du's nicht selbst" und so. Vielleicht will vorher ja noch wer seine Meinung äußern.).

Liebe Grüße. --Mediocrity 14:17, 24. Jul. 2008 (CEST)

Ich kann da völlig zustimmen. Ich werde es mir hier sparen, noch weitere Punkte aufzuführen. Man muss im Grunde den halben Artikel neu schreiben. Mal sehen, wer die Zeit dafür findest. ;-) --Drizzd 10:58, 26. Jul. 2008 (CEST)

Ich würde mich sehr darüber freuen, wenn der wichtige Unterscheidungssatz: Im Gegensatz zu Wahrscheinlichkeiten ... Werte über eins annehmen. ausführlicher erklärt wird, bzw. auf eine Erklärung verweist. Wichtig ist, warum einzelne Werte > 1 sein dürfen, obwohl deren Integral (Summe für stetige Werte) alles in allem nur gleich 1 sein darf. Eine gute Stelle wäre unter Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion, weil da die Lognormalverteilung mit ihrer kumulativen Verteilungsfunktion gezeigt wird und die Verteilungsfunktion tatsächlich nur bis 1.0 geht.

Bildunterschriften

Könnte es sein, dass die unter den beiden Bildern/Grafiken stehenden Bezeichnungen vertauscht sind? (nicht signierter Beitrag von 62.180.231.196 (Diskussion) 11:48, 4. Aug. 2008)

Die Begriffe sind bei mir in derselben Reihenfolge wie die Bilder - links die Verteilungsfunktion (CDF) und rechts die Dichtefunktion (PDF). Bei Dir nicht? --Drizzd 15:32, 4. Aug. 2008 (CEST)

Belege fehlen

Hallo, ich möchte bitte einen Beleg für die folgende Aussage: "Man kann zeigen, dass einzelne Elementarereignisse aus Ω nun keine von Null verschiedene Wahrscheinlichkeit haben." Vielen Dank. Quiet photon 18:30, 1. Mär. 2010 (CET)

Hey, danke, was da steht ist falsch, gewesen (ich kann ja ohne Probleme auch ziemlich schräge Wahrscheinlichkeitsmaße konstruieren, die haben teils sogar praktische Anwendung). Ich habe den groben Fehler korrigiert, allerdings muss man aufpassen, das es der Artikel verständlich bleibt, bzw. verständlicher wird. Ich versuche das im Laufe der Woche noch zu überbearbeiten. --Beben 22:23, 2. Mär. 2010 (CET)

Vielen Dank! Allerdings finde ich die Aussage sehr interressant und als Motivation für die Dichtefunktion sehr passend, es wäre schön wenn du Bedingungen anknüpfen könntest, (Lebesgue-Maß, Existenz einer Dichtefunktion,.. ich weiß es nicht) so dass die Aussage weiterhin im Artikel stehen bleiben kann. Auch würde ich mich über eine Referenz freuen wie man das dann im etwaigen Spezialfall beweist. Wir können dazu auch gerne auf meiner Diskussionsseite diskutieren. Viele Grüße Quiet photon 10:03, 3. Mär. 2010 (CET)

Ja, also das ganze ist nicht ganz so einfach. Fakt ist, dass der Artikel bisher nur auf Lebesgue-Dichten eingeht (was aber in dem Artikel zu wenig zur Geltung kommt). Wenn man nur das Lebesgue-Dichten betrachtet, wäre der Fehler den du nanntest kein Fehler sondern, korrekt - allerdings weiß ich gerade auch nicht in welchem Buch man dazu einen Beweis findet. Aber der Artikel sollte (nicht nur meiner Meinung nach vgl. diskussion oben "Dichtefunktionen und Lebesgue-Maß") den Begriff nicht nur für Lebesgue-Maße beschreiben. Man sollte die beiden wichtigen Dichten, Zähldichte und Lebesgue-Dichte ausführlich erklären auch den Zusammenhang zum allgemeinen Maßtheoretischen Dichte-Begriff, wie er bsp. im Satz von Radon Nikodym verwendet wird. Als Quellen dienen bsp. : "Maß und Wahrscheinlichkeit" K.D.Schmidt Kap.9.2 oder auch "Wahrscheinlichkeitstheorie" A.Klenke Kap.4.1 --Beben 20:25, 3. Mär. 2010 (CET)

Abschnitt Normierung

Den Satz

Die Dichtefunktion $f(x)$ ist jedoch nur mit $f(x)\in [0:\infty [$ beschränkt. So hat eine Gleichverteilung auf $[0:0,5[$ auf diesem Intervall die Dichte $2$ (auf dem Rest $0$).

verstehe ich nicht. Davon scheint mir der Doppelpunkt als Trennungszeichen bei Intervallen ziemlich unüblich zu sein. -- Digamma 15:45, 3. Aug. 2010 (CEST)

Ich verstehe es auch nicht... --84.60.126.162 14:17, 16. Aug. 2010 (CEST)

Habe das mal ausgebessert. Der Doppelpunkt in der Intervallschreibweise diente dazu die Trennung vom Komma unterscheiden zu können. --GhostGambler 11:14, 25. Sep. 2010 (CEST)

Abschnitt "Zusammenhang von Verteilungsfunktion und Dichtefunktion"

Das gilt auch dann noch, wenn es abzählbar viele Stellen $x$ gibt, an denen $F$ stetig, aber nicht differenzierbar ist; welche Werte man an diesen Stellen für $f(x)$ verwendet, ist unerheblich.

Das verstehe ich nicht. Setzt man nur absolut stetig voraus, dann braucht die Funktion nur fast überall differenzierbar zu sein. Differenzierbare Funktionen sind hingegen per definitionem überall differenzierbar. Welchen Sinn hat es, Funktionen zu betrachten, die an abzählbar vielen Stellen nicht differenzierbar sind? -- Digamma 15:52, 3. Aug. 2010 (CEST)

Das ist eine Eigenschaft, die in der Praxis oft vorkommt (stetige Gleichverteilung, Exponentialverteilung, ...) und einfacher zu überprüfen ist als "absolutstetig" ("fast überall differenzierbar" allein genügt nicht)--RSchlicht 18:17, 11. Aug. 2010 (CEST)

Das beantwortet aber noch nicht meine Verständnisfrage. Die Formulierung "selbst dann noch" legt nahe, dass die Aussage dieses Satzes eine Verallgemeinerung des vorherigen

Wenn die Verteilungsfunktion $F$ absolut stetig ist (eine hinreichende Voraussetzung hierfür ist Differenzierbarkeit mit beschränkter Ableitung), ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der zugehörigen Verteilung:

sei. Es wird aber höchstens das "differenzierbar mit beschränkter Ableitung" verallgemeinert, nicht aber das "absolut stetig". Mir wird schlicht der logische Zusammenhang zwischen den beiden Voraussetzungen nicht klar. Folgt denn, dass die Ableitung beschränkt ist? Oder ist das dann nicht nötig?

Und bei den von Dir angegebenen Verteilungen ist die Verteilungsfunktion F nur an endlich vielen Stellen nicht differenzierbar. Abzählbar viele Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist, können ganz schön hässlich sein. -- Digamma 18:29, 11. Aug. 2010 (CEST)

OK, im Artikel steht es anders, als ich es in Erinnerung hatte. Die usprüngliche Formulierung war ungefähr: "Umgekehrt gilt: Wenn die Verteilungsfunktion F differenzierbar ist, ist ihre Ableitung eine Dichtefunktion der zugehörigen Verteilung ...". Absolutstetigkeit folgt dann schon, und Beschränktheit der Ableitung benötigt man nicht: Jede stetige monoton wachsende Funktion, die an allen bis auf endlich oder abzählbar vielen Stellen differenzierbar ist, ist absolutstetig.--RSchlicht 18:41, 11. Aug. 2010 (CEST)

Danke. Ich habe es mal entsprechend umformuliert. Ist es so OK? -- Digamma 19:42, 11. Aug. 2010 (CEST)

Ich denke, es ist OK. Ich habe inzwischen den Beweis der Aussage noch einmal an zwei Stellen nachgeschlagen, dort wird zusätzlich vorausgesetzt, dass entweder F stückweise differenzierbar ist (d.h. die abzählbar vielen Stellen dürfen nicht beliebig liegen) oder dass F' lokal ein endliches Integral hat. Ich muss mir das noch einmal ansehen, aber denke, dass man hier wegen F'≥0 ohne diese Voraussetzungen auskommt. Wenn nicht, werde ich den Artikel entsprechend korrigieren.--RSchlicht 22:04, 11. Aug. 2010 (CEST)

Werte größer 1

Im Artikel heißt es:

"Die Wahrscheinlichkeitsdichte kann Werte größer als 1 annehmen und sollte nicht mit der Wahrscheinlichkeit selbst verwechselt werden."

Ich halte es für angebracht, im Artikel auch zu erklären, wie und weshalb das möglich ist. Zusätzlich sollte dies durch ein anschauliches Beispiel untermauert werden. --Wikilaser 14:26, 5. Nov. 2011 (CET)

Ich würde mich freuen, wenn mal jemand auf meinen Hinweis antwortet. --Wikilaser (Diskussion) 12:52, 24. Jul. 2012 (CEST)

Im Prinzip wird das im Abschnitt "3.1 Normierung und Eindeutigkeit" erklärt, mit grafischen Beispielen. --Digamma (Diskussion) 15:55, 24. Jul. 2012 (CEST)

Ich kann da kein konkretes Beispiel erkennen, das als Ergebnis einen Wahrscheinlichkeitsdichtewert größer 1 liefert. Da sind - wie in den meisten anderen mathematischen Artikeln auch - lediglich mathematische Formelzeichen, aber kein Berechnungsbeispiel mit Zahlen. --Wikilaser (Diskussion) 22:32, 5. Mai 2013 (CEST)

Ich meinte die Grafiken. --Digamma (Diskussion) 19:16, 6. Mai 2013 (CEST)

Diese Grafiken erklären sich nicht selbst, sie haben für mich überhaupt keine Aussagekraft. Wenn ich nach einem konkreten Beispiel frage, dann meine ich die Beschreibung eines konkreten Problems aus der Realität/Praxis, und zwar nicht in Form von Formelzeichen oder Grafiken, sondern in Form einer erklärenden Beschreibung. --Wikilaser (Diskussion) 01:10, 23. Jun. 2013 (CEST)

Dichte ist Wahrscheinlichkeit pro Länge (oder pro Fläche, Zeit usw. in was eben die Zufallsvariable gemessen wird). Es gibt also gar keinen Grund, warum sie kleiner als 1 sein sollte. Das ist wie bei der Dichte in der Physik (Masse pro Volumen): Was eine Dichte größer als 1 hat, geht im Wasser unter :-) Insofern finde ich den Hinweis im Artikel fast eher verwirrend als hilfreich. -- HilberTraum (Diskussion) 09:49, 23. Jun. 2013 (CEST)

Es geht nicht um den physikalischen Dichtebegriff, sondern um Wahrscheinlichkeitsdichte (Ich frage mich mittlerweile immer mehr, was das überhaupt ist.). Wahrscheinlichkeiten sind normalerweise Werte zwischen 0 und 1, im Einzelfall auch exakt 0 oder exakt 1. Aber meine Frage ist ja: Bei welchem konkreten Beispiel tritt ein Wahrscheinlichkeitsdichtewert größer 1 auf? --Wikilaser (Diskussion) 18:27, 23. Jun. 2013 (CEST)

Beispiel: Bei der stetigen Gleichverteilung auf einem Intervall der Länge L hat die Dichte den Wert 1/L. Wenn das Intervall also kürzer als eine Längeneinheit ist, dann ist die Dichte größer als 1. -- HilberTraum (Diskussion) 19:13, 23. Jun. 2013 (CEST)

Auf gut Deutsch: Wenn man mit einer Fliegenklatsche von 100cm² auf eine Fliege schlägt, die kleiner als 100cm² ist und unbeweglich dasitzt, dann trifft man sie mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte größer 1. Richtig? --Wikilaser (Diskussion) 00:42, 27. Jun. 2013 (CEST)

Eher nein, "trifft man sie mit einer Wahrscheinlichkeitsdichte größer 1" gibt keinen Sinn, weil sich eine Dichte immer auf eine Zufallsvariable bezieht und nicht auch ein Zufallsereignis. Vielleicht eher so: Eine Fliege setzt sich auf eine Fliese mit der Fläche 0,1 m², dann ist die Dichte der Position, an der sie sitzt, gleich 10. Wenn man jetzt wissen will, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich die Fliege auf die linke Hälfte der Fliese setzt, kann man (umständlich, aber richtig) rechnen "Fläche mal Dichte", also 0,05 mal 10 gleich 0,5, also 50 %. -- HilberTraum (Diskussion) 08:04, 27. Jun. 2013 (CEST)

Eine solche Aussage ergibt doch gar keinen vernünftigen Sinn. Diese Dichte müßte doch irgendeinen Bezug zur Größe der Fliege selbst bzw. der Größe der von ihr besetzten (=abgedeckten) Position auf der Fliese haben. Und ein solcher Bezug ist bei diesem Beispiel überhaupt nicht angegeben. Davon abgesehen ist mein Beispiel doch auch treffend, da die Fläche der Fliegenklatsche größer ist als die Fläche der Fliege. Wäre sie kleiner als die Fliege, aber der Zielbereich beim Zuschlagen gleich groß wie vorher, könnte man ja vorbeischlagen. --Wikilaser (Diskussion) 13:32, 27. Jun. 2013 (CEST)

In meinem Beispiel ist die Fliege sehr klein, also eigentlich punktförmig (in echt kann man ja das Muggeseggele nehmen ;-). Die Position der Fliege ist also ein Punkt (Geometrie) auf der Fliese.
Kann sein, dass du mit deinem Beispiel auch etwas Richtiges meinst, aber ich versteh's nicht. Deine Fliege ist also "groß", aber kleiner als die Fliegenklatsche, und was passiert dann? Man kann ja trotzdem vorbeischlagen, oder? Was beobachtest du denn, also was ist dein Zufallsexperiment? -- HilberTraum (Diskussion) 15:09, 27. Jun. 2013 (CEST)

Es ist egal, wie klein oder gar punktförmig die Fliege ist. Die Bedeutung einer Wahrscheinlichkeitsdichte größer 1 ergibt keinen Sinn. Wenn die Wahrscheinlichkeitsdichte steigt, weil die Fläche, auf die sich die Wahrscheinlichkeitsdichte bezieht, kleiner wird, was soll das dann bedeuten? Wenn am Ende als Fläche für den Aufenthaltsort der Fliege nur noch ein Punkt bleibt, dann müßte der Wahrscheinlichkeitsdichtewert ja unendlich sein. Und dann? --Wikilaser (Diskussion) 18:10, 28. Jun. 2013 (CEST)

Ganz einfach: Auch das Integral über die Delta-Distribution ist (je nach eingesetzten Grenzen) entweder Eins oder Null. Will heißen: Je nachdem, wo du hinschlägst, ist die Wahrscheinlichkeit die Fliege zu treffen entweder 100% oder 0%. --McZusatz (Diskussion) 18:53, 28. Jun. 2013 (CEST)

Wenn das so ist, dann ergeben doch Wahrscheinlichkeitsdichtewerte größer 1 überhaupt keinen Sinn. Man kann nur mit einer Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 treffen. In dem Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie wird behauptet, daß man nur bestimmte Gebiete treffen kann, und wenn man diese als infinitesimal annimmt, würde man zum Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte gelangen. Aber was soll diese Wahrscheinlichkeitsdichte denn aussagen, wenn der zugehörige Wahrscheinlichkeitswert 0 ist? Welchen Sinn hat die Wahrscheinlichkeitsdichte? Oder anders gefragt: Je mehr die Wahrscheinlichkeit gegen 0 geht, umso größer wird der Wahrscheinlichkeitsdichtewert? Und je mehr die Wahrscheinlichkeit gegen 1 geht, umso kleiner wird der Wahrscheinlichkeitsdichtewert? Im Extremfall: Wahrscheinlichkeit = 0 --> Wahrscheinlichkeitsdichte = unendlich? --Wikilaser (Diskussion) 12:04, 29. Jun. 2013 (CEST)

Man sollte vielleicht noch dazusagen, dass "unendliche" Dichtewerte eher eine Anschauung sind, die aus der Physik kommt. Im Sinne des Artikels müsste man sagen, dass keine Dichte existiert, wenn die Wahrscheinlichkeit auf einzelnen Punkte konzentriert ist. Aber mitunter ist die Vorstellung der unendlichen Dichte an einzelnen Punkten recht nützlich. Exakte Formulierungen verwenden z.B. Diracmaße, aber die sind recht abstrakt.-- HilberTraum (Diskussion) 13:06, 29. Jun. 2013 (CEST)

Mit anderen Worten, es ist genau umgekehrt, wie ich es im vorigen Beitrag gefragt habe: Je kleiner die Wahrscheinlichkeit, umso kleiner der Dichtewert? Im Extremfall: Wahrscheinlichkeit = 1 --> Dichtewert = unendlich? Des weiteren habe ich aber immer noch nicht wirklich verstanden, was genau eigentlich diese Wahrscheinlichkeitsdichte nun aussagen soll. --Wikilaser (Diskussion) 20:53, 29. Jun. 2013 (CEST)

(Ich rücke mal aus) Eigentlich sollte ja der Artikel erklären, was eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist und wofür man sie brauchen kann. Deine Fragen, Wikilaser, interpretiere ich aber so, dass das dem Artikel nicht gelingt. Sag' doch bitte mal genauer, welche Stellen du verstehst und welche nicht. Dann könnten wir vielleicht zusammen diese Diskussion benutzen, um den Artikel besser und verständlicher zu machen. Damit wäre dann allen geholfen. -- HilberTraum (Diskussion) 21:27, 29. Jun. 2013 (CEST)

Gut, dann versuche ich das mal: Ich habe zumindest soviel verstanden, daß es ein Unterschied ist, ob eine Ergebnismenge endlich oder unendlich viele Elemente enthält. Beim Würfel ist die Sache ja klar, jede Zahl hat die Wahrscheinlichkeit 1/6. Wenn ich aber eine bestimmte reelle Zahl x im Intervall [0,1] treffen will, ist die Ergebnismenge unendlich und folglich die Wahrscheinlichkeit 1/unendlich (was als Elementarereignis mit der Wahrscheinlichkeit P = 0 angesehen wird). Wenn die Wahrscheinlichkeitsverteilung darüber Auskunft geben soll, welche Ereignisse öfter und welche anderen Ereignisse weniger oft vorkommen (im Intervall [0,1] sind alle reellen Zahlen gleichberechtigt), wozu braucht man dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte? Welche Frage soll die Wahrscheinlichkeitsdichte beantworten? --Wikilaser (Diskussion) 00:03, 30. Jun. 2013 (CEST)

Aber dass die Dichtefunktion in solchen Fällen einfach ein Hilfsmittel ist, um die Wahrscheinlichkeiten von Teilintervallen zu berechnen, sollte aus dem Text eigentlich schon klar werden. Und viel mehr muss man eigentlich erst mal(!) gar nicht verstehen: Bei einem konkreten Problem muss man nur herausfinden, um welche Verteilung es sich handelt, schaut dann nach, wie die zugehörige Dichtefunktion lautet, und kann dann mit den angegebenen Formeln alles ausrechnen, was einen interessiert. Das ist doch auch schon was wert, oder? -- HilberTraum (Diskussion) 18:52, 30. Jun. 2013 (CEST)

Es geht daraus aber nicht hervor, was genau diese Wahrscheinlichkeitsdichte sein soll. Meine Frage steht immer noch im Raum: Welche Frage beantwortet die Wahrscheinlichkeitsdichte? Welche Werte werden dafür zueinander in Bezug gesetzt? Liefert das Intervall [0,1] eine andere Dichte als das Intervall [0,1/2] (dürfte es eigentlich nicht, da die reellen Zahlen in beiden Intervallen gleich dicht angeordnet sind)? Die Frage wäre ferner, ob die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte reelle Zahl x im Intervall [0,1/2] zu treffen, eine größere Wahrscheinlichkeit haben kann, als im Intervall [0,1] (sollte sie eigentlich, weil die Ergebnismenge ja nur halb so groß ist - und das, obwohl auch sie unendlich ist)? --Wikilaser (Diskussion) 22:37, 1. Jul. 2013 (CEST)

Bestimmte einzelne Zahlen haben bei stetiger Verteilung immer Wahrscheinlichkeit null, aber ja, die Dichte bei [0,1/2] ist doppelt so groß (nämlich 2) wie bei [0,1]. Es geht ja nicht um die "Dichte" der reellen Zahlen, sondern um das Verhältnis von Wahrscheinlichkeit zu Intervalllänge: [0,1/4] überdeckt bei [0,1] nur 25 % der Gesamtlänge, aber 50 % von [0,1/2]. Wichtig ist die Dichte aber eigentlich erst, wenn sie innerhalb des Intervalls nicht konstant ist, denn bei einer Gleichverteilung kann man die Wahrscheinlichkeit einfach aus dem Verhältnis der Längen zueinander berechnen. -- HilberTraum (Diskussion) 23:08, 1. Jul. 2013 (CEST)

Das Verhältnis von Wahrscheinlichkeit zu Intervalllänge wäre aber hier 0/0,5 und nicht 1/0,5. Du meinst offenbar das Verhältnis von Anzahl der gewünschten Ereignisse zur Intervalllänge. Denn wollte man 2 reelle Zahlen x und y im Intervall [0,1/2] treffen, wäre die Dichte 4. Die Frage ist nur, wie sieht das aus, wenn man unterschiedliche Maßeinheiten zugrundelegt? Dichte 1/[0m,1/2m] = 2, Dichte 1/[0cm,1/2cm] = 2. So gesehen ergibt dieses Verhältnis keinen Sinn. --Wikilaser (Diskussion) 12:07, 2. Jul. 2013 (CEST)

Den Anfang habe ich nicht verstanden, es geht doch nicht darum, Zahlen zu treffen und schon gar nicht zwei, sondern man hat eine "zufällige" Zahl im Grundintervall und fragt nach der Wahrscheinlichkeit, dass diese Zahl in einem Teilintervall liegt: Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Intervalllängen und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das Verhältnis von Wahrscheinlichkeit zu Intervalllänge. Zum zweiten Punkt: Die Dichte hängt von den verwendeten Maßeinheiten ab, die muss man also immer dazusagen. Wenn man zu anderen Einheiten wechselt, ändert auch die Dichte ihren Wert. -- HilberTraum (Diskussion) 20:02, 2. Jul. 2013 (CEST)

Moment mal: Welche Wahrscheinlichkeit meinst Du, wenn Du sagst "die Wahrscheinlichkeitsdichte ist das Verhältnis von Wahrscheinlichkeit zu Intervalllänge"? Meinst Du "Die Wahrscheinlichkeit ist das Verhältnis der Intervalllängen"? --Wikilaser (Diskussion) 22:36, 2. Jul. 2013 (CEST)

Mit "Wahrscheinlichkeit" ist hier immer die Wahrscheinlichkeit gemeint, dass der zufällige Punkt in einem bestimmten Intervall liegt. Zum Beispiel wenn das Grundintervall die Länge 0,5 hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Punkt in einem Teilintervall der Länge 0,2 landet, gleich 0,2 / 0,5 = 0,4 und die Wahrscheinlichkeitsdichte ist dann 0,4 / 0,2 = 2 (Wahrscheinlichkeit des Intervalls geteilt durch seine Länge). -- HilberTraum (Diskussion) 23:12, 2. Jul. 2013 (CEST)

Ok, jetzt verstehe ich langsam die Aussagekraft der Wahrscheinlichkeitsdichte. Nehmen wir nun das Beispiel aus dem Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie, wohnach die Wahrscheinlichkeit, mit einer als punktförmig angenommenen Pfeilspitze einen bestimmten Punkt auf der Zielscheibe zu treffen, gleich 0 ist: Hier ist das Grundintervall eine zweidimensionale Fläche und keine eindimensionale Länge, und das Teilintervall eine als infinitesimal angenommene Fläche (streng genommen ein Punkt ohne Fläche). Wie sieht es da aus? Respektive wo nimmt man da die Werte her, die man einsetzen muß? Ein Kreis mit Radius 1? Oder ein Quadrat 1x1? --Wikilaser (Diskussion) 20:28, 3. Jul. 2013 (CEST)

Bei Flächen geht das ganz genauso: Die Dichte auf so einer (sehr kleinen) Teilfläche bekommt man, indem man die Wahrscheinlichkeit dorthin zu treffen durch Flächeninhalt der Teilfläche teilt. Was dabei in echt herauskommt, lässt sich natürlich nicht so leicht sagen, das hängt ja davon ab, wie gut der Werfer zielen kann usw. -- HilberTraum (Diskussion) 21:17, 3. Jul. 2013 (CEST)

Das hieße bei diesem Spezialfall also, man teilt die Wahrscheinlichkeit 0 durch die Teilfläche 0 und erhält als Dichte 0/0=??? (die Division durch 0 ist ja nicht definiert). Kommt da jetzt 1 raus, weil 1/1=1, 2/2=1, 0,5/0,5=1, allgemein x/x=1, folglich 0/0=1? --Wikilaser (Diskussion) 22:56, 3. Jul. 2013 (CEST)

Das ist jetzt eher ein Problem der Vorstellung von "infinitesimalen" Größen. Am besten stellt man sich sehr kleine Teilflächen vor, aber nicht Flächeninhalt 0. -- HilberTraum (Diskussion) 20:17, 4. Jul. 2013 (CEST)

Naja, dann haben wir aber ein anderes Problem: Jede "sehr kleine Teilfläche" wäre bereits eine endlich kleine Teilfläche, und bei jeder noch so kleinen endlichen Teilfläche wäre die Wahrscheinlichkeit bereits größer als 0. Es geht aber um eine unendlich kleine Teilfläche und damit um eine unendlich kleine Wahrscheinlichkeit (was ja als Wahrscheinlichkeit 0 gewertet wird)(und ein Punkt hat nun einmal den Flächeninhalt 0). --Wikilaser (Diskussion) 00:46, 5. Jul. 2013 (CEST)

Nö, eher nicht: "Unendliche kleine" Teilflächen gibt es nicht. Das war zwar früher mal eine Art mathematisches Ersatzkonzept (siehe Infinitesimalrechnung), aber so etwas ist hier gar nicht nötig und schadet eher der Anschauung. Entweder der Flächeninhalt ist null, dann ist aber auch die Wahrscheinlichkeit null, oder er ist größer als null, dann ergibt sich die Wahrscheinlichkeit "ungefähr" als Dichte mal Fläche; genau genommen muss man aber die Dichte integrieren, so wie es im Artikel beschrieben ist. -- HilberTraum (Diskussion) 14:56, 5. Jul. 2013 (CEST)

Es mag ja sein, daß es physikalisch keine unendlich kleinen Teilflächen gibt. Aber hier geht es um Mathematik. Und im Artikel Wahrscheinlichkeitstheorie heißt es: "Eine sinnvolle mathematische Theorie kann man nur auf der Wahrscheinlichkeit aufbauen, bestimmte Gebiete zu treffen. Wenn man diese Gebiete wiederum als infinitesimal annimmt, gelangt man zum Begriff der Wahrscheinlichkeitsdichte." Nach Deinen hier gemachten Äußerungen wäre das ja dann falsch. Letztlich ändert es nichts daran, daß es zu diesem Spezialfall sowohl eine Wahrscheinlichkeit als auch eine dazugehörige Dichte geben muß. Erstmal muß das grundsätzlich geklärt sein, dann können wir über das Integrieren reden. --Wikilaser (Diskussion) 22:16, 5. Jul. 2013 (CEST)

Ich habe die "infinitesimalen Gebiete" dort mal rausgelöscht, das ist Quatsch und unverständlich. -- HilberTraum (Diskussion) 08:42, 6. Jul. 2013 (CEST)

(ich rücke nochmal aus) Das Problem bleibt aber, daß bei einer endlichen Teilfläche nur eine endliche Wahrscheinlichkeit größer 0 herauskommt. Die Wahrscheinlichkeit für diesen Spezialfall ist aber 0, weil die Fläche des Punktes, der getroffen werden soll, gleich 0 ist (denn ein Punkt hat nunmal keine Fläche). Wenn man nun die Gebiete nicht als infinitesimal annehmen will, sie aber auch nicht endlich sein dürfen, muß man sie Schritt für Schritt als immer kleiner annehmen, was dazu führt, daß der Wahrscheinlichkeitswert nach und nach gegen 0 geht. Da man das aber unendlich immer weiter fortsetzen muß, da man in jedem Einzelschritt immer nur eine endliche Fläche und damit immer nur eine endliche Wahrscheinlichkeit größer 0 bekommt, bleibt es dabei: Man muß die Fläche doch als infinitesimal annehmen. --Wikilaser (Diskussion) 11:08, 6. Jul. 2013 (CEST)

Ich denke du siehst ein "Problem", wo sich in der Realität gar keines stellt, weil du der Wahrscheinlichkeitsdichte irgendeine tiefere, "philosophische Existenz" unterstellen willst, die sie gar nicht hat: Entweder du nimmst eine Dichte als gegeben an, dann kannst du die Wahrscheinlichkeiten für alle Gebiete problemlos berechnen, egal ob sie Fläche null haben oder nicht; oder (so wird es bei realen Problem eher sein) du musst die Dichte erst aus einer Zufallsstichprobe mit statistischen Verfahren schätzen, aber auch dazu brauchst keine "Grenzwerte von Gebieten" oder ähnliches. In beiden Fällen ist Dichte lediglich eine Funktion, die einem hilft, etwas konkret auszurechnen. -- HilberTraum (Diskussion) 11:41, 6. Jul. 2013 (CEST)

In unserer gelebten Praxis liegt alles, was in irgendeiner Weise in Richtung Grenzwertproblem geht, jenseits des Meßbaren und damit jenseits der Realität, da gebe ich Dir ja Recht. Aber die Betrachtung eines exakten Treffers im absoluten Zentrum einer Zielscheibe gehört absolut zur mathematischen Realität. Ich möchte die Wahrscheinlichkeitsdichte einfach verstehen und nicht nur blind auswendig gelernt anwenden können. --Wikilaser (Diskussion) 19:35, 7. Jul. 2013 (CEST)

Ja, wenn du unbedingt willst, kannst du eine Wahrscheinlichkeitsdichte auch durch eine Grenzwertbetrachtung erzeugen: Du teilst das Gesamtgebiet in kleine Teilgebiete auf und setzt in jedem die Dichte konstant als Wahrscheinlichkeit geteilt durch Flächeninhalt, wenn du nun die Teilgebiete immer kleiner machst, bekommst du im Grenzwert eine Funktion heraus, die dann die tatsächliche Dichtefunktion ist. Aber wirklich nötig ist wie gesagt so eine Überlegung normalerweise nicht. Man kann das verwenden, um abstrakt die Existenz einer Dichtefunktion unter gewissen Voraussetzungen zu beweisen, also den Satz von Radon-Nikodym, aber auch dafür gibt es andere Möglichkeiten. -- HilberTraum (Diskussion) 15:50, 9. Jul. 2013 (CEST)

Titel

Sollte der Artikel nicht besser "Wahrscheinlichkeitsdichte" heißen? Dichtefunktionen gibt es auch bei anderen Verteilungen. Zum Beispiel sind in der Physik die Ladungsverteilung oder die Massenverteilung oft durch Dichtefunktionen gegeben. --Digamma (Diskussion) 22:11, 24. Jun. 2013 (CEST)

Ich habe mal geschaut, was von beiden in der Lehrbuchliteratur häufiger ist, und es scheint mir sehr ausgeglichen zu sein, viele erwähnen beide Bezeichnungen. In der "Praxis" wird wohl meist sowieso nur "Dichte" gesagt. Stimmt schon, "Wahrscheinlichkeitsdichte" klingt schon etwas eindeutiger, aber ob sich deswegen ein Verschieben lohnt (in der Wikipediavolltextsuche steht's 96 zu 97 :-)? -- HilberTraum (Diskussion) 21:34, 25. Jun. 2013 (CEST)

Mein Punkt war eher, dass der Begriff "Dichtefunktion" allgemeiner ist als "Wahrscheinlichkeitsdichte". Ich erinnere mich vage, dass ich vor einiger Zeit hier nach Dichtefunktion gesucht habe und dabei keine Wahrscheinlichkeitsdichte gemeint habe. Ich war dann überrascht über den Inhalt des Artikels. --Digamma (Diskussion) 22:20, 25. Jun. 2013 (CEST)

Wenn man im Netz nach "Dichtefunktion" sucht, kommt eigentlich nur die Wahrscheinlichkeitsdichte. Wahrscheinlich müsste es wohl sprachlich korrekt "Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion" heißen, aber das ist zu lang und ungebräuchlich. Aber wie gesagt, aus meiner Sicht spricht auch nichts gegen eine Verschiebung auf "Wahrscheinlichkeitsdichte", wenn du das leserfreundlicher findest. -- HilberTraum (Diskussion) 22:39, 25. Jun. 2013 (CEST)

Ich würde eine Verschiebung auf „Wahrscheinlichkeitsdichte“ für sinnvoll halten und unterstützen. Grüße, Troubled @sset  ^{Work • Talk • Mail}  23:49, 2. Jul. 2013 (CEST)

Was sagt die PDF aus?

Der Artikel verfehlt es zu erklären, was die PDF eigentlich aussagt. Mit interesse habe ich die "Werte größer 1" Debatte weiter oben gelesen. Aber auch dort kommt dann das raus, was ich auch vorher wusste: Die PDF kann genutzt werden, um die Wahrscheinlichkeit oder CDF zu berechnen. Naja, das ist nun nicht wirklich eine Definition, oder? Wenn ich in Wikipedia z.B. nach "Papier" suche, würde ich erwarten, dass man dort erklärt, was Papier ist und nicht eine Antwort ala "Das ist dazu da, um Tinte festzuhalten oder für Origami". Dass der Wert der PDF auch eine intuitive Bedeutung haben muss, zeigt sich daran, dass sie aktiv in mathematischen Formeln verwendet wird. Z.B. wird zur Berechnung von Nachfrage-Elastizitäten, welche berücksichtigen, dass die Nachfrage auch Nullwerte haben kann, die Warhscheinlichkeit berücksichtigt, dass die Nachfrage > 0 ist. Dabei wird an die Standardformel zur Elastizitäten-Berechnung die PDF heranmultipliziert (und an anderer Stelle die CDF). Ich versuche nun, den Sinn davon zu verstehen, also was der Wert der durch die PDF gegebenen heranmultiplizierten Konstante nun aussagt. Dieser Artikel kann das nicht erklären, weil er nicht beschreibt, was die PDF ist. Tut übrigens auch nicht die englische Wikipedia. Kann man das nicht intuitiv in Worte fassen, was diese Kurve und ihre Werte aussagen? Bei der CDF geht es doch auch. --134.110.31.95 13:29, 11. Jul. 2014 (CEST)

Doch, das ist schon die Definition, das sagt auch der Abschnitt „Definition“ im Artikel. Ein bessere Vergleich als Papier wäre vielleicht der Artikel Schreibgerät. In der obigen Diskussion „Werte größer 1“ ist aber doch so eine Art Interpretation herausgekommen: Für kleine Intervalle, in denen die Dichte nahezu konstant ist, kann diese Konstante als Wahrscheinlichkeit pro Intervalllänge angesehen werden. Um etwas zur Interpretation deiner Elastizitäten zu sagen, müsste man noch Genaueres wissen. Hast du einen Link zu den Formeln? -- HilberTraum (Diskussion) 18:00, 11. Jul. 2014 (CEST)

Zufallsvariable

Ich möchte oben Benutzer:Mediocrity zitieren:

"Allerdings ist die Existenz einer Dichte keine Eigenschaft einer Zufallsvariablen, sondern eine Eigenschaft eines (Wahrscheinlichkeits-)Maßes (in Bezug auf ein anderes). --Mediocrity 09:18, 1. Jul. 2008"

Warum beschränkt sich der Artikel auf Zufallsvariablen? --Digamma (Diskussion) 20:04, 11. Jul. 2014 (CEST)

Der Artikel will wohl aus didaktischen Gründen ohne Maßtheorie auskommen, was prinzipiell wahrscheinlich gar nicht so schlecht ist. Das Problem ist natürlich, dass Dichte von Maßen arg versteckt im Artikel Satz von Radon-Nikodým ausgelagert sind. Hast du eine Idee, was man da besser machen könnte? -- HilberTraum (Diskussion) 21:09, 11. Jul. 2014 (CEST)

Ich finde, es gehört ausgebaut. Z.B. in Richtung Mischtheorie. Da hat es gar nichts in eurem Wiki. StatistikusMaximus (Diskussion) 18:23, 31. Mär. 2020 (CEST)

Beispiele mit Äpfeln und Birnen!

Hey Leute, man versteht ja kein Wort!
Wenigstens in Einleitung und unter Beispielen würde ich in einer Enzyklopädie, die sich an die breite Öffentlichkeit wendet, ein paar normalsprachliche Erklärungen erwarten, damit man als Laie - wenn nicht die Formeln anzuwenden - wenigstens in der Lage ist, einen solchen Graphen zu lesen. Welche Datenwerte in einer Datenreihe (zB Meßergebnisse, zB sportliche Tagesbestergebnisse, zB verkaufte Stückzahlen, zB Verkehrsaufkommen, irgendwas Anschauliches) tauchen in einer gegebenen Verteilung wo mit welcher Wahrscheinlichkeit auf? Wie und warum sind die `dicht´? Das geht doch auch auf Deutsch und mit Bildchen! Danke! --217.84.86.90 14:42, 11. Dez. 2015 (CET)

Bedeutung des Intervalls

@HilberTraum: Ich habe in der Formulierung

Für eine Zufallsvariable $X$ erhält man also die Wahrscheinlichkeit $P(a\leq X\leq b)$ als die Fläche unter der Dichtefunktion über dem Intervall $(a,b)$ das über dem Intervall in über das Intervall geändert, du hast das rückgängig gemacht mit der Begründung „die Fläche liegt über dem Intervall“.
Die Frage hier ist, wie man „Intervall“ definiert. Für mich ist der Graph einer Funktion (die „Kurve“) nicht die Funktion, und der entsprechende Abschnitt auf der X-Achse ist nicht das Intervall. Bei Erfüllung gewisser Regularitätsbedingungen entspricht das Maß der Fläche unter der Kurve und über der X-Achse in einem Intervall dem Wert des Integrals, integriert wird aber über das Intervall und nicht über dem Intervall, eben weil das Intervall nicht identisch ist mit seiner geometrischen Darstellung als Abschnitt auf der X-Achse.
Das ganze Thema ist aber nicht wichtig genug für eine Auseinandersetzung über die exakte Formulierung, der Text ist soweit ja verständlich. Ich wollte nur selbst im Artikel etwas nachlesen und bin über diese Formulierung gestolpert.
Grüße, Troubled @sset  ^{Work  •  Talk  •  Mail}   11:50, 16. Aug. 2016 (CEST)

Ich denke das Wort „unter“ zeigt, dass die Aussage geometrisch gemeint ist. Aber stimmt, dann ist dort Einiges nicht exakt: Es ist der Flächeninhalt gemeint und der Graph der Dichtefunktion. Aber verständlich ist es wohl schon. Ich hab mal noch ein Bild eingefügt. -- HilberTraum (d, m) 12:33, 16. Aug. 2016 (CEST)

Bemerkungen zur Definition

In den „Bemerkungen zur Definition“ wird angemerkt, das Lebesgue-Integral müsse strenggenommen mit $\mathrm {d} \lambda \left(x\right)$ geschrieben werden. Ich denke, der Buchstabe $\lambda$ ist an dieser Stelle eher irreführend als hilfreich. Wenn ich den Artikel Lebesgue-Integral richtig verstehe, soll der Teil hinter dem Differential das Maß bezeichnen, nach dem integriert wird, in diesem Fall also das Wahrscheinlichkeitsmaß, das aber vorher im Artikel überhaupt keinen Namen bekommen hat. Beziehungsweise ist doch

$\int _{A}f\left(x\right)\,\mathrm {d} x=\int _{A}1\;\mathrm {d} \mu \left(x\right)$,

wobei $\mu$ das durch $f$ definierte Wahrscheinlichkeitsmaß ist.

Ich bin kein völliger Laie in Wahrscheinlichkeitstheorie (wohl aber in Maßtheorie), aber ich schätze, für „echte“ Laien sollte man den Abschnitt etwas verständlicher formulieren (wenn das geht). --85.176.214.175 12:22, 29. Apr. 2017 (CEST)

Ich sehe das Problem, auf das du hinaus willst und ich bin mir dessen auch bewusst. Das Problem dieses Artikels ist, dass er sowohl für die Schulmathematik relevant ist und daher für den entsprechenden Leser von der Notation und den Vorrausgesetzten Strukturen verständlich sein sollte, als auch in einem allgemeineren abstrakten Kontext noch korrekt sein sollte. Daher habe ich mich für die Lösung entschieden, die Notation des Riemann-Integrals zu nutzen und in dem angesprochenen Abschnitt einen Hinweis darauf zu geben, dass es sich hier eingentlich um ein allgemeineres Integral handelt. Diesen Unterschied an der Notation festzumachen ist auf jeden Fall fragwürdig, da auch die Notation des Lebesgue-Integrals nicht von jedem Autoren gleich gehandhabt wird. Ich habe jetzt mal dazugeschrieben, dass es sich um das Lebesgue-Integral bezüglich des Lebesgue-Maßes $\lambda$ handelt und hoffe das verbessert die Situation ein wenig. Wenn du weitere Anregungen hast: Gerne. Es gilt hier der Grundastz: Sei mutig!! Liebe Grüße --NikelsenH (Diskussion) 12:47, 29. Apr. 2017 (CEST)