Duale Zahl

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Dieser Artikel beschäftigt sich mit einer bestimmten Art algebraischer Strukturen. Für die Dual- oder Binärdarstellung von Zahlen siehe den Artikel Dualsystem.

Im mathematischen Teilgebiet der algebraischen Geometrie ist der Ring der dualen Zahlen über einem Körper ein algebraisches Objekt, das eng mit dem Begriff des Tangentialvektors zusammenhängt.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die dualen Zahlen bilden eine zweidimensionale hyperkomplexe Algebra über dem Körper der reellen Zahlen; wie die Komplexen Zahlen wird diese Algebra von 2 Basiselementen erzeugt, der 1 und einer nicht-reellen Einheit, die zur Unterscheidung von der imaginären Einheit der Komplexen Zahlen hier mit bezeichnet wird. Jede Duale Zahl lässt sich also eindeutig als

mit a,b ∈ darstellen, also als Linearkombination aus 1 und . Die Definition einer allgemeinen Multiplikation für Duale Zahlen vervollständigt sich durch eine Definition für das Quadrat der nicht-reellen Einheit, und zwar durch

.

Außerdem ist wie bei den Komplexen Zahlen die zu z konjugierte Zahl

definiert.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie alle hyperkomplexen Algebren erfüllen auch die Dualen Zahlen das rechts- und linksseitige Distributivgesetz. Wie die Komplexen Zahlen sind sie zudem kommutativ und assoziativ, und zwar zwangsläufig, da es nur ein von der 1 verschiedenes Basiselement gibt, nämlich .

Die Dualen Zahlen bilden also einen kommutativen Ring mit Einselement, der aber - im Unterschied zu - kein Körper ist, sondern ein Hauptidealring mit einem Ideal, nämlich den reellzahligen Vielfachen von . Hauptideal ist es, da es von einem einzigen Element erzeugt werden kann. Wegen sind sie natürlich Nullteiler.

Matrixdarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Multiplikation der Dualen Zahlen assoziativ ist, lässt sie sich mit Matrizen darstellen, und zwar wie folgt:

,

was für und gerade die nilpotente Matrix

ergibt.

Duale Zahlen und Laguerre-Ebenen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die klassische reelle Laguerre-Ebene lässt sich (analog der Beschreibung der klassischen reellen Möbius-Ebene über komplexe Zahlen) mit Hilfe der dualen Zahlen beschreiben (W. Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren).

Algebraische Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Terminologie der abstrakten Algebra lassen sich die Dualen Zahlen als der Quotient des Polynomringes und des Ideals beschreiben, das durch das Polynom erzeugt wird, also

.

Duale Zahlen über Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring. Dann ist der Ring der dualen Zahlen über der Faktorring

ist das Bild der Unbestimmten im Quotienten

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper. ist ein lokaler artinscher Ring, der als Vektorraum über die Dimension 2 hat. Jedes Element hat eine eindeutige Darstellung

mit

Das maximale Ideal wird von erzeugt; der Restklassenkörper ist . und sind als -Moduln isomorph.

Für jeden Ring ist

Duale Zahlen und Derivationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein Ring, zwei -Algebren und ein Homomorphismus von -Algebren. Dann gibt es eine natürliche Bijektion zwischen

den -Algebrenhomomorphismen
die Hochhebungen von unter sind

und

-linearen Derivationen dabei wird die -Modulstruktur auf von induziert.

Bedeutung für die algebraische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein Schema sei

Es sei ein Schema und ein -Schema. Das Schema ist das relative Tangentialbündel von über . Dann gibt es eine natürliche Bijektion

für beliebige -Schemata . Ein -wertiger Punkt ist also ein -wertiger Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor in diesem Punkt. Man kann sich für einen Körper also als Punkt zusammen mit einem Tangentialvektor vorstellen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Walter Benz: Vorlesungen über Geometrie der Algebren: Geometrien von Möbius, Laguerre-Lie, Minkowski in einheitlicher und grundlagengeometrischer Behandlung. Springer, 1973, ISBN 9783642886706, S. 21.
  • M. Demazure, A. Grothendieck: Séminaire de Géométrie algébrique du Bois-Marie. Schemas en groupes I, II, III (SGA 3). Lecture Notes in Mathematics 151, 152, 153. Springer-Verlag, Berlin 1970.
  • I.L. Kantor, A.S. Solodownikow: Hyperkomplexe Zahlen. B.G. Teubner, Leipzig 1978.