Gauß-Quadratur

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Die Gauß-Quadratur (nach Carl Friedrich Gauß) ist ein Verfahren zur numerischen Integration, das bei gegebenen Freiheitsgraden eine optimale Approximation des Integrals liefert. Bei diesem Verfahren wird die zu integrierende Funktion aufgeteilt in , wobei eine Gewichtsfunktion ist und durch ein spezielles Polynom mit speziell gewählten Auswertungspunkten approximiert wird. Dieses Polynom lässt sich exakt integrieren. Das Verfahren ist also von der Form

.

Für die Gewichtsfunktion gilt, dass sie größer gleich Null ist, sie hat endlich viele Nullstellen und ist integrierbar. ist eine stetige Funktion. Der Integrationsbereich ist nicht auf endliche Intervalle beschränkt. Weiterhin werden als Knoten oder Abszissenwerte und die Größen als Gewichte bezeichnet.

Das Verfahren wurde 1814 von Gauß veröffentlicht[1], in der heutigen Form mit orthogonalen Polynomen von Carl Gustav Jacobi 1826[2].

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Um optimale Genauigkeit zu erreichen, müssen die Abszissenwerte einer Gauß-Quadraturformel vom Grad n genau den Nullstellen des n-ten orthogonalen Polynoms vom Grad n entsprechen. Die Polynome , , …, müssen dabei orthogonal bezüglich des mit gewichteten Skalarprodukts sein,

Für die Gewichte gilt:

Die Gauß-Quadratur stimmt für polynomiale Funktionen, deren Grad maximal ist, mit dem Wert des Integrals exakt überein. Es lässt sich zeigen, dass keine Quadraturformel existiert, die alle Polynome vom Grad exakt integriert. In dieser Hinsicht ist die Ordnung des Quadraturverfahrens optimal.

Ist die Funktion nun kein Polynom mehr, jedoch hinreichend glatt, d. h. , so kann für den Fehler der Gaußquadratur mit n Stützstellen gezeigt werden[3]:

mit

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die gaußsche Quadratur findet Anwendung bei der numerischen Integration. Dabei werden für eine gegebene Gewichtsfunktion und einen gegebenen Grad n, der die Genauigkeit der numerischen Integration bestimmt, einmalig die Stützpunkte und Gewichtswerte berechnet und tabelliert. Anschließend kann für beliebige die numerische Integration durch einfaches Aufsummieren von gewichteten Funktionswerten erfolgen.

Dieses Verfahren ist damit potentiell vorteilhaft

  1. wenn viele Integrationen mit derselben Gewichtsfunktion durchgeführt werden müssen und
  2. wenn hinreichend gut durch ein Polynom approximierbar ist.

Für einige spezielle Gewichtsfunktionen sind die Werte für die Stützstellen und Gewichte fertig tabelliert.

Gauß-Legendre-Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier handelt es sich um die bekannteste Form der Gauß-Integration auf dem Intervall , sie wird oft auch einfach als Gauß-Integration bezeichnet. Es gilt . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Legendre-Polynome erster Art. Die Erweiterung auf beliebige Intervalle erfolgt durch eine Variablentransformation.

Die Stützpunkte (auch Gaußpunkte genannt) und Gewichte der Gauß-Legendre-Integration sind:

n=1
1 0 2
n=2
1 1
2 1
n=3
1
2 0
3
n=4
1
2
3
4
n=5
1
2
3 0
4
5

Gauß-Tschebyschow-Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Gegensatz zur Schulmethode ist die Breite der einzelnen Balken, hier Gewicht genannt, nicht konstant, sondern nimmt zu den Intervallrändern hin ab. Sie beträgt.

Eine Variante der Gauß-Integration auf dem Intervall ist jene mit der Gewichtsfunktion . Die dazugehörigen orthogonalen Polynome sind die Tschebyschow-Polynome, deren Nullstellen und damit auch die Stützpunkte der Quadraturformel direkt in analytischer Form vorliegen:

während die Gewichte nur von der Anzahl der Stützpunkte abhängen

Die Erweiterung auf beliebige Intervalle erfolgt durch eine Variablentransformation (siehe unten). Liegt der Integrand in der Form vor, so kann er umgeformt werden in . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe approximiert. Durch Einsetzen der Stützpunkte in analytischer Form erhält man

was der n-fachen Anwendung der Mittelpunktsregel über dem Intervall 0 bis Pi entspricht. Der Fehler kann für einen geeigneten Wert für t zwischen 0 und Pi abgeschätzt werden über

Gauß-Hermite-Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gauß-Integration auf dem Intervall . Es gilt . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Hermite-Polynome. Liegt der Integrand in der Form vor, so kann er umgeformt werden in . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Hermite-Integration:

n=1
1 0 1.7724538509055159
n=2
1 1.46114118266
2 1.46114118266
n=3
1 1.32393117521
2 0 1.1816359006
3 1.32393117521
n=4
1 -1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177
2 -0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
3 0.524647623275 0.804914090006 1.05996448289
4 1.65068012389 0.0813128354472 1.2402258177

Gauß-Laguerre-Integration[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gauß-Integration auf dem Intervall . Es gilt . Die resultierenden orthogonalen Polynome sind die Laguerre-Polynome. Liegt der Integrand in der Form vor, so kann er umgeformt werden in . Zur numerischen Berechnung wird das Integral nun durch die Summe approximiert.

Stützpunkte und Gewichte der Gauß-Laguerre-Integration:

n=1
1 1 1 2.7182818284590451
n=2
1 1.53332603312
2 4.45095733505
n=3
1 0.415774556783 0.711093009929 1.07769285927
2 2.29428036028 0.278517733569 2.7621429619
3 6.28994508294 0.0103892565016 5.60109462543
n=4
1 0.322547689619 0.603154104342 0.832739123838
2 1.74576110116 0.357418692438 2.04810243845
3 4.53662029692 0.038887908515 3.63114630582
4 9.3950709123 0.000539294705561 6.48714508441

Variablentransformation bei der Gauß-Quadratur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Integral über [a, b] wird auf ein Integral über [−1, 1] zurückgeführt, bevor man die Methode der Gauß-Quadratur anwendet. Dieser Übergang kann durch mit und sowie und Anwendung der Integration durch Substitution mit auf folgende Weise geschehen:

Nach Anwendung der Gauß-Quadratur gilt die Approximation

.

Adaptives Gauß-Verfahren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da der Fehler bei der Gauß-Quadratur, wie oben erwähnt, abhängig von der Anzahl der gewählten Stützstellen ist und sich mit einer größeren Anzahl Stützstellen gerade der Nenner erheblich vergrößern kann, legt dies nahe, bessere Näherungen mit größerem zu erhalten. Die Idee ist, zu einer vorhandenen Näherung , eine bessere Näherung, beispielsweise , zu berechnen, um die Differenz zwischen beiden Näherungen zu betrachten. Sofern der geschätzte Fehler eine gewisse absolute Vorgabe überschreitet, ist das Intervall aufzuteilen, sodass auf und die -Quadratur erfolgen kann. Jedoch ist die Auswertung einer Gauß-Quadratur ziemlich kostspielig, da insbesondere für im Allgemeinen neue Stützstellen berechnet werden müssen, sodass sich für die Gauß-Quadratur mit Legendre-Polynomen, die adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur anbietet.

Adaptive Gauß-Kronrod-Quadratur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die präsentierte Kronrod-Modifikation, welche nur für die Gauß-Legendre-Quadratur existiert, basiert auf der Verwendung der bereits gewählten Stützstellen und der Hinzunahme von neuen Stützstellen.[4] Während die Existenz optimaler Erweiterungen für die Gauß-Formeln von Szegö belegt wurde, leitete Kronrod (1965) für die Gauß-Legendre-Formeln optimale Punkte her, die den Präzisionsgrad sicherstellen.[4] Wenn die mithilfe der erweiterten Knotenzahl von berechnete Näherung als definiert wird, lautet die Fehlerschätzung:

Diese kann dann mit einem verglichen werden, um dem Algorithmus ein Abbruchkriterium zu geben. Die Kronrod-Knoten und -Gewichte zu den Gauß-Legendre-Knoten und Gewichten sind für in der folgenden Tabelle festgehalten. Die Gauß-Knoten wurden mit einem (G) markiert.

n=3
1 ~0.960491268708020283423507092629080 ~0.104656226026467265193823857192073
2 ~0.774596669241483377035853079956480 (G) ~0.268488089868333440728569280666710
3 ~0.434243749346802558002071502844628 ~0.401397414775962222905051818618432
4 0 (G) ~0.450916538658474142345110087045571
5 ~-0.434243749346802558002071502844628 ~0.401397414775962222905051818618432
6 ~-0.774596669241483377035853079956480 (G) ~0.268488089868333440728569280666710
7 ~-0.960491268708020283423507092629080 ~0.104656226026467265193823857192073
n=7
1 ~0.991455371120812639206854697526329 ~0.022935322010529224963732008058970
2 ~0.949107912342758524526189684047851 (G) ~0.063092092629978553290700663189204
3 ~0.864864423359769072789712788640926 ~0.104790010322250183839876322541518
4 ~0.741531185599394439863864773280788 (G) ~0.140653259715525918745189590510238
5 ~0.586087235467691130294144838258730 ~0.169004726639267902826583426598550
6 ~0.405845151377397166906606412076961 (G) ~0.190350578064785409913256402421014
7 ~0.207784955007898467600689403773245 ~0.204432940075298892414161999234649
8 0 (G) ~0.209482141084727828012999174891714
9 ~-0.207784955007898467600689403773245 ~0.204432940075298892414161999234649
10 ~-0.405845151377397166906606412076961 (G) ~0.190350578064785409913256402421014
11 ~-0.586087235467691130294144838258730 ~0.169004726639267902826583426598550
12 ~-0.741531185599394439863864773280788 (G) ~0.140653259715525918745189590510238
13 ~-0.864864423359769072789712788640926 ~0.104790010322250183839876322541518
14 ~-0.949107912342758524526189684047851 (G) ~0.063092092629978553290700663189204
15 ~-0.991455371120812639206854697526329 ~0.022935322010529224963732008058970

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Krylov, V. I.: "Approximate Calculation of Integrals". MacMillan, New York, 1962.
  • Davis, P. und Rabinowitz, P.: Methods of Numerical Integration. 2nd. ed., Academic Press, 1984.
  • Stroud, A. H. und Secrest, D.: Gaussian Quadrature Formulas. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1966.
  • Stroud, A. H.: Approximate Calculation of Multiple Integrals. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1971.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Methodus nova integralium valores per approximationem inveniendi, Comm. Soc. Sci. Göttingen Math., Band 3, 1815, 29-76, Gallica, datiert 1814, auch in Werke, Band 3, 1876, S. 163–196
  2. Jacobi Ueber Gauß’ neue Methode, die Werthe der Integrale näherungsweise zu finden. Journal für Reine und Angewandte Mathematik, Band 1, 1826, 301-308, Online, und Werke, Band 6
  3. Freund, Ronald W.; Hoppe, Ronald H. W.: Stoer/Bulirsch: Numerische Mathematik 1. Zehnte, neu bearbeitete Auflage. Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2007, S. 195
  4. a b Piessens, Robert ; Doncker-Kapenga, Elise de ; Überhuber, Christoph W. ; Kahaner, David K.: QUADPACK: A subrotine package for automatic integration. Berlin, Heidelberg, New York : Springer-Verlag, 1983, S. 16–17