Laguerre-Polynome

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Die ersten fünf Laguerre-Polynome

Laguerre-Polynome (benannt nach Edmond Laguerre) sind die Lösungen der laguerreschen Differentialgleichung

Das -te Laguerre-Polynom lässt sich über die Rodrigues-Formel

darstellen. Es handelt sich dabei um ein Polynom vom Grad . Mit den ersten Laguerre-Polynomen

lassen sich die weiteren über folgende Rekursionsformeln berechnen:

In der Physik wird üblicherweise eine Definition verwendet, nach der die Laguerre-Polynome um einen Faktor größer sind.

Zugeordnete Laguerre-Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige zugeordnete Laguerre-Polynome

Die zugeordneten Laguerre-Polynome hängen mit den gewöhnlichen Laguerre-Polynomen über

zusammen. Ihre Rodrigues-Formel lautet

Die zugeordneten Laguerre-Polynome erfüllen die zugeordnete Laguerre-Gleichung

Die ersten zugeordneten Laguerre-Polynome lauten:

Wasserstoffatom[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Laguerre-Polynome haben eine Anwendung in der Quantenmechanik bei der Lösung der Schrödinger-Gleichung für das Wasserstoffatom bzw. im allgemeinen Fall für ein Coulomb-Potential. Mittels der zugeordneten Laguerre-Polynome lässt sich der Radialanteil der Wellenfunktion schreiben als

(Normierungskonstante , charakteristische Länge , Hauptquantenzahl , Bahndrehimpulsquantenzahl ). Die zugeordneten Laguerre-Polynome haben hier also eine entscheidende Rolle. Die normierte Gesamtwellenfunktion ist durch

gegeben, mit der Hauptquantenzahl , der Bahndrehimpulsquantenzahl , der magnetischen Quantenzahl , dem bohrschen Radius und der Kernladungszahl . Die Funktionen sind die zugeordneten Laguerre-Polynome, die Kugelflächenfunktionen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]