Zeitkonstante

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Zeitkonstante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Zeitkonstante (griech. τ (Tau)) oder ist eine charakteristische Größe eines linearen dynamischen Systems, das durch eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung oder durch eine zugehörige Übertragungsfunktion G(s) beschrieben wird. Sie hat die Dimension einer Zeit; ihre Maßeinheit ist meist die Sekunde.

Funktionsbild eines PT1-Gliedes
nach einem Eingangssprung.

Dynamische Systeme mit einem Eingangssignal und einem Ausgangssignal werden zur leichteten Berechenbarkeit von der Differentialgleichung des Zeitbereiches in den Bildbereich als Übertragungsfunktion Laplace-transformiert.

Das Verhalten eines dynamischen Systems 1. Ordnung ist durch die Übertragungsfunktion als das Verhältnis der Ausgangs- zur Eingangsgröße durch die Gleichung vollständig als Verzögerungsglied (Proportionales Zeitglied), -Glied mit bestimmt. Dabei entspricht die Zeitkonstante dem Koeffizienten vor der komplexen Laplace-Variable .

Die Form des Ausgangssignals des Systems ist abhängig von der Art des Eingangssignals und der Übertragungsfunktion . Der Einsatz der nachfolgenden Signale als Eingangsgröße bestimmt die Art der Systemausgangssignale.

Übliche Testsignale für Übertragungssysteme sind: Sprungfunktion, Rücksprung, Impulsfunktion, Anstiegsfunktion und Sinusfunktion. Diese Signale werden ebenfalls vom Zeitbereich in den Bildbereich Laplace-transformiert.

Die häufigste Darstellung des Zeitverhaltens eines -Gliedes ist die Sprungantwort. Das Zeitverhalten eines linearen dynamischen Systems 1. Ordnung antwortet zum Zeitpunkt nach einem Eingangssprung mit einem exponentiell asymptotisch steigenden Verlauf der Ausgangsgröße , die nach unendlich langer Zeit den Grenzwert der Amplitude erreicht.

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung kann durch die Laplace-Transformation und Faktorisierung der entstehenden Polynome der Übertragungsfunktion in Teilsysteme 1. und 2. Ordnung zerlegt werden. Handelt es sich bei den Nullstellen des Nennerpolynoms um negative reelle Pole , so ergeben sich mehrere Zeitkonstanten. Diese errechnen sich allgemein aus dem Reziprokwert (Kehrwert) eines negativen reellen Pols des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion als .

Die Teilsysteme mit den negativen konjugiert komplexen Polen (Doppelpole) bilden Übertragungssysteme 2. Ordnung als -Glieder (Schwingungsglieder), die sich nicht in Verzögerungen 1. Ordnung aufspalten lassen und enthalten damit keine Zeitkonstanten. Positive Nullstellen und Pole bilden instabile Übertragungsglieder.

Grundlagen der Ermittlung der Zeitkonstanten aus der gewöhnlichen Differentialgleichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeitverhalten der Sprungantwort mit der Zeitkonstante T = 1, K = 1.

Eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten lautet:

.

Die Zeitkonstante ist aus dieser Form der Differentialgleichung bereits berechenbar.

Allgemein wird für die Nullstellenbestimmung die höchste Ableitung einer Differentialgleichung freigestellt, in dem sämtliche Terme der Gleichung durch den zugehörigen Koeffizienten, in diesem Fall , dividiert werden. Damit lautet die neue mathematisch identische Differentialgleichung:

.

Die Übertragungsfunktion G(s) dieser Differentialgleichung lautet für Anfangsbedingungen gleich Null nach Anwendung des Laplace-Differenziationssatzes:

.

Aus dem Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße ergibt sich die Übertragungsfunktion in der Zeitkonstanten-Darstellung:

.

Bei dieser Form der Übertragungsfunktion ist die Zeitkonstante direkt ablesbar als Koeffizient von mit dem Verhältnis der Koeffizienten .

Setzt man für und in die Gleichung der Übertragungsfunktion ein, erhält man die Normalform der Übertragungsfunktion in der Zeitkonstanten-Darstellung:

Testsignale[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sprungantworten von 4 in Reihe geschalteten entkoppelten PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten.

Den nichtperiodischen (deterministischen) Testsignalen kommt in der Systemtheorie eine zentrale Bedeutung zu. Mit ihrer Hilfe ist es möglich, ein Übertragungssystem zu testen, auf Stabilität zu prüfen oder Eigenschaften zu ermitteln.

Zur Berechnung des Zeitverhaltens eines Übertragungssystems können die transformierten Testsignale im Bildbereich anstelle mit der Übertragungsfunktion des Systems multipliziert werden. Für die Rücktransformation von in den Zeitbereich kann die gewünschte Gleichung der Systemantwort mit Hilfe der Laplace-Transformationstafeln gefunden werden.

Impulsantworten von 4 in Reihe geschalteten entkoppelten PT1-Gliedern mit je gleichen Zeitkonstanten.

Den Testsignalen ist gemeinsam, dass sie zum Zeitpunkt beginnen und bei eine Amplitude = 0 aufweisen. Zur Unterscheidung der Funktion der Signale werden sie mit den Zeichen δ (Impuls), Ϭ (Sprung), a (Anstieg) und s (Sinus) indiziert.

Die Testsignale werden als Eingangsgröße u(t) und als Laplace-transformierte Größe wie folgt dargestellt.

Begriff Testsignal
u(t)
Bildbereich
Eingangssignal
Systemantwort
y(t)
Impulsfunktion δ oder
Stoßfunktion, Deltaimpuls
Impulsantwort oder
Gewichtsfunktion
Sprungfunktion σ

Sprungantwort oder
Übergangsfunktion
Anstiegsfunktion oder
Rampe
Anstiegsantwort oder
Rampenantwort
Sinusfunktion s
(Periodisches Signal)

Frequenzgang

Ermittlung des Zeitverhaltens eines PT1-Gliedes nach einem Eingangssprung:

Der normierte Sprung eines Eingangssignals zum Zeitpunkt lautet für . Für wird das transformierte Eingangssignal zu .

Damit ergibt sich im s-Bereich als Sprungantwort folgende Lösung der gegebenen Übertragungsfunktion für :

.

Die Lösung im Zeitbereich der Sprungantwort ergibt sich über die Korrespondenztabellen von Laplace-Transformationstafeln.

Diese normierte Gleichung gilt für den Eingangssprung . ist der Verstärkungsfaktor, Eulersche Zahl.

Folgende Handlungen sind zur Bestimmung der Zeitkonstanten erforderlich:

  • Aufstellen der Differentialgleichung eines dynamischen Systems mit Zahlenwerten,
  • Anwendung der Laplace-Transformation auf die Differentialgleichung mittels Differenziationssatz,
  • Nullstellen (Pole) des Nennerpolynoms der Übertragungsfunktion bestimmen,
  • Faktorielle Darstellung des Nennerpolynoms (Linearfaktoren) aufstellen,
  • Sämtliche reelle negative Nullstellen stellen als Reziprokwert je eine Zeitkonstante dar,
  • Zeikonstantendarstellung des Nennerpolynoms erstellen.

Mittels der Nullstellenbestimmung können die Polynome der Übertragungsfunktion in eine Produktform (Linearfaktoren) im Zähler und Nenner gebracht werden. Die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) oder Nullstellen (Nullstellen des Zählerpolynoms) sind entweder Null, reell oder konjugiert komplex. Die Produktdarstellung im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion ist algebraisch identisch mit der Polynomdarstellung.

Anmerkungen:

  • Die Pole und Nullstellen der Übertragungsfunktion bzw. des Zähler- und Nennerpolynoms sind die wichtigsten Kenngrößen des Systemverhaltens.
Wenn Zahlenwerte vorliegen, können mit verschiedenen Methoden die Nullstellen berechnet werden. Dazu eignet sich die sogenannte pq-Formel für Systeme 2. Ordnung. Fertige im Internet verfügbare Programme für Systeme bis 4. Ordnung können mit dem Aufruf: "Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen" benutzt werden.
Bei der Übertragungsfunktion bestimmen die Pole (Nullstellen des Nennerpolynoms) das zeitliche Ausgangsverhalten .
Die Nullstellen des Zählerpolynoms einer Übertragungsfunktion haben nur Einfluss auf die Größe der Amplituden des dynamischen Systems.
  • Nullstellen mit konjugiert komplexen Polen (Doppelpole) können nicht in Linearfaktoren 1. Ordnung zerlegt werden.
  • Die Art des Eingangssignals als normierte Sprungfunktion ist Voraussetzung für den typischen asymptotischen Zeitverlauf.
  • Die Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung eines komplexen dynamischen Systems über die Übertragungsfunktion besteht darin:
    • eine faktorielle Form der Übertragungsfunktion in eine Partialbruch-Darstellung zu überführen, deren additive Terme einfach in den Zeitbereich überführt werden können,
    • oder Laplace-Transformationstafeln für die korrespondierende Zeitfunktion mit der normierten Übertragungsfunktion anzuwenden,
    • oder über die numerische Berechnung mit Differenzengleichungen, welche aus den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion abgeleitet sind, um das Zeitverhalten von für eine bestimmte Eingangsgröße zu errechnen.
    • Bei Übertragungsfunktionen höherer Ordnung mit einem Gemisch von negativen reellen Nullstellen und negativen konjugiert komplexen Nullstellen kann die Berechnung des Zeitverhaltens aus den Gleichungen der Laplace-Transformationstafeln mit den aufwendigen trigonometrischen Funktionen recht kompliziert sein. Die numerische Berechnung mit Differenzengleichungen oder mit dem Erwerb von kommerziellen Simulations-Programmen ist erheblich einfacher.

Entstehung einer gewöhnlichen Differentialgleichung 1. Ordnung und Definition der Zeitkonstante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein durch eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung beschriebenes Verzögerungsglied (PT1-Glied) kommt in der Natur und in der Technik am häufigsten vor. Es entsteht z. B., wenn Wärme in ein Medium fließt oder eine elektrische Spannung an ein RC-Glied angelegt wird. Es interessiert immer, wie sich die Ausgangsgröße des Systems sich als Funktion der Zeit für eine gegebene Eingangsgröße verhält. Besonders anschaulich ist das Systemverhalten für eine gegebene Eingangsgröße als Sprungfunktion.

Das in der Elektrotechnik bekannteste dynamische System, welches durch eine gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung beschrieben wird, ist das RC-Glied als Widerstands-Kondensator-Schaltung mit der Zeitkonstante .

Einfacher RC-Tiefpass
Ue: Eingangsspannung
Ua: Ausgangsspannung

Die allgemeine mathematische Beschreibung des RC-Gliedes ergibt sich über die Anwendung der Kirchhoffschen Gesetze.

Für das Hardware-Modell als Tiefpass gilt die Maschengleichung der Spannungen:

.

Dabei ist die Eingangsgröße, die gesuchte Ausgangsgröße. Wird für den Spannungsabfall an R die Gleichung für den Ladestrom in die obige Gleichung eingesetzt, entsteht die Differentialgleichung des RC-Gliedes als Tiefpass:

Werden die üblichen Signalbezeichnungen der Systemtheorie angewendet, lauten die neuen Signalbezeichnungen der gewöhnliche Differentialgleichung: und .

Für eine Differentialgleichung 1. Ordnung und der zugehörigen Übertragungsfunktion existiert kein Zähler- und Nennerpolynom. Es handelt sich bereits um einen Linearfaktor im Nenner der Übertragungsfunktion. Deshalb hat die Nullstelle keine Bedeutung.

Bei der üblichen Darstellung der Differentialgleichung wird die höchste Ableitung von Koeffizienten freigestellt, indem sämtliche Terme der Gleichung durch den zugehörigen Koeffizienten (hier ) dividiert werden. Damit lautet die neue mathematisch identische Differentialgleichung:

Die Übertragungsfunktion G(s) dieser Differentialgleichung lautet für Anfangsbedingungen gleich Null nach dem Differenziationssatz:

.

Zusammengefasst als das Verhältnis der Ausgangsgrößen zur Eingangsgröße ergibt sich die Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung:

.

Dabei entspricht der Koeffizient vor der Laplace-Variable der Zeitkonstante .

Darstellung der Sprungantwort im Bild- und Zeitbereich[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Häufig wird im Zeitbereich die Ausgangsgröße der Übertragungsfunktion des -Gliedes (= -Glied) als Sprungantwort dargestellt. Der normierte Sprung für lautet Laplace-transformiert: .

Damit lautet die Übertragungsfunktion für und der Sprungantwort:

Die Lösung im Zeitbereich der Sprungantwort ergibt sich über die Korrespondenztabellen von Laplace-Transformationstafeln für den Ausdruck .

Die normierte Gleichung gilt für den Eingangssprung nach . Eulersche Zahl.

Zeitverhalten des Rücksprungs vom Anfangswert des -Gliedes nach .

Die normierte Gleichung gilt für den Rücksprung von nach .

Ausgangswerte eines -Gliedes des Ansprungs und des Rücksprungs für ein- bis 5-fache Zeitkonstanten:

Zeitkonstante T Sprungantwort
Ansprung: in [%]
Sprungantwort
Rücksprung: in [%]
T einfach 63,2 36,8
86,5 13,5
95,0 5,0
98,2 1,8
99,3 0,7

Entstehung der Übertragungsfunktion für einen Tiefpass (-Glied) durch das Verhältnis komplexer Widerstände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der dargestellten RC-Schaltung kann das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung auch als das Verhältnis der Ausgangsimpedanz zur Eingangsimpedanz definiert werden. Setzt man für die Kapazität mit den komplexen Widerstand ergibt sich für das komplexe Widerstandsverhältnis als Übertragungsfunktion :

Das Ergebnis entspricht dem aus der Differentialgleichung abgeleiteten -Glied.

Entstehung der Übertragungsfunktion für einen Hochpass durch das Verhältnis der komplexen Widerstände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ersetzt man bei der RC-Schaltung die Kapazität C durch eine Induktivität L, entsteht bei der Betrachtung der Ein- und Ausgangsspannungen des Systems ein Hochpass 1. Ordnung. Bei Eingangssignalen mit hoher Frequenzen hat die Induktivität einen hohen komplexen Widerstand. Mit fallender Frequenz fällt der induktive Widerstand ab.

In der dargestellten LC-Schaltung kann das Verhältnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung auch als das Verhältnis der Ausgangsimpedanz zur Eingangsimpedanz definiert werden. Setzt man für die Induktivität mit den komplexen Widerstand ergibt sich für das komplexe Widerstandsverhältnis als Übertragungsfunktion :

Die Übertragungsfunktion des RL-Gliedes lautet mit :

Das Ergebnis entspricht einer Reihenschaltung eines -Gliedes mit einem D-Glied. Für einen normierten Eingangssprung springt das Ausgangssignal zur Zeit auf und fällt dann für exponentiell asymptotisch auf den Wert .

Das zu dieser Übertragungsfunktion zugehörige Zeitverhalten lautet für einen Eingangssprung:

Die normierte Gleichung gilt für den Eingangssprung ; Eulersche Zahl.

Bestimmung der Zeitkonstanten aus den Polynomen eines komplexen dynamischen Übertragungssystems höherer Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zur Vereinfachung der Berechnung und zum leichteren Verständnis wird die Differenzialgleichung einer Laplace-Transformation unterzogen. Dabei wird nach dem Laplace-Differenziationssatz eine Ableitung 1. Ordnung der Differenzialgleichung durch die Laplace-Variable s als komplexe Frequenz ersetzt. Höhere Ableitungen n-ter Ordnung werden durch ersetzt.

Beispiel einer gewöhnlichen Differentialgleichung höherer Ordnung eines Übertragungssystems mit konstanten Koeffizienten und :

Diese allgemeine Form der Differentialgleichung wird einer Laplace-Transformation unterzogen:

.

Die Übertragungsfunktion G(s) wird aus dem Verhältnis der Ausgangsgröße zur Eingangsgröße gebildet. Dabei dürfen keine Anfangswerte des Systems bestehen.

Die Variable ist eine unabhängige Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit als Realteil und als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale.

Zur Bestimmung der Zeitkonstanten werden die Polynome der Übertragungsfunktion durch Nullstellenbestimmung in Linearfaktoren (Pol-Nullstellendarstellung) zerlegt. Wenn Zahlenwerte für die Koeffizienten der Polynome gegeben sind, kann durch die Nullstellenbestimmung die Faktorisierung der Polynome durchgeführt werden.

Der Reziprokwert einer negativen reellen Nullstelle des Nennerpolynoms entspricht einer Zeitkonstante. [1]

Die Zerlegung des Zählerpolynoms ergibt Einzelsysteme (Linearfaktoren) mit differenzieller Wirkung. Sie haben keinen Einfluss auf das Zeitverhalten, sondern nur auf die Signalamplituden .

Berechnungsbeispiel zur Bestimmung der Zeitkonstanten einer gewöhnlichen Differentialgleichung 2. Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben: Differentialgleichung eines Zeitgliedes 2. Ordnung ohne Differentiale der Eingangsgröße .

Gesucht: Übertragungsfunktion, Pole, Zeitkonstanten.

Anwendung der Laplace-Transformation der Differentialgleichung nach dem Differenziationssatz:

.

Bildung der Übertragungsfunktion und Freistellung der höchsten transformierten Ableitung:

.

Gegebene Zahlenwerte : und für .

Damit lautet die Übertragungsfunktion und Freistellung des höchsten Exponenten (Gleichung dividiert durch ):

.

Im Internet (Google) bestehen Programme, die die Nullstellen von Polynomen bis 4. Ordnung errechnen lassen.

Für die Lösung der Nullstellen (Pole) eines Polynoms 2. Ordnung kann die sogenannte pq-Formel benutzt werden:

Polynom:
.

Damit lässt sich eine Faktorisierung des Polynoms und die Übertragungsfunktion in Zeitkonstanten-Darstellung vornehmen.

.

Diese Gleichungen sind algebraisch identisch.

Ergebnis:

Das Übertragungssystem mit zwei -Gliedern enthält die Zeitkonstanten .

Eine Hardware-Nachbildung dieses Systems mit zwei RC-Gliedern in Reihenschaltung erfordert eine belastungsfreie Entkopplung.

Genormte Zeitkonstanten und Übergangsfrequenzen von Filtern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zeitkonstante τ
in µs
Übergangsfrequenz fc
in Hz
Entzerrungsnorm
7958 20 RIAA
3183 50 RIAA, NAB
1592 100
318 500 RIAA
200 796
140 1137
120 1326 MC
100 1592
90 1768 MC
75 2122 RIAA, FM USA
50 3183 NAB, PCM, FM Europa
35 4547 DIN
25 6366
17,5 9095 AES
15 10610 PCM

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Autor: Jan Lunze / Regelungstechnik 1; Springer Vieweg, Berlin, 8. Auflage 2014, ISBN 978-3-642-53943-5; Hauptkapitel: Übertragungsfunktion, Unterkapitel: Zeitkonstanten der Übertragungsfunktion.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Holger Lutz, Wolfgang Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik mit MATLAB und Simulink. 10. Auflage. Verlag Europa-Lehrmittel, 2014, ISBN 978-3-8085-5679-5.
  • Jan Lunze: Regelungstechnik 1. 6. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-70790-5. Regelungstechnik 2. 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 978-3-540-32335-8.
  • Michael Laible: Mechanische Größen, elektrisch gemessen. Grundlagen und Beispiele zur technischen Ausführung. 7. Auflage. Expert Verlag, Renningen 1980, ISBN 3-8167-2892-8.
  • Wolfgang Schneider: Praktische Regelungstechnik. Ein Lehr- und Übungsbuch für Nicht-Elektrotechniker. 3. Auflage. Vieweg+Teubner Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-528-24662-4.
  • Walter Kaspers, Hans-Jürgen Küfner: Messen Steuern Regeln. 3. Auflage. Friedrich Vieweg & Sohn Verlag, Wiesbaden 1984, ISBN 3-528-24062-8.
  • David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker: Physik. Bachelor-Edition, 2. Auflage. John Wiley & Sons Verlag, Weinheim 2013, ISBN 978-3-527-41181-8.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]