Ziegenproblem (Geometrie)

Das Ziegenproblem im Einheitskreis

Das Ziegenproblem – auch Die grasende Ziege genannt – ist ein seit dem 18. Jahrhundert bekanntes Problem der Unterhaltungsmathematik. Die erste Veröffentlichung erfolgte 1748 in dem in England einmal jährlich erscheinenden The Ladies Diary: or, the Woman’s Almanack.

Problemstellung

Wie groß muss bei der gezeigten Abbildung $r$ sein, damit die rote Fläche die Hälfte der Kreisfläche ist? Konkrete Motivation: Am Punkt $Q$ sei eine Ziege (oder ein anderes Tier) angebunden. Wie lang muss die Leine sein, damit das Tier auf genau der Hälfte der Kreisfläche grasen kann?

Lösung mit Berechnung der Linsenfläche

Die vom Tier erreichbare Fläche hat die Form einer Linse, die von zwei Kreisbögen begrenzt wird.

Um den Flächeninhalt $A$ der durch die zwei Kreisbögen begrenzten Fläche zu bestimmen, kann man diese in zwei Kreissegmente zerlegen, wobei die Trennungsgerade durch die beiden Schnittpunkte der Kreisbögen geht. Mit $R$ wird der Radius des Kreises, der die Wiese darstellt, und mit $r$ derjenige des Kreises, dessen Mittelpunkt auf dem Kreisrand des anderen liegt, und mit $d$ wird der Abstand zwischen den zwei Kreismittelpunkten $P$ und $Q$ bezeichnet. Mittels der Formel für den Flächeninhalt eines Kreissegments gilt dann

${\begin{aligned}A={}&r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}+r^{2}-R^{2}}{2dr}}\right)+R^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {d^{2}-r^{2}+R^{2}}{2dR}}\right)\\&{}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {(d+r-R)(d-r+R)(-d+r+R)(d+r+R)}}\,.\end{aligned}}$

Für $R=d=1$ und halber Kreisfläche vereinfacht sich dies zu

${\frac {1}{2}}\pi =r^{2}\cos ^{-1}\left({\frac {1}{2}}r\right)+\cos ^{-1}\left(1-{\frac {1}{2}}r^{2}\right)-{\frac {1}{2}}r{\sqrt {4-r^{2}}}$.

Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden und ergibt $r=1{,}1587\ldots$ (Folge A133731 in OEIS).

Lösung mit Integration

Aus der Integration über die Linsenfläche mit

${\frac {1}{4}}\pi =\int _{0}^{\sqrt {r^{2}-{\frac {r^{4}}{4}}}}\left({\sqrt {r^{2}-t^{2}}}+{\sqrt {1-t^{2}}}-1\right)\,\mathrm {d} t$

ergibt sich die ebenfalls transzendente Gleichung

$r={\frac {\pi }{\pi r-{\sqrt {4-r^{2}}}+\left({\frac {4}{r}}-2r\right)\sin ^{-1}\left({\frac {1}{2}}r\right)}}$

mit derselben Lösung.

Erweiterungen

Die Ziege im Weltall

Der dreidimensionale Fall mit Einheitskugel oben und Ziegenkugel unten

Im dreidimensionalen Fall befindet sich Punkt $Q$ auf der Oberfläche einer Einheitskugel, und die Fragestellung ist, wie groß der Radius $r$ der zweiten Kugel sein muss, damit der Schnittkörper genau die Hälfte des Volumens der Einheitskugel hat.

Der vom Tier erreichbare Teil der Einheitskugel hat die Form einer dreidimensionalen Linse mit unterschiedlich gewölbten Seiten, die von den beiden Kugelkalotten begrenzt wird.

Das Volumen $V$ einer Linse bei zwei Kugeln mit Radien $R,r$ und Mittelpunktabstand $d$ ist:

$V={\frac {\pi (R+r-d)^{2}\left(d^{2}+2dr-3r^{2}+2dR+6rR-3R^{2}\right)}{12d}}$

was sich bei $R=d=1$ und halbem Kugelvolumen vereinfacht zu

${\frac {1}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi =-{\frac {1}{4}}\pi r^{4}+{\frac {2}{3}}\pi r^{3}$

woraus als Lösung folgt $r=1{,}2285\ldots$

Es kann gezeigt werden, dass sich $r$ bei weiter zunehmender Dimensionalität dem Wert ${\sqrt {2}}$ annähert.

Die Ziege am Silo

Die Ziege außerhalb des Kreises

Im zweidimensionalen Fall kann auch die Frage nach der Größe der erreichbaren Fläche außerhalb des roten Kreises gestellt werden. Das entspricht der Situation, dass das Tier an einem Silo festgebunden ist.

In diesem Fall besteht die Fläche aus einem Halbkreis (hellblau) mit Radius $r$ und zwei Flächen, die durch den roten Kreis und die Kreisevolvente begrenzt sind (dunkelblau). Aus der Sektorformel von Leibniz folgt der Inhalt einer der dunkelblauen Flächen. Die gesamte erreichbare Fläche (hell- und dunkelblau) beträgt dann

$A={\frac {1}{2}}\pi r^{2}+{\frac {1}{3}}r^{3}$

unter der Bedingung, dass $r\leq \pi$ (andernfalls überschneiden sich die beiden dunkelblauen Flächen auf der Rückseite des Silos).

Literatur

• Raymond Clare Archibald: Involutes of a circle and a pasturage problem. In: American Mathematical Monthly. 28, 1921, S. 328–329.
• Marshall Fraser: A tale of two goats. In: Mathematics Magazine. 55, 1982, S. 221–227.
• Jean Jacquelin: Le problème de l’hyperchèvre. In: Quadrature. 49, 2003, ISSN 1142-2785, S. 6–12.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Goat Problem. In: MathWorld (englisch).