Zwanzigeck

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Ein regelmäßiges Zwanzigeck

Ein Zwanzigeck oder Ikosagon ist ein Polygon mit 20 Seiten und 20 Ecken. Oft ist damit ein ebenes, regelmäßiges Zwanzigeck gemeint, bei dem alle Seiten gleich lang sind und alle Eckpunkte auf einem gemeinsamen Umkreis liegen. Im Folgenden wird nur noch das regelmäßige Zwanzigeck betrachtet.

Winkel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Mittelpunktswinkel beträgt

Seiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Seitenlänge im Vergleich zum Umkreisradius beträgt:

mit

Diagonalen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Zwanzigeck besitzt 170 Diagonalen:

  • 20 Diagonalen über 2 (bzw. 18) Seiten
  • 20 Diagonalen über 3 (bzw. 17) Seiten
  • 20 Diagonalen über 4 (bzw. 16) Seiten
  • 20 Diagonalen über 5 (bzw. 15) Seiten
  • 20 Diagonalen über 6 (bzw. 14) Seiten
  • 20 Diagonalen über 7 (bzw. 13) Seiten
  • 20 Diagonalen über 8 (bzw. 12) Seiten
  • 20 Diagonalen über 9 (bzw. 11) Seiten
  • 10 Diagonalen über 10 Seiten

Die Längen im Verhältnis zum Umkreisradius betragen:

  • Die Diagonale über zwei Seiten entspricht der Seite eines Zehnecks mit gleichem Umkreis:
  • Die Diagonale über drei Seiten:
  • Die Diagonale über vier Seiten entspricht der Seite eines Fünfecks mit gleichem Umkreis:
  • Die Diagonale über fünf Seiten entspricht der Seite eines Quadrats mit gleichem Umkreis:
  • Die Diagonale über sechs Seiten:
  • Die Diagonale über sieben Seiten:
  • Die Diagonale über acht Seiten:
  • Die Diagonale über neun Seiten:
  • Die Diagonale über zehn Seiten entspricht dem Durchmesser des Umkreises:

Fläche[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fläche eines regelmäßigen Zwanzigecks mit der Seitenlänge und dem Umkreisradius wird durch die folgenden Formeln berechnet.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das regelmäßige Zwanzigeck ist als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar, die hauptsächlichen Konstruktionsmerkmale werden bereits im Fünfeck bzw. im Zehneck verwendet.

Konstruktion bei gegebenem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konstruktion im Bild 1 ist nahezu gleich der des Zehnecks bei gegebenem Umkreis.[1]

Es beginnt mit dem gegebenen Durchmessers und dessen Halbierung im Mittelpunkt Nach dem Ziehen des Umkreises um durch wird die vertikale Mittelachse eingezeichnet; Schnittpunkte sind die beiden ersten Eckpunkte und des entstehenden Zwanzigecks. Es folgt die Halbierung der Strecke in , dabei ergeben sich die Schnittpunkte und auf dem Umkreis. Nun wird ein Kreisbogen um mit dem Radius gezogen bis er die Strecke in schneidet. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Noch einen kurzen Kreisbogen um mit dem Radius der den Umkreis im Eckpunkt schneidet, anschließend die Verbindung des Eckpunktes mit dem Punkt , jetzt auch zugleich dann ist die erste Seitenlänge des Zwanzigecks konstruiert. Abschließend die Seitenlänge fünfzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, das regelmäßige Zwanzigeck ist somit konstruiert.

Bild 1: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebenem Umkreis Bild 2: Alternative Konstruktion des regelmäßigen Zwanzigecks Anzahl der Konstruktionsschritte nahezu gleich denen im Bild 1
Bild 1: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebenem Umkreis
Bild 2: Alternative Konstruktion des regelmäßigen Zwanzigecks
Anzahl der Konstruktionsschritte nahezu gleich denen im Bild 1

Konstruktion bei gegebener Seitenlänge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bild 3: Regelmäßiges Zwanzigeck bei gegebener Seitenlänge
Animation siehe

Die Konstruktion im Bild 3 ist nahezu gleich der des Zehnecks beigegebener Seitenlänge. Die gepunkteten Linien sind für die Konstruktion nicht erforderlich, sie dienen lediglich zur Veranschaulichung der folgenden Beschreibung.

Zuerst werden die Enden der Seitenlänge mit den ersten Eckpunkten (rechts) und bezeichnet. Es folgt je ein Kreisbogen mit dem Radius um die Punkte und ; deren Schnittpunkte sind und Anschließend wird eine Halbgerade ab durch gezogen; sie halbiert die Seitenlänge in Eine Senkrechte auf ab schließt sich an und erzeugt den Schnittpunkt Verlängert man nun die Strecke über hinaus um ca. den gleichen Längenbetrag und schlägt danach einen Kreisbogen um mit dem Radius , wird der Schnittpunkt auf der Verlängerung erzeugt. Die Strecke ist somit nach dem goldenen Schnitt mit äußerer Teilung geteilt. Jetzt wird um ein Kreisbogen mit dem Radius geschlagen, der die senkrechte Halbgerade in schneidet. In dem damit entstandenen gleichschenkligen Dreieck entspricht der Winkel am Winkelscheitel dem Zentriwinkel eines regelmäßigen Zehnecks,

denn bei einer Seitenlänge gilt im rechtwinkligen Dreieck

mit eingesetzten Werten

daraus folgt für Winkel

somit ist der Winkel und damit gleich dem Zentriwinkel des Zehnecks.

Es geht weiter mit dem Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius , der die Halbgerade, die ab durch verläuft, in und in schneidet. Wegen ist nach dem Zentriwinkelsatz der Winkel am Winkelscheitel halb so groß, als der Zentriwinkel des Zehnecks. Aufgrund dessen ist der Mittelpunkt des gesuchten Zwanzigecks mit dessen Zentriwinkel Jetzt nur noch den Umkreis um den Mittelpunkt ziehen, die Seitenlänge sechzehn Mal gegen den Uhrzeigersinn auf den Umkreis abtragen und die benachbarten Eckpunkte miteinander verbinden, danach ist das regelmäßige Zwanzigeck konstruiert.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Henry Green: Euclid's Plane Geometry, Books III–VI, Practically Applied, or Gradations in Euclid, Part II. In: books.google.de. London: Simpkin, Marshall,& CO., im Jahr 1861, S. 116, abgerufen am 10. Februar 2018.